2023届普通高等学校招生全国统一考试百日冲刺模拟试题数学试卷含答案.pdf

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1、【高三数学第1 页共6 页】2023 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷数学试卷本试卷共本试卷共 6 页，页，22 小题，满分小题，满分 150 分。考试用时分。考试用时 120 分钟。分钟。注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处条形码粘贴处”。2作答选择题时作答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用用 2B 铅笔把答题卡上对

2、应题目选项的答案信息点涂铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。液。不按以上要求作答的答案无效。4考生必须保持答题卡的整洁。考试结

3、束后，将试卷和答题卡一并交回。考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。1 唐代诗人王维，字摩诘，在后世有“诗佛”之称，北宋苏轼评曰：“味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗。”在王维相思这首诗中，哪一句可以作为命题（）A红豆生南国B春来发几枝C愿君多采撷D此物最相思2 若 i=1|1|i，则|?|=（）A1B 2C2D123 如图，在三棱锥 中，=3，=2，=5，则三

4、棱锥 外接球的体积为（）A 2B 3C 6D6【高三数学第2 页共6 页】4 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为=00，其中表示每一轮优化时使用的学习率，0表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 0.5，衰减速度为 18，且当训练迭代轮数为 18 时，学习率衰减为 0.4，则学习率衰减到 0.2 以下（不含 0.2）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：1g2 0.3010）A72B74C76D785 抛物线:2=2 0 的准线交轴于点，焦点为，直

5、线过点且与抛物线交于，两点，若=2 ，则直线的斜率为（）A2 23B23C3 24D246.校园内因改造施工，工人师傅用三角支架固定墙面(墙面与地面垂直)(如图)，要求前述直角三角形周长为30dm，面积为230dm，则此时斜杆长度应设计为（）dm.A10B13C16D197.已知函数2()2cos2 3sincosf xxxxa（0，aR）.且：()f x的最大值为 1；：()f x的相邻两条对称轴之间的距离为2.若将函数()f x图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向右平移12单位，得到函数()g x的图象，若()g x在区间0,m上的最小值为(0)g，m 的最大值为（）A12B6

6、C3D238.已知0.111,tan0.1,ln0.9eabc，其中 e 为自然对数的底数，则（）AcabBabcCbacDacb【高三数学第3 页共6 页】二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9.某校团委组织“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”学生书画作品比赛，经评审，评出一、二、三等奖作品若干（一、二等奖作品数相等），其中男生作品分别

7、占 40%，60%，60%，现从获奖作品中任取一件，记“取出一等奖作品”为事件，“取出男生作品”为事件，若 =0.12，则（）A =0.4B一等奖与三等奖的作品数之比为 3:4C =0.25D =0.5410.下列选项中正确的是（）A若平面向量?，?满足|?|=2|?|=2，则|?2?|的最大值是 5；B在 中，=3，=1，O 是 的外心，则?的值为 4；C函数()=tan 2 3的图象的对称中心坐标为6+2,0 ZD已知 P 为 内任意一点，若?=?=?，则点 P 为 的垂心；11.已知函数 ，的定义域为 R，为 的导函数，且 +=5，4 =5，若 为偶函数，则下列结论一定正确的是（）A 4

8、=5B2=0C 1=3D 1+3=1012.在正四面体中，若=2，则下列说法正确的是（）A该四面体外接球的表面积为 3B直线与平面所成角的正弦值为33C如果点在上，则+的最小值为 6D过线段一个三等分点且与垂直的平面截该四面体所得截面的周长为2 6+2 23三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分。13.已知椭圆:22+22=1(0)的上、下顶点分别为1，2，点是椭圆 C 上异于1、2的点，直线1和2的斜率分别为1、2，写出一个满足1 2=4 的椭圆 C 的方程是_14.已知(3)(+2)4=0+1+22+33+44+55，则实数2的值为

9、_.【高三数学第4 页共6 页】15.在锐角 中，角，的对边分别为，若cos+cos=2cos，1tan+1tan的取值范围为_16.已知函数()=+1,0,2 2,0.则()=0 根为_；若函数=()有四个零点，则实数的取值范围是_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10 分）在 中，角,成等差数列，角,所对的边分别为,(1)若 =2，求:的值；(2)若=+，判断 的形状18.（12 分）已知等差数列 中，公差 0，3=5，2是1与5的等比中项，设数列 的前项和为，满足4

