2023届高考数学专项练习空间几何体运动轨迹与长度问题含解析.pdf

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1、2023届高考数学专项练习空间几何体运动轨迹与长度问题一、单选题一、单选题1.(2022(2022全国全国 高三专题练习高三专题练习(理理)已知正方体ABCD-ABCD的棱长为4，E，F分别为BB，CD的中点，点 P 在平面 ABBA中，PF=2 5，点 N 在线段 AE 上，则下列结论正确的个数是()点P的轨迹长度为2；线段FP的轨迹与平面ABCD的交线为圆弧；NP的最小值为6 5-105；过A、E、F作正方体的截面，则该截面的周长为103+4313+2 5A.4B.3C.2D.12.(2022(2022江西江西 模拟预测模拟预测(理理)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点P在

2、A1C1B的内部及其边界上运动，且DP=14，则点P的轨迹长度为()A.2B.2C.2 2D.33.(2022(2022 河南河南河南河南 三模三模(理理)已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1，AB=2，AA1=a，点M为CC1点的中点，点P为上底面A1B1C1D1上的动点，下列四个结论中正确的个数为()当a=3 且点P位于上底面的中心时，四棱柱P-ABCD外接球的表面积为253；当a=2时，存在点P满足PA+PM=4；当a=2时，存在唯一的点P满足APM=90；当a=2时，满足BPAM的点P的轨迹长度为2A.1B.2C.3D.44.(2022(2022四川泸州四川泸州 三模三模(理理)已

3、知三棱锥P-ABC的底面ABC为等腰直角三角形，其顶点 P到底面ABC的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球 O的半径为5，则满足上述条件的顶点 P的轨迹长度为()A.6B.30C.9+2 21D.6+2 215.(2022(2022 重庆重庆 模拟预测模拟预测)已知棱长为 3 的正四面体 A-BCD，P 是空间内的任一动点，且满足 PA 2PD，E为AD中点，过点D的平面平面BCE，则平面截动点P的轨迹所形成的图形的面积为()A.B.2C.3D.46.(20222022 浙江温州浙江温州 高三开学考试高三开学考试)如图，正方体AC1，P为平面B1BD1内一动点，设二面角A1-BD1-P

4、的大小为，直线 A1P 与平面 A1BD1所成角的大小为.若 cos=sin，则点 P 的轨迹是()A.圆B.抛物线C.椭圆D.双曲线二、二、多选题多选题7.(20222022 湖北湖北 高一阶段练习高一阶段练习)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为线段AA1的中点，AP=AB+AD，其中,0,1，则下列选项正确的是()A.=12时，A1PED1B.=14时，B1P+PD的最小值为13C.+=1时，直线A1P与面B1D1E的交点轨迹长度为22D.+=1时，正方体被平面PAD1截的图形最大面积是4 28.(20222022 湖南岳阳湖南岳阳 三模三模)如图，在直棱柱ABCD-A1

5、B1C1D1中，各棱长均为2，ABC=3，则下列说法正确的是()A.三棱锥A1-ABC外接球的体积为28 2127B.异面直线AB1与BC1所成角的正弦值为32C.当点M在棱BB1上运动时，MD+MA1最小值为2 5+2 3D.N是ABCD所在平面上一动点，若N到直线AA1与BC的距离相等，则N的轨迹为抛物线9.(20222022 广东广东 高二阶段练习高二阶段练习)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的有()A.若点P总满足PD1DC1，则动点P的轨迹是一条直线B.若点P到直线BB1与到直线DC的距离相等，则点P的轨迹为抛物线C

6、.若点P到直线DD1的距离与到点C的距离之和为2，则动点P的轨迹是椭圆D.若D1P与AB所成的角为3，则点P的轨迹为双曲线10.(20222022 江苏南通江苏南通 模拟预测模拟预测)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为底面正方形ABCD内(含边界)的一动点，则()A.存在点P，使得A1P平面B1CD1B.当PCPD时，|A1P|2的最小值是10-2 5C.若APC1的面积为1，则动点P的轨迹是抛物线的一部分D.若三棱锥P-A1B1C1的外接球表面积为414，则动点P的轨迹围成图形的面积为11.(20222022 山东山东 高一阶段练习高一阶段练习)如图，在棱长为3 3 的正方体

