2023届高三下学期2月大联考（全国乙卷）理科数学试卷含答案.pdf

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1、理科数学 全解全析及评分标准 第 1 页（共 15 页）2023 年高三 2 月大联考（全国乙卷）理科数学全解全析及评分标准 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A B C D B C C A D A B 1B【解析】由(2i)8iz，得8i1510i32i2i5z，所以32iz 故选 B 2A【解析】由103xx，得(1)(3)0 xx且30 x，解得13x，所以|13Mxx.由22yx，得2y，所以|2Ny y，所以2,3)MN 故选 A 3B【解析】根据

2、全称命题的否定为特称命题，可知p为“1x，(1)0 x x”，故选 B 4C【解析】A：a可能在平面内，所以 A 错误；B：a与m可能平行，从而与可能相交，所以 B错误；C：a且bm，所以 C 正确；D：如图，考虑正方形沿对角线折叠，另一条对角线折起后形成的两条直线，以及折痕和一条半平面内与折痕平行的直线，它们符合垂直关系，但两个半平面不一定垂直，所以 D 错误故选 C 5D【解析】因为(,)4 2，所以2(,)2.又4sin25，所以23cos21sin 25 ，所以2312sin5，解得2 5sin5（负值舍去）故选 D 6B【解析】由函数的值域，可以排除 A.由函数的奇偶性，可以排除 D

3、.C:2cossin()xxxfxx，令()cossing xxxx，则()sing xxx 当(0,)x时，()0g x恒成立，所以()g x在(0,)上单调递减 因为(0)0g，所以()(0)0g xg在(0,)上恒成立，所以当(0,)x时，()0fx恒成立，所以()f x在(0,)上单调递减，所以排除 C故选 B 7C【解析】（1）若“糕点制作”安排 1 名女教师，有12C种不同的安排方法，后续项目分两类：若“自行车修理”安排 1 名男教师，则余下 4 人安排到另两个项目，每个项目 2 人，有122442C C C种不同的安排方法；若“自行车修理”安排2名男教师，则余下3人，1人安排到“

4、绿植修剪”，2人安排到“蔬菜种植”，有212432C C C理科数学 全解全析及评分标准 第 2 页（共 15 页）种不同的安排方法.（2）若“糕点制作”安排 2 名女教师，则“自行车修理”只能安排 1 名男教师，余下 3 人，1 人安排到“绿植修剪”，2 人安排到“蔬菜种植”，有21122432C C C C种不同的安排方法，所以，一共有1122212211224424322432C(C C CC C C)C C C C96种不同的安排方法故选 C8C【解析】2()2sin(cossin)1sin22sin1sin2cos22cos(2)4f xxxxxxxxx ，所以()f x的最大值为2

5、，将8x代入()2cos(2)4f xx，得2cos(2)2884f（），故 A 和 D 错误；将2cos2yx的图象向右平移4个单位长度得到2cos2()2cos(2)2sin242yxxx的图象，所以 B 错误；由2224kxkk Z，得5()88kxkk Z，所以5 88，是()f x的一个单调递减区间，所以()f x在3()48，上单调递减故选 C 9A【解析】由题意，知x，y满足约束条件0,0113xyxyxyxy，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示（五边形OEBCD（包含边界），作出直线24xy，易得5 2(,)3 3A，(2,1)B，(1,2)C，(0,1)D，(1,

6、0)E，连接 DE，则非负数x，y对应的可行域的面积为151 12222ODEBCDESS 正方形，事件“24xy”对 应 的 可 行 域 的 面 积 为112122233ABCSAB BC，所 以 所 求 概 率 为1235152P 故选 A 10 D【解析】由题图（2）得，圆形木板的直径为221055 5 设截得的四边形木板为ABCD，A，ABc，,BDa ADb BCn CDm，如图 理科数学 全解全析及评分标准 第 3 页（共 15 页）由3cos5得4sin5在ABD中，由正弦定理，得5 52sin2a，解得4 5a 在ABD中，由余弦定理，得2222cosabcbc，226805b

7、cbc，配方，得216()805bcbc(*)2()2bcbc，(*)式可化为22161()()55bcbcbc，21()805bc，20bc，当且仅当10bc时等号成立 同理，在CBD中，得10mn，当且仅当5mn时等号成立，这块四边形木板周长的最大值为 30故选 D 11A【解析】设1|MFm，2|MFn，椭圆 C 的半焦距为 c，则2mna，24mnc，所以224ac 22()()22mnmnmn2()ma因为acmac，所以22224()0,acmac，即224ca 25c，则21154e，所以5152e故选 A 12B【解析】（1）先比较,a b：0.40.40.40.6ee(1ln