10、=1 .(1)求数列 与 的通项公式；(2)设=，数列 的前项和为，若+18 1 对任意 恒成立，求实数的取值范围.【高三数学第5 页共6 页】19.（12 分）已知梯形,，现将梯形沿对角线向上折叠，连接，问：(1)若折叠前不垂直于，则在折叠过程中是否能使？请给出证明；(2)若梯形为等腰梯形，=3,=5，折叠前 ，当折叠至面垂直于面时，二面角 的余弦值20.（12 分）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对 100 辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：(1)估计这 100 辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的

11、中点值代表）；(2)经计算第（1）问中样本标准差的近似值为 50，根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布,2（用样本平均数?和标准差分别作为的近似值），现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程 250,400 的概率；（参考数据：若随机变量 ,2，则 +0.6827，2 +2 0.9545,3 +3 0.9973)【高三数学第6 页共6 页】(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上（方格图上依次标有数字 012320）移动，若遥控车最终停在“胜利大本营”（第 19 格）

12、，则可获得购车优惠券 3 万元；若遥控车最终停在“微笑大本营”（第 20 格），则没有任何优优惠券.已知硬币出现正反面的概率都是12，遥控车开始在第 0 格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次：若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到+1)；若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到+2），直到遥控车移到“胜利大本营”或“微笑大本营”时，游戏结束.设遥控车移到第 1 19 格的概率为，试证明 1是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券全额的期望值（精确到 0.1 万元）.21.（12 分）在平面直角坐标系中，圆:32+2=100，3,0，C 为圆 A 上一点，线段 BC 的垂直平分线与线段 AC

13、交于点 P，记点 P 的轨迹为曲线 E(1)求曲线 E 的方程；(2)若过点52,8 且斜率存在的直线l交曲线E于点M，N，线段MN上存在点S使得=，求 +的最小值22.（12 分）已知函数 =ln+ln 2+2.(1)当=1 时，求证：1 0；(2)若函数 有且仅有一个极值点，求实数 a 的取值范围.2023 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷答题卡数学试卷答题卡姓名：姓名：考号：考号：座位号：座位号：一、一、选择题（选择题（1-81-8 题为单选，题为单选，9-129-12 题为多选）题为多选）题号题号1 12 23 34 45 56 67 78 89 9

14、101011111212答案答案二、二、填空题填空题题号题号答案答案1313141415151616三、三、解答题解答题17.17.（续）（续）18.20.20.（续）（续）21.22.20232023 年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷参考答案年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷参考答案一、一、选择题（选择题（1-81-8 题为单选，题为单选，9-129-12 题为多选）题为多选）题号题号1 12 23 34 45 56 67 78 89 9101011111212答案答案A AA AC CB BA AB BC CB BABDABDABDABDABDABDACDACD二、二、填空题填空

15、题题号题号答案答案131324+2=1（答案不唯一）（答案不唯一）14144015152 33,316161 或或 2 2(1,1+1)三、三、解答题：参照详解解答题：参照详解20232023 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷参考答案详解数学试卷参考答案详解1A【详解】对于 A 选项，“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以，本句为命题；2A【详解】设=+i，（,R,i 为虚数单位）.所以+1 i=1 12+2i，所以=1 1=12+2，解得：=1=12.所以=1+12i,=1 12i，所以|?|=i=1.3C【详解】解：由题意，=3，=2，=5，

16、将三棱锥 放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为 3，2，5，设长方体的长、宽、高分别为,，则 2+2=3，2+2=2，2+2=5，解得=1，=2，=3所以三棱锥 外接球的半径=122+2+2=62三棱锥 外接球的体积=433=64B【详解】由于=00，所以=0.5 18，依题意 0.4=0.5 1818，则=45，则=0.5 4518，由=0.5 (45)18 18log4525=18 lg5lg2lg52lg2=18(12lg2)13lg2 73.9，所以所需的训练迭代轮数至少为 74 次5A【详解】设直线方程为=2，将=22=2联立得2 2+2=0，设 1,1，2,2，即1+2=21