7、ABCD-A1B1C1D1中，点P是平面A1BC1内一个动点，且满足DP+PB1=5+2 13，则下列正确的是()(参考数据：sin53=45，sin37=35)A.PBB1DB.点P的轨迹是一个圆C.直线B1P与平面A1BC1所成角为53D.设直线B1P与直线AD1所成角为，则379012.(20222022 广东广东 佛山市南海区艺术高级中学模拟预测佛山市南海区艺术高级中学模拟预测)如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面 ADD1A1上的一个动点(含边界)，P 是棱 CC1的中点，则下列结论正确的是()A.沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为132B.若保

8、持|PM|=2，则点M在侧面内运动路径的长度为3C.三棱锥B-C1MD的体积最大值为16D.若M在平面ADD1A1内运动，且MD1B=B1D1B，点M的轨迹为抛物线13.(20222022 广东佛山广东佛山 高二期末高二期末)如图，在棱长为 2的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M为D1D的中点，连接 BM，设 BM 的中点为 E，动点 N 在底面正方形 ABCD 内(含边界)运动，则下列结论中正确的是()A.存在无数个点N满足AN BM=0B.若AN=2NC，则A1，E，N三点共线C.若 NB+ND=2 3，则 A1N的最大值为7D.若MN与平面ABCD所成的角为3，则点N的轨迹为抛物线

9、的一部分14.(20222022 全国全国 模拟预测模拟预测)如图，点M是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中的侧面ADD1A1上的一个动点(包含边界)，则下列结论正确的是()A.存在无数个点M满足CMAD1B.当点M在棱DD1上运动时，|MA|+MB1的最小值为3+1C.在线段AD1上存在点M，使异面直线B1M与CD所成的角是30D.满足|MD|=2 MD1的点M的轨迹是一段圆弧15.(20222022 福建福建 厦门一中高一阶段练习厦门一中高一阶段练习)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，P为棱AA1上的动点.则下列说法正确的是()A.点

10、P为AA1中点时，PODC1B.当P点运动时，折线段D1P+PC长度的最小值是3+5C.当P点运动时，三棱锥P-BDC1外接球的球心总在直线A1C上D.当P为AA1的中点时，正方体表面到P点距离为2的轨迹的总长度为43+316.(20222022 山东聊城山东聊城 三模三模)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，所有棱长均2，BAD=60，P为CC1的中点，点 Q 在四边形 DCC1D1内(包括边界)运动，下列结论中正确的是()A.当点Q在线段CD1上运动时，四面体A1BPQ的体积为定值B.若AQ平面A1BP，则AQ的最小值为5C.若A1BQ的外心为M，则A1B A1M 为定值2D.若A1Q

11、=7，则点Q的轨迹长度为2317.(20222022 全国全国 华中师大一附中模拟预测华中师大一附中模拟预测)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为 2的正方形，PA平面ABCD，且PA=2点E，F，G分别为棱AB，AD，PC的中点，下列说法正确的是()A.AG平面PBDB.直线FG和直线AC所成的角为3C.过点E，F，G的平面截四棱锥P-ABCD所得的截面为五边形D.当点T在平面ABCD内运动，且满足AGT的面积为12时，动点T的轨迹是圆18.(20222022 福建三明福建三明 模拟预测模拟预测)已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，AM=14AB，点P在正方

12、体的表面上运动，且总满足MP MC=0，则下列结论正确的是()A.点P的轨迹所围成图形的面积为5B.点P的轨迹过棱A1D1上靠近A1的四等分点C.点P的轨迹上有且仅有两个点到点C的距离为6D.直线B1C1与直线MP所成角的余弦值的最大值为3519.(20222022 重庆巴蜀中学高一期中重庆巴蜀中学高一期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AB,CC1,C1D1的中点，动点Q平面MNP，DQ=AB=2，则()A.AC1MNB.直线PQ平面A1BC1C.正方体被平面MNP截得的截面为正六边形D.点Q的轨迹长度为220.(20222022 云南云南 昭通市第一中学高一阶段练

13、习昭通市第一中学高一阶段练习)()(多选多选)如图，若正方体的棱长为 1，点 M 是正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面ADD1A1上的一个动点(含边界)，P是棱CC1的中点，则下列结论正确的是()A.沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为172B.若保持 PM=2，则点M在侧面内运动路径的长度为3C.三棱锥B-C1MD的体积最大值为16D.若点M满足MD1B=B1D1B，则点M的轨迹为线段21.(20222022 山东山东 模拟预测模拟预测)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点M是其侧面ADD1A1上的一个动点(含边界)，点P是线段CC1上的动点，则下列结论正确的是()A.