8、e)a，2ln42(1ln2)b，可以构造函数()(1ln)f xxx，则0.4(e)af，(2)bf 对()f x求导，得()lnfxx，当(1)x,时，()0fx，()f x在(1)，上单调递减 00.40.51 eee2，0.4(e)(2)ff，即ab（2）再比较,b c：4ln4e42ln2ebc 可以构造函数()2lneg xxxx，则()1lng xx，当(0,e)x时，()0g x；当(e,)x时，()0g x，()g x在(0e)，上单调递增，在(e)，上单调递减，max()(e)0g xg，理科数学 全解全析及评分标准 第 5 页（共 15 页）即22213()()323ba

9、R，即22394ba，所以三棱锥PABC的体积为 231 1333(12)3 221216Vabbabaa(02 3a).令33()(12)16V xxx(02 3)x，则23 33 3()(4)(2)(2)1616Vxxxx 当02x时，()0V x；当22 3x时，()0V x，所以()V x在(0,2)上单调递增，在(2,2 3上单调递减，所以()V x在2x 处取得极大值，也是最大值，所以，当2a 时，三棱锥PABC的体积V最大，且最大值为3故填3 说明：第 13 题写成135也给分.第 14 题写成2 20 xy，2 20yx，204xy，204yx或24xy 也给分.三、解答题：共

10、 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）【解析】（1）由题意知，11.613.012.811.812.012.811.512.713.412.412.912.813.213.511.212.611.812.813.212.0（1 分）250.0，（2 分）所以25012.520 x，（3 分）222212201()()()20sxxxxxx（4 分）理科数学 全解全析及评分标准 第 6 页（共 15 页）20222222122012201112

11、()202020iixxxx xxxxxx（5 分）0.43 所以估计该种植大户收获的果实长度的平均数和方差分别为 12.5,0.43.（6 分）（2）由表中数据得，样本中果实长度不小于 12cm 的频率为34.（8 分）由于收获的果实数量巨大，所以X近似服从二项分布，即3(4,)4XB，（10 分）所以3333()43,()4(1)4444E XD X.（11 分）所以据此可以估计，X的数学期望与方差分别为 3，34（12 分）说明：第一问：1.写出11.613.012.0给 1 分；2.得到“250”给 1 分；3.4 分段：若最后结果正确，不写全公式不扣分，最后结果错误，正确写出公式给

12、1 分；4.5 分段：若最后结果正确，不写全公式不扣分，最后结果错误，正确写出公式给 1 分.第二问：1.11 分段，(),()E XD X都求正确，给 1 分，最后用文字叙述X的数学期望与方差都正确给 1 分；2.若(),()E XD X求解正确一个且用文字叙述X的数学期望或方差正确一个，给 1 分.18（12 分）【解析】（1）因为对任意*mnN，n mnmaaa，所以11nnaaa，（1 分）所以数列na是公差1da的等差数列，1nana（2 分）设等比数列 nb的公比为q，因为11ba，220ba，331ba，所以112112031a qaa qa 又因为110ba，解得111ba，2

13、q，所以12nnnanb，（6 分）（2）因为12nnnc，所以01231123422222nnnT，12341234222222nnTn，（8 分）两式相减，得234111(1)1111122(1)2122222222212nnnnnnTnnn，所以1242nnnT（12 分）理科数学 全解全析及评分标准 第 7 页（共 15 页）说明：第一问：1.1 分段为考生写出“11nnaaa”或“数列na是等差数列”；2.6 分段为12nnnanb，写出一个给 1 分.第二问：1.写出12nnnc给 1 分，写出2nT正确给 1 分，相减正确给 1 分，求和正确给 1 分，化简正确给 1 分，结果正

14、确给 1 分；2.若结果正确，11(1)21212nnn和222nn 都没有写，不扣分；3.若2nT展开没有写，结果正确，只给 1 分，中间过程分全部扣掉.19（12 分）【解析】（1）如图，取AD的中点F，连接PFEF，PAPD，PFAD 平面PAD 平面ABCD，平面PAD 平面ABCD=AD，PF 平面PAD，PF 平面ABCD.（1 分）又BD 平面ABCD，PFBD（2 分）四边形ABCD为菱形，ACBD 点EF，分别为CDAD，的中点，EFAC，EFBD（3 分）PFBD，EFBD，PFEFF，PFEF，平面PEF，BD 平面PEF（4 分）又PE 平面PEF，BDPE（5 分）（