17、2=2过点,分别向准线作垂线，垂足为,又因为=2 ，所以 =2 ,即 =2 ,所以为的中点，即 21=2，所以得1=232=43，则892=1，解得=3 24，所以直线的斜率为1=2 23，6B【详解】设斜杆长为a，它与地面的夹角为，由题意有：22sincos30sincossin2602aaaaa，21202sincosa，而30sincosaa，结合22sincos1，知：2230120()1aaa，解之得13a.7 C【详解】22cos2 3sincosf xxxxacos23sin212sin 216xxaxa，时，31a，解得2a ；时，22T，即22T，解得1；所以()2sin 2

18、16f xx，将函数()f x图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到2sin(4)16yx的图象，再向右平移12单位，得到函数2sin4()12sin(4)11266yxx 的图象，即 2sin 416g xx；因为0,xm，所以4,4666xm，因为 g x在区间0,m上的最小值为 0g，所以74660mm，解得03m.8B【详解】【法一】令()(1)xg xex，则()e1xg x，当0 x 时，()0g x，当0 x 时，()0g x，所以当0 x 时，()g x取得最小值，即()(0)0g xg，所以e1xx，所以0.1e10.1 1 10.1a 因为tan,0,2xx x，

19、所以tan0.10.1b ，令()1 lnxxx（0 x），则11()1xxxx，当01x时，()0 x，当1x 时，()0 x，所以当1x 时，()x取得最小值，所以()(1)0 x，所以ln1xx，所以ln0.90.9 10.1c ：设 ln1tan,1,0f xxx x 222cos1111cos1 cosxxfxxxxx设 2cos(1),2cos sin1sin21h xxxh xxxx 在1,0上，0h x，h x递减，所以 00h xh所以()0fx，fx递增，所以 0.10ff，即ln0.9tan0.10，所以cb，综上：abc【法二】9ABD【详解】解：设一、二等奖作品有件，

20、三等奖作品有件，则男生获一、二、三等奖的作品数为 0.4、0.6、0.6，女生获一、二、三等奖的作品数为 0.6、0.4、0.4，因为 =0.4+=0.12，所以 4=3，所以|=0.4=0.4，故 A 正确；=0.4+0.6=0.4+0.643=29 0.25，故 C 错误；一等奖与三等奖的作品数之比为:=3:4，故 B 正确；=+0.62+=+0.6432+43=0.54，故 D 正确；10 ABD【详解】对于 A，因|?|=2|?|=2，则|?2?|=(?2?)2=?2+4?2 4?12+4 22+4|?|?|=5，当且仅当?=2?时取等号，A 正确；对于 B，令边 AB 的中点为 D，

21、因 O 是 的外心，则 ，则?=(?+?)?=12?2=12，同理有?=12?2=92,所以?=(?)?=?=4，B 正确；对于 C，由 2 3=2，Z 得=4+6，Z，因此函数()图象的对称中心为(6+4,0)，Z，C 不正确；对于 D，点 P 在 内，由?=?得：(?)?=0，即?=0，有 ，由?=?，同理有 ，因此点 P 为 的垂心，D 正确.11 ABD【详解】因为()为偶函数,则()=()，两边求导得()=(),所以()为奇函数,因为()+()5=0,()(4 )5=0,所以()5=()=(4 ),故()=(4 ),所以()=(4+),即()的周期=4 且(0)=(4)=0,在()+

22、()5=0，()(4 )5=0 中,令=4,可得(4)+(4)5=0,所以(4)=5，故 A 正确；令=2，可得(2)=(2)，而()为奇函数，则(2)=(2)，所以(2)=(2)，则(2)=0，故 B 正确;令=1 得(1)(5)5=0,(5)=(1)=(1),则(1)+(1)5=0,无法求得(1),同理令=3 得(3)+(3)5=0,(3)=(1)=(1),因此(3)(1)5=0,相加得(1)+(3)=10,只有在(1)=0 时,有(1)=(3),但(1)不一定为 0,因此 C 错误;在()+()5=0 中,令=1 得,(1)+(1)5=0,在()(4 )5=0 中,令=3 得,(3)(1

23、)5=0,两式相加得(1)+(3)10=0,即(1)+(3)=10，故 D 正确；注：试题调研中与本试卷的题目注：试题调研中与本试卷的题目B选项有所区别选项有所区别12ACD【详解】正四面体中，=2，图中点为外接球的球心，半径为=，1为 的外心，所以1=12232=23=63，由于12+12=2，又因为1=22632=2 33，所以632+2 33 2=2，解得=32，因此外接球的表面积为 4 322=3，故 A 正确；由于=62,1=63,1=2 33，且与平面所成的角为1，因此 sin1=1=2 332=63，故 B 错误；因为 于，所以min=;于，所以min=;因此当与点重合时，+最小