14、存在点P，M，使得平面B1D1M与平面PBD平行B.存在点P，M，使得二面角M-DC-P大小为23C.当P为棱CC1的中点且PM=2 2 时，则点M的轨迹长度为23D.当M为A1D中点时，四棱锥M-ABCD外接球的内接正四面体的表面积为16 3322.(20222022 广东广东 三模三模)在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，点 P 满足 CP=CD+CC 1，其中 0,1,0,1，则下列结论正确的是()A.当B1P平面A1BD时，B1P可能垂直CD1B.若B1P与平面CC1D1D所成角为4，则点P的轨迹长度为2C.当=时，DP+A1P 的最小值为2+52D.当=1时，正方体经过

15、点A1PC的截面面积的取值范围为62，2 23.(20222022 重庆巴蜀中学高三阶段练习重庆巴蜀中学高三阶段练习)已知正四面体A-BCD的棱长为2，底面BCD所在平面上一动点P满足AP=3，下列说法正确的是()A.点P运动轨迹长度为2 33B.直线AP与底面BCD所成角的正弦值为13C.DP的最大值为3D.直线AP与直线CD所成角的取值范围为3,224.(20222022 福建福建 莆田二中模拟预测莆田二中模拟预测)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是A1D1的中点，点P，Q，R在底面四边形ABCD内(包括边界)，PB1平面MC1D，D1Q=52，点R到平面ABB1A1的

16、距离等于它到点D的距离，则()A.点P的轨迹的长度为2B.点Q的轨迹的长度为4C.PQ长度的最小值为2 55-12D.PR长度的最小值为3 52025.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)如图，若正方体的棱长为 1，点 M 是正方体 ABCD-A1B1C1D1的侧面ADD1A1上的一个动点(含边界)，P是棱CC1的中点，则下列结论正确的是()A.沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为132B.若保持 PM=2，则点M在侧面内运动路径的长度为3C.三棱锥B-C1MD的体积最大值为16D.若M在平面ADD1A1内运动，且MD1B=B1D1B，点M的轨迹为线段26.(202220

17、22 福建福建 厦门一中高二期中厦门一中高二期中)在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA 平面ABCD，且PA=2.若点E，F，G分别为棱AB，AD，PC的中点，则()A.AG平面PBDB.直线FG和直线AB所成的角为4C.当点T在平面PBD内，且TA+TG=2时，点T的轨迹为一个椭圆D.过点E，F，G的平面与四棱锥P-ABCD表面交线的周长为2 2+627.(20222022 全国全国 模拟预测模拟预测)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形BB1C1C内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是()A.若D1Q平面

18、A1PD，则动点Q的轨迹是一条线段B.存在Q点，使得D1Q平面A1PDC.当且仅当Q点落在棱CC1上某点处时，三棱锥Q-A1PD的体积最大D.若D1Q=62，那么Q点的轨迹长度为2428.(20222022 湖南益阳湖南益阳 一模一模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E、F分别是棱AB、A1B1的中点，点P在四边形ABCD内(包含边界)运动，则下列说法正确的是()A.若P是线段BC的中点，则平面AB1P平面DEFB.若P在线段AC上，则异面直线D1P与A1C1所成角的范围是4,2C.若PD1平面A1C1E，则点P的轨迹长度为2D.若PF平面B1CD1，则PF长度的取值范围是

19、6,2 229.(20222022 湖南湖南 长沙市南雅中学高三阶段练习长沙市南雅中学高三阶段练习)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，E 为线段AA1的中点，AP=AB+AD，其中,0,1，则下列选项正确的是()A.=12时，A1PED1B.=14时，B1P+PD的最小值为132C.=时，三棱锥D1-EBP的体积为定值D.+=1时，直线A1P与面B1D1E的交点轨迹长度为2430.(20222022 湖北湖北 襄阳五中模拟预测襄阳五中模拟预测)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D中，E为侧面BCC1B1的中心，F是棱C1D1的中点，若点P为线段BD1上的动点，N为