15、2）记ACBDO，则OAOB 由（1）知，PF 平面ABCD，则PFOAPFOB，过点O作OQPF，则OAOBOQ，两两垂直（6 分）理科数学 全解全析及评分标准 第 8 页（共 15 页）如图，以OAOBOQ，所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则(4,0,0)A，(0,2,0)B，(4,0,0)C，(2,1,0)E，(2,1,2)P，（7 分）(2,1,2)PA，(6,1,0)AE ，(2,3,2)PB ，(6,1,2)PC .设平面PAE的法向量为111(,)x y zm，由00PAAE mm，得1111122060 xyzxy，令11x，则16y ，12

16、z ，所以(1,6,2)m是平面PAE的一个法向量（9 分）设平面PBC的法向量为222(,)xyzn，由00PBPC nn，得2222222320620 xyzxyz，令21x，则22y ，24z ，所以(1,2,4)n是平面PBC的一个法向量（10 分）设平面PBC与平面PAE所成锐二面角为，则 222222|1 1(6)(2)(2)(4)|861cos|411(6)(2)1(2)(4)m nmn，所以平面PBC与平面PAE所成锐二面角的余弦值为86141(12 分)说明：第一问：1.1 分段没有“平面PAD 平面ABCD=AD，PF 平面PAD”不扣分；2.2 分段没有“又BD 平面AB

17、CD”不扣分；3.4 分段没有“PFEFF，PFEF，平面PEF”不扣分；4.5 分段没有“又PE 平面PEF”不扣分.第二问：1.6 分段必须有三线两两垂直的叙述或简证，否则扣 1 分；2.7 分段可以写“如图建系”且正确写出至少 2 个点坐标即可得 1 分；3.9 分段和 10 分段法向量正确，过程省略，不扣分；4.12 分段求解正确即使无公式也给满分；若求解错误，写对公式，给 1 分.理科数学 全解全析及评分标准 第 10 页（共 15 页）说明：第一问：1.1 分段为圆与抛物线联立；2.2 分段为化简为 x 的方程.第二问：1.5 分段为设直线 1 分；2.6 分段为将直线AB的方程代

18、入圆E的方程；3.7 分段为求出22122121yym；4.8 分段和 9 分段为求出34,yy，各 1 分；5.10 分段为求出1234|yyyy；6.11 分段为代入求出21221212()16|4()16|y ym y ym yy；7.“显然直线AB的斜率不为 0，”这句话必须有，否则最多得 11 分.21（12 分）【解析】（1）()f x的定义域为R，()(e1)xfxxax，()e1(0)xg xaxx，2()e1ag aa（1 分）令2()e1(0)xh xxx，则()e2xh xx 令()e2(0)xxx x，则()e2xx（2 分）由()0 x，得ln2x，当(0,ln2)x

19、时，()0 x；当(ln2,)x时，()0 x，()x在(0,ln2)上单调递减，在(ln2,)上单调递增，理科数学 全解全析及评分标准 第 11 页（共 15 页）当(0,)x时，()(ln2)22ln20 x，即当(0,)x时，()0h x，()h x在(0,)上单调递增 0a，()(0)0h ah，当0a 时，()0g a 恒成立（4 分）（2）由（1）知，()(e1)xfxxax 设()e1xm xax(xR)，则()exm xa 当0a 时，()0m x 恒成立，()m x在R上单调递增(0)0m，当(0)x，时，()0m x，从而()0fx；当(0)x，时，()0m x，从而()0

20、fx 又(0)0f，x R，都有()0fx，()f x在R上单调递增，此时()f x无极值（5 分）当0a 时，由()0m x，得lnxa，当(ln)xa，时，()0m x；当(ln)xa，时，()0m x，()m x在(,ln)a上单调递减，在(ln,)a 上单调递增，当lnxa时，()m x取得最小值，且最小值为(ln)ln1maaaa（6 分）令()ln1F xxxx(0 x)，()lnF xx，当(01)x,时，()0F x；当(1,)x时，()0F x，()F x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减(1)0F，当(0,)x时，()0F x，即当0a 时，(ln)ln10maa

21、aa(当且仅当1a 时等号成立)（7 分）（i）当1a 时，(ln)(0)0mam，且当0 x 时，都有()0m x，(0)0f，且当(,0)x 时，()0fx；当(0,)x时，()0fx，()f x在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增，()f x在0 x 处取得极小值，符合题意.（8 分）（ii）当01a时，ln0a，且(ln)0ma 11()e0ama，(0)0m，()ym x的图象大致如图（1）理科数学 全解全析及评分标准 第 12 页（共 15 页）由函数的单调性及零点存在定理，得在1(ln)aa，内存在唯一的实数1x，使得1()0m x，当1(,)xx 时，()0m x，从而(