20、ABCD所在平面内的动点，则下列说法正确的是()A.PE PF 的最小值为148B.若BP=2PD1，则平面PAC截正方体所得截面的面积为98C.若D1N与AB所成的角为4，则N点的轨迹为双曲线的一部分D.若正方体绕BD1旋转角度后与其自身重合，则的最小值是2331.(20222022 广东珠海广东珠海 高三期末高三期末)如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，各棱长均为2，ABC=3，则下列说法正确的是()A.三棱锥A1-ABC外接球的表面积为283B.异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为12C.当点M在棱BB1上运动时，MD+MA1最小值为2 5+2 3D.N是平面ABCD上一动点，

21、若N到直线AA1与BC的距离相等，则N的轨迹为抛物线32.(20222022 浙江杭州浙江杭州 高二阶段练习高二阶段练习)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AA1=2 6，P是该正四棱柱表面或内部一点，直线PB，PC与底面ABCD所成的角分别记为，且sin=2sin，记动点P的轨迹与棱BC的交点为Q，则下列说法正确的是()A.Q为BC中点B.线段PA1长度的最小值为5C.存在一点P，使得PQ平面AB1D1D.若P在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1表面，则点P的轨迹长度为8+3 3633.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)如图，若正方体的棱长为 1，

22、点 M 是正方体 ABCD-A1B1C1D1的侧面ADD1A1上的一个动点(含边界)，P是棱CC1的中点，则下列结论正确的是()A.当M为AD中点时，三棱锥M-BDP的体积为124B.沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为132C.若保持PM=2，则点M在侧面内运动路径的长度为3D.若M在平面ADD1A1内运动，且MD1B=B1D1B，点M的轨迹为抛物线34.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)如图，已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是边长为4的正方形，CG=m，点M为CG的中点，点P为底面EFGH上的动点，则()A.当m=4时，存在点P满足PA+PM=8B.当m=4时，

23、存在唯一的点P满足APM=2C.当m=4时，满足BPAM的点P的轨迹长度为2 2D.当m=4 33时，满足APM=2的点P轨迹长度为8 3935.(20222022 浙江丽水浙江丽水 高二期末高二期末)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AA1=2 6，P是该正四棱柱表面或内部一点，直线PB，PC与底面ABCD所成的角分别记为,，且sin=2sin，记动点P的轨迹与棱BC的交点为Q，则下列说法正确的是()A.Q为BC中点B.线段PA1长度的最小值为5C.存在一点P，使得PQ平面AB1D1D.若P在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1表面，则点P的轨迹长度为8+3 3636.(

24、20222022 江苏江苏 扬州中学高三开学考试扬州中学高三开学考试)如图，点P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上一个动点，则()A.当P在平面BCC1B1上运动时，四棱锥P-AA1D1D的体积不变B.当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是6,2C.当直线AP与平面ABCD所成的角为45时，点P的轨迹长度为+4 2D.若F是A1B1的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF平面B1CD1时，PF长度的最小值是5三、三、双空题双空题37.(20222022 山东潍坊山东潍坊 模拟预测模拟预测)如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多

25、面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”点A，B，M是该多面体的三个顶点，点N是该多面体外接球表面上的动点，且总满足 MNAB，若AB=4，则该多面体的表面积为 _；点N轨迹的长度为_38.(20222022 湖南湖南 雅礼中学二模雅礼中学二模)已知菱形ABCD的各边长为2,D=60.如图所示，将ACB沿AC折起，使得点D到达点S的位置，连接SB，得到三棱锥S-ABC，此时SB=3.则三棱锥S-ABC的体积为 _，E 是线段 SA 的中点，点 F 在三棱锥 S-ABC 的外接球上运动，且始终保持EFAC，则点F的轨迹的周长为_.39.(20222022 浙江浙江 模拟预测模拟预测)在棱长为

26、3 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为侧面BCC1B1内的动点，且直线A1P与AB的夹角为30，则点P的轨迹长为 _；若点A1与动点P均在球O表面上，球O的表面积为_40.(20222022 江苏无锡江苏无锡 高三期末高三期末)正四面体ABCD的棱长为12，在平面BCD内有一动点P，且满足AP=6 3，则P点的轨迹是 _；设直线AP与直线BC所成的角为，则cos的取值范围为_.四、四、填空题填空题41.(20222022 广东广东 广州六中高二期中广州六中高二期中)在矩形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，AD=1,AB=2，将 ADE 沿DE折起得到ADE，设AC的中点为M，若将A

27、DE绕DE旋转90，则在此过程中动点M形成的轨迹长度为_.42.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为BD1，B1C1的中点，点P在正方体表面上运动，且满足MPCN，点P轨迹的长度是_.43.(20222022 湖北湖北 黄冈中学二模黄冈中学二模)如图，棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1，点 P 沿正方形 ABCD 按ABCDA 的方向作匀速运动，点 Q沿正方形 B1C1CB按B1C1CBB1的方向以同样的速度作匀速运动，且点P,Q分别从点A与点B1同时出发，则PQ的中点的轨迹所围成图形的面积大小是 _

28、.44.(20222022 湖南师大附中三模湖南师大附中三模)已知棱长为 3 的正四面体 ABCD，E 为 AD 的中点，动点 P 满足 PA=2PD，平面经过点D，且平面平面BCE，则平面截点P的轨迹所形成的图形的周长为 _.45.(20222022 江西萍乡江西萍乡 三模三模(理理)如图，在正方形ABCD中，点M是边CD的中点，将ADM沿AM翻折到PAM，连接PB,PC，在ADM翻折到PAM的过程中，下列说法正确的是 _(将正确说法的序号都写上)点P的轨迹为圆弧；存在某一翻折位置，使得AMPB；棱PB的中点为E，则CE的长为定值；46.(20222022 安徽安徽 合肥一中模拟预测合肥一中

29、模拟预测(文文)如图，点M是正方体ABCD-A1B1C1D1中的侧面ADD1A1内(包括边界)的一个动点，则下列命题正确的是_(请填上所有正确命题的序号)满足BMA1D的点M的轨迹是一条线段；在线段AD1上存在点M，使异面直线B1M与CD所成的角是6；若正方体的棱长为1，三棱锥B-C1MD的体积最大值为13；存在无数个点M，使得点M到直线AD和直线C1D1的距离相等47.(20222022 河南河南 鹤壁高中模拟预测鹤壁高中模拟预测(文文)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形BB1C1C内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是_若D1Q平面A1P

30、D，则动点Q的轨迹是一条线段存在Q点，使得D1Q平面A1PD当且仅当Q点落在棱CC1上某点处时，三棱锥Q-A1PD的体积最大若D1Q=62，那么Q点的轨迹长度为2448.(20222022 北京北京 高三专题练习高三专题练习)如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2，点 O 为底面 ABCD 的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动.给出下列四个结论：D1OAC；存在一点P，D1OB1P；若D1OOP，则D1C1P面积的最大值为5；若P到直线D1C1的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分.其中所有正确结论的序号是_.49.(20222022 四川南充四川南充

31、二模二模(理理)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2 3,M,N为体对角线 BD1的三等分点，动点P在三角形ACB1内，且三角形PMN的面积SPMN=2 63，则点P的轨迹长度为 _.50.(20222022 宁夏宁夏 石嘴山市第三中学高三期末石嘴山市第三中学高三期末(理理)如图正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，点M是棱A1D1的中点，点P在面ABCD内(包含边界)，且MP=2 5，则下列四个命题中：点P的轨迹的长度为2存在P，使得MPA1C直线MP与平面BDD1B1所成角的正弦值最大为2 55沿线段MP的轨迹将正方体ABCD-A1B1C1D1切割成两部分，挖去体积较小

32、部分，剩余部分几何体的表面积为88+2(5-1)其中正确命题的序号是_.51.(20222022 四川省叙永第一中学校模拟预测四川省叙永第一中学校模拟预测(文文)正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为3，点E在边BC上，且满足BE=2EC，动点M在正方体表面上运动，并且总保持 MEBD1，则动点M的轨迹的周长为_.52.(20222022 青海青海 海东市教育研究室一模海东市教育研究室一模(理理)已知 P 为正方体 ABCD-A1B1C1D1表面上的一动点，且满足 PA=2 PB,AB=2，则动点P运动轨迹的周长为_.空间几何体运动轨迹与长度问题一、一、单选题单选题1.(20222022 全国