22、)0fx；当1(,0)xx时，()0m x，从而()0fx；当(0)x，时，()0m x，从而()0fx，()f x在1(,)x上单调递减，在1(,)x 上单调递增，()f x在1xx处取得极小值，符合题意.（10 分）（）当1a 时，ln0a，且(ln)0ma (0)0m，由（1）知，()0m a，()ym x的图象大致如图（2）由函数的单调性及零点存在定理，得在(ln,)a a内存在唯一的实数2x，使2()0m x，当(,0)x 时，()0m x，从而()0fx；当2(0,)xx时，()0m x，从而()0fx；当2(,)xx时，()0m x，从而()0fx，()f x在2(,)x上单调递

23、减，在2(,)x 上单调递增，()f x在2xx处取得极小值，符合题意 综上，当()f x存在极小值时，a的取值范围为(0,)（12 分）说明：第一问：1.求出()g a，1 分；2.对()h x求 2 次导，1 分；3.证出()0h x，1 分；理科数学 全解全析及评分标准 第 13 页（共 15 页）4.最后证出()0g a，1 分.第二问:1.证明“当0a 时，()f x无极值”，1 分；2.当0a 时，求出()m x最小值为(ln)ln1maaaa，1 分；证明(ln)0ma，1 分；3.当1a 时，()f x在0 x 处取得极小值，1 分；4.当01a时()f x有极小值，2 分；5

24、.当1a 时()f x有极小值，1 分；6.综上，1 分.（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22（10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程【解析】（1）()2 cos04m，222(cossin)022m，（1 分）即sincos0m（2 分）又sin,cosyx，（3 分）0 xym，即直线l的直角坐标方程为0 xym（4 分）（2）依题意，知曲线C的普通方程为2214yx，（5 分）其与x轴的交点分别为 A(1 0)，B(1 0)，（6 分）设点(,)M x y，由|3|MAMB，得2222(1)3(1)xyxy，（7 分

25、）即22410 xyx，（8 分）22(2)3xy，它表示圆心为(2 0)E，半径为3的圆 点(,)M x y既在直线l上，又在圆E上，|2|32m，即|2|6m，（9 分）2626m ，即实数m的取值范围为 26 26，（10 分）说明：第一问：1.(2 cos4)的展开正确，给 1 分；理科数学 全解全析及评分标准 第 14 页（共 15 页）2.直线l的直角坐标方程为0 xym求解正确，sin,cosyx没有写不扣分；直线l的直角坐标方程求解错误，写sin,cosyx给 1 分.第二问：1.正确求出曲线C的普通方程给 1 分；2.正确求出 A，B 点的坐标给 1 分；3.代入|3|MAM

26、B正确，给 1 分；4.得到圆的方程22410 xyx 或22(2)3xy给 1 分；5.只要得到2626m 给 1 分.23（10 分）选修 4-5：不等式选讲 【解析】（1）当2a 时，原不等式可化为2|1|2|2xx（1 分）当2x 时，原不等式可化为2(1)(2)2xx，整理得2x，所以2x （2 分）当12x时，原不等式可化为2(1)(2)2xx，整理得2x，所以此时不等式的解集是空集（3 分）当1x 时，原不等式可化为2(1)(2)2xx，整理得2x ，所以2x （4 分）综上，当2a 时，不等式()2f x 的解集为(,2)(2,)（5 分）（2）若存在2 4x，使得()0f x

27、，即存在2 4x，使得|2|2axx 式可转化为(2)22xaxx，（6 分）即2222xaxaxx （7 分）因为2 4x，所以式可化为41(1)0axax，（8 分）若存在2,4x使得式成立，则min4(1)10axa，即01aa，（9 分）所以01a，即a的取值范围为0 1，（10 分）说明：第一问：1.把2a 代入正确得 1 分；三种情况讨论各 1 分；综上 1 分；2.当12x时，得2x，没有得出不等式的解集是空集扣掉 1 分；但是答案正确，答案分不扣，这理科数学 全解全析及评分标准 第 15 页（共 15 页）1 分仍然给.第二问：1.转化 1 分，化简 1 分，2 种讨论各 1 分，综上 1 分；2.或另解：即22xax 且22axx（7 分）对于22xax，即41ax2 4)(,x，所以min44(1)104ax.（8 分）对于22axx，即(1)0ax2 4)(,x，所以10,a 即1a.（9 分）综上，01a，即a的取值范围为0 1，（10 分）