33、全国 高三专题练习高三专题练习(理理)已知正方体ABCD-ABCD的棱长为4，E，F分别为BB，CD的中点，点 P 在平面 ABBA中，PF=2 5，点 N 在线段 AE 上，则下列结论正确的个数是()点P的轨迹长度为2；线段FP的轨迹与平面ABCD的交线为圆弧；NP的最小值为6 5-105；过A、E、F作正方体的截面，则该截面的周长为103+4313+2 5A.4B.3C.2D.1【答案】D【解析】对于，根据圆的定义得到轨迹，并且中要注意点P在平面ABBA上，而非正方形ABBA上；对于，圆锥的斜截面与侧面的交线不是圆的一部分就可以判断；对于，实质是要计算中的圆心到直线AE的距离；对于，要先作

34、出截面，然后再计算周长.【详解】设AB的中点为O，则点P的轨迹是平面ABBA上以O为圆心，以2为半径的圆，所以点P的轨迹长度为4，故错误；连接FO，易知线段FP的轨迹是圆锥FO的侧面，而平面ABCD与轴FO不垂直，所以线段FP的轨迹与平面ABCD的交线不是圆弧，故错误；以AB的中点O为原点，分别以AB水平向右、垂直平分AB为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则AE所在的直线方程为x-2y-6=0，则点O到直线x-2y-6=0的距离为d=|-6|1+(-2)2=6 55，所以NP的最小值为6 55-2=6 5-105，故正确；如下图，过A,E,F作正方体的截面，为五边形AEMFG，其中M为BC的靠近

35、C的三等分点，G为DD的靠近D的四等分点.可计算得AG=42+32=5,GF=22+12=5,AE=22+42=2 5，ME=22+832=103,FM=22+432=2 133，所以该截面的周长为5+5+2 5+103+2 133=253+3 5+2 133，故错误.故选：D.【点睛】关键点睛：本题一是要注意点P在平面ABBA上，而非正方形ABBA上，二是要正确的作出过A,E,F的截面.2.(20222022 江西江西 模拟预测模拟预测(理理)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点P在A1C1B的内部及其边界上运动，且DP=14，则点P的轨迹长度为()A.2B.2C.2 2D.3

36、【答案】A【解析】连接B1D、B1D1、BD，A1C1B1D1=E，连接BE交B1D于O，证明B1D平面A1C1B得DOOP，求出OP长度，确定O的位置，确定P的轨迹形状，从而可求P的轨迹长度【详解】连接B1D、B1D1、BD，则A1C1B1D1，A1C1DD1，B1D1DD1=D1，A1C1平面B1DD1，A1C1B1D，同理A1BB1D，B1D平面A1C1B设A1C1B1D1=E，连接BE交B1D于O，由BODEOB1且BD=2B1E可知OD=2B1O，则OD=23B1D=2 3，连接OP，则ODOP，OP=DP2-OD2=142-2 32=2，可得点P的轨迹为以点O为圆心，2 为半径的圆

37、在A1C1B内部及其边界上的部分，OB=2OE，E为A1C1中点，及A1BC1为等边三角形可知O为A1BC1中心，OE=13BE=13323 2=620，三棱锥P-ABC的体积V=1312x23=24解得：x=4 3ABC的外接圆半径为r1=122 4 3=2 6球心O到底面ABC的距离为d1=R2-r21=25-24=1，又顶点P到底面ABC的距离为3，顶点P的轨迹是一个截面圆的圆周当球心在底面ABC和截面圆之间时，球心O到该截面圆的距离为d2=3-1=2，截面圆的半径为r2=R2-d22=25-4=21，顶点P的轨迹长度为2r2=2 21；当球心在底面ABC和截面圆同一侧时，球心O到该截面

38、圆的距离为d3=3+1=4，截面圆的半径为r3=R2-d32=25-16=3，顶点P的轨迹长度为2r3=6；综上所述，顶点P的轨迹的总长度为 6+2 21故选：D【点睛】本题考查空间几何体外接球的问题以及轨迹周长的求法，考查空间想象能力、转化思想以及计算能力，题目具有一定的难度5.(20222022 重庆重庆 模拟预测模拟预测)已知棱长为 3 的正四面体 A-BCD，P 是空间内的任一动点，且满足 PA 2PD，E为AD中点，过点D的平面平面BCE，则平面截动点P的轨迹所形成的图形的面积为()A.B.2C.3D.4【答案】C【解析】设BCD的外心为O，过O点作BC的平行线，以O为坐标原点，建立

39、的空间直角坐标系，设P(x,y,z)，根据PA2PD，求得点P的轨迹方程，分别延长AB,AF,AC到点M,P,N，使得AB=BM,AF=FP,AC=CN，得到平面BCE平面，过O点作OO1PD，可得证得OO1平面DMN，即OO1为点O到平面DMN的距离，结合球的截面圆的性质，求得截面圆的半径，即可求解.【详解】设BCD的外心为O，过O点作BC的平行线，以O为坐标原点，建立的空间直角坐标系，如图所示，因为BC=3，所以OD=3，OA=AD2-OD2=6，则A(0,0,6),D(0,3,0),F 0,-32,0，设P(x,y,z)，由PA2PD，可得x2+y2+(z-6)22 x2+(y-3)2+

40、z2，整理得x2+y-4 332+z+6324，所以动点P的轨迹为以 0,4 33,-63为球心，半径为2的球及球的内部，分别延长AB,AF,AC到点M,P,N，使得AB=BM,AF=FP,AC=CN，可得CEDN,BEMD，可证得CE平面MND，BE平面MND，又由CEBE=E，所以平面BCE平面MND，即平面MND为平面，如图(1)所示，过O点作OO1PD，可得证得OO1平面DMN，即OO1为点O到平面DMN的距离，连接EF，根据面面平行的性质，可得EFDP，在直角DEF中，可得sinDFE=DEDF=33，在直角OO1D中，可得OO1=ODsinODO1=ODsinDFE=3 33=1，

41、所以O1D=OD2-OO21=22-12=3，即截面圆的半径为3，所以球与平面的截面表示半径为3 的圆面，其面积为(3)2=3.故选：C.6.(20222022 浙江温州浙江温州 高三开学考试高三开学考试)如图，正方体AC1，P为平面B1BD1内一动点，设二面角A1-BD1-P 的大小为，直线 A1P 与平面 A1BD1所成角的大小为.若 cos=sin，则点 P 的轨迹是()A.圆B.抛物线C.椭圆D.双曲线【答案】D【解析】先求得二面角A1-BD1-P的大小，进而得到直线A1P与平面A1BD1所成角的大小，依据直线A1P与平面A1BD1所成角的正弦值列方程，可得点P的轨迹.【详解】连接AC

42、交BD于O，取B1D1中点O1,连接OO1以O为原点,分别以OA、OB、OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图：令正方体边长为2，则A(2,0,0),C(-2,0,0),A1(2,0,2),B1(0,2,2)，P=(0,y,z)面A1BD1的一个法向量为AB1=(-2,2,2)，面BB1D1的一个法向量为AC=(-2 2,0,0)则cos AC,AB 1=(-2,2,2)(-2 2,0,0)2 2 2 2=12，故二面角A1-BD1-B1的大小为3又二面角A1-BD1-P的大小 0,，则=3或=23由cos=sin=32，0,2，可得=6又A1P=(-2,y,z)sin=A1

43、P AB1 A1P AB1=(-2,2,2)(-2,y,z)2 22+y2+z2=12整理得z2+4z+2 2y+2 2yz=0即y=-24z-3z+1-3 24，是双曲线.故选：D二、二、多选题多选题7.(20222022 湖北湖北 高一阶段练习高一阶段练习)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为线段AA1的中点，AP=AB+AD，其中,0,1，则下列选项正确的是()A.=12时，A1PED1B.=14时，B1P+PD的最小值为13C.+=1时，直线A1P与面B1D1E的交点轨迹长度为22D.+=1时，正方体被平面PAD1截的图形最大面积是4 2【答案】ABD【解析】A选项，作

44、出辅助线，得到点P在线段FG上，证明线面垂直，得到线线垂直；B选项，作出辅助线，将两平面展开为同一平面内，利用两点之间线段最短，得到B1P+PD的最小值，求出答案；C选项，作出辅助线，找到直线A1P与面B1D1E的交点轨迹，求出长度；D选项，作出辅助线，分P位于线段DZ上和线段BZ上，分别求出截面的最大面积，比较得到结果.【详解】取AD中点F，BC的中点G，连接A1F，A1G，FG，则FG=AB，因为AP=AB+AD，=12，0,1所以AP=FG+AF，即点P在线段FG上，因为E为线段AA1的中点，则A1E=AF，故A1ED1AFA1，所以AA1F=A1D1E，由于AA1F+D1A1F=A1D

45、1E+D1A1F=2，所以A1FD1E，又GF平面ADD1A1，A1F平面ADD1A1，所以GFD1E，因为GFA1F=F，所以D1E平面A1FG，因为A1P平面A1FG，所以A1PED1，A正确；B选项，在AB上取点H，使得AH=14AB，在DC上取点K，使得DK=14DC，因为AP=AB+AD，=14，0,1所以点P在线段HK上，将平面B1HKC1与平面AHKD沿着HK展开到同一平面内，如图1，连接B1D交HK于点P，即三点共线时，B1P+PD取得最小值，其中由勾股定理得：B1H=22+322=52，所以AB1=52+12=3，所以B1D=22+32=13，故B正确；C选项，AP=AB+A

46、D，,0,1，+=1时，由向量共线定理的推论可得：P点在线段BD上，连接A1B,A1D，交B1E于点M，交D1E于点N，连接MN，则线段MN即为直线A1P与面B1D1E的交点轨迹，其中三角形A1BD是等边三角形，BA1D=60，由三角形相似可知：A1MMB=A1EB1B=12，而A1B=2 2，所以A1M=2 23，同理可得：A1N=2 23，所以三角形A1MN是等边三角形，所以MN=A1N=2 23，直线A1P与面B1D1E的交点轨迹长度为2 23，C错误；由C选项的分析可知，：P点在线段BD上，连接AC，BD相交于点Z，当P位于线段DZ上时，连接AP并延长交CD于点Q，连接D1Q，则平面P

47、AD1截正方体所得图形为三角形D1AQ，则当P与Z重合时，Q与C重合，此时截面三角形D1AQ面积最大，面积为34 2 22=2 3；当P位于线段BZ上时，如图3，连接AP并延长，交BC于点W，过点W做WRAD1交CC1于点R，连接D1R，则四边形AWRD1即为平面PAD1截正方体所得的截面，设BW=x，则由平行性质可知：C1R=x，则AW=D1R=4+x2，所以四边形AWRD1为等腰梯形，其中RW=2 2-x，设梯形的高为h，则h=AW2-AD1-WR24=12x2+4，则截面面积为2 2-x+2 2212x2+4=4-xx2+82，如图4所示，直角三角形ABC，直角边AB=2 2,BC=4，

48、在BC上取一点D，连接AD，则三角形ADC的面积即为4-xx2+82，显然当x=0时，面积取得最大值，最大面积为4 2，因为4 2 2 3，所以+=1时，正方体被平面PAD1截的图形最大面积是4 2，D正确.故选：ABD【点睛】立体几何中的点的运动轨迹问题，或线的运动轨迹问题，要结合题目特征，利用平行或垂直关系，找出轨迹是线段或圆弧，或是椭圆，抛物线等，进而求出相应的轨迹长度.8.(20222022 湖南岳阳湖南岳阳 三模三模)如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，各棱长均为2，ABC=3，则下列说法正确的是()A.三棱锥A1-ABC外接球的体积为28 2127B.异面直线AB1与BC1

49、所成角的正弦值为32C.当点M在棱BB1上运动时，MD+MA1最小值为2 5+2 3D.N是ABCD所在平面上一动点，若N到直线AA1与BC的距离相等，则N的轨迹为抛物线【答案】ACD【解析】A选项，求出ABC的外接圆半径，进而求出三棱锥A1-ABC外接球的半径，求出体积；B选项，作平行线，找到异面直线AB1与BC1所成角，用余弦定理求出余弦值，进而求出正弦值；C选项，将平面ABB1A1与平面B1BDD1沿着公共边BB1折叠到同一平面内，利用勾股定理进行求解；D选项，由抛物线定义进行判断.【详解】因为在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，各棱长均为2，ABC=3，所以ABC为等边三角形，设三棱

50、锥A1-ABC外接球球心为O，则O在底面ABC的投影为ABC的中心H，设ABC外接圆半径为R，由正弦定理得：2R=2sin3=4 33，所以ABC外接圆半径为2 33，设三棱锥A1-ABC外接球的半径为r，则r=R2+12=213，故三棱锥A1-ABC外接球的体积为43r3=28 2127，A正确；连接AD1，B1D1，则AD1BC1，且从图中可以看出B1AD1为锐角，所以异面直线AB1与BC1所成角即为B1AD1，由勾股定理得：AB1=AD1=2 2，由余弦定理得：B1D1=4+4-222cos120=2 3，故在AB1D1中，由余弦定理得：cosB1AD1=8+8-1228=14，所以si