24、，最小值为 2 62=6，故 C 正确；在平面中过点作 交于，在平面中过点作 交于，连接,又因为 =，所以 平面，因此平面即为所求，=63,=2 23,则 的周长为63+63+2 23=2 6+2 23，同理在平面中过点作 交于，在平面中过点作 交于，连接,可得平面，而平面即为所求，=63,=2 23，则 的周长为63+63+2 23=2 6+2 23，故 D 正确.1324+2=1（答案不唯一）【详解】由题意可知10,、20,，设 0,00 0，则022+022=1，所以02=20222，所以12=000+0=02202=22=4，所以2=42.所以椭圆的方程可以为24+2=1（只需满足2=

25、42即可）.故答案为：24+2=1（答案不唯一）.1440【详解】+24的展开式的通项+1=C4 4 2=2C4 4，=0,1,2,3,4.当 3 选取时，应取+24展开式中含的项，令 4 =1，则=3，4=23C43 =32，此时2的系数为 32；当 3 选取3时，应取 +24展开式中含2的项，令 4 =2，则=2，3=22C42 2=242，此时2的系数为3 24=72.所以2=32 72=40.152 33,3【详解】由正弦定理得 sincos+sincos=2sincos，又 sincos+sincos=sin +=sin =sin，则 sin=2sincos，又 0,，则 sin 0

26、，则 cos=12，则=3；1tan+1tan=cossin+cossin=sincos+sincossinsin=sin+sinsin=sinsinsin=32sinsin，由=3可得=23，又 为锐角三角形，则0 20 23 2，可得6 2，则 sinsin=sinsin23 =sin32cos+12sin=32sincos+12sin2=34sin2 14cos2+14=12sin 2 6+14，又6 2 656，则12 sin 2 6 1，则1212sin 2 6+1434，即12 sinsin 34，则1tan+1tan2 33,3.16.1 或 2(1,1+1)【详解】（1）当 0

27、 时，()=+1，所以()=+=(+1)，令()=0，得=1，并且当 1 时，()1 时，()0，所以函数()在(,1)上单调递减，在(1,0)上单调递增，所以()min=(1)=0，故当 0 时，()=0 有唯一根1，当 0 时，=2 2，令 =0，解得=0（舍去）或 2，故当 0 时，()=0 的根为 2，综上，()=0 根为1 或2；（2）因为()=+1,02 2,0，当 0 时，由（1）()min=(1)=0，则 0 ()1，当 0时，()=2 2=(1)2 1，则函数()在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，且仅当(2)=0，且()1，因为当=()=0 时，则有()=2 或

28、()=1，即()=+2 或()=1，由图象得，要使函数=()有四个零点，则+2 10 1 1解得 1 1+1，或1 +2 01 1 0 对任意的 恒成立 为递增数列当是奇数时，则 245，即 245当是偶数时，则 8245 8.19(1)不能，证明见解析(2)1925372537【详解】（1）假设折叠过程中能使 折叠前，假设 ，E 为垂足，连，则与不垂直折叠后，若 ，又与是平面内的相交直线，故 平面，又 平面，从而有 ，故折叠前也应有 .显然，与矛盾故假设不能成立即折叠过程中不能使 （2）设折叠前与的交点为 F，则由题意易知=3 22,=5 22折叠前，在梯形内过 B 做 ，垂足为 G，则=1

29、,=4,=17折叠后，因为面垂直于面，而 ,，所以 所以=2+2=3 222+5 222=17，又和是平面内的相交直线，所以 平面所以 解法：过点 C 在平面内作 ，H 为垂足，连接，又 =，则 平面，又 平面，所以 ，故即为二面角 的平面角在 中，=17,=5，所以 cos=52 17，又 0 =6，曲线 E 是长轴长为 10，B，A 分别为左、右焦点的椭圆又 52 32=4，曲线 E 的方程为225+216=1（2）当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为=52，此时52,2 3，52,2 3 或52,2 3，52,2 3，此时52,32.当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程

30、为 8=52，1,1，2,2，0,0，易知点 D 在曲线 E 外，则=521522，=1002，1002=521522，解得0=521+2212512联立，得225+216=1 8=52，整理得 252+16 2+25 16 5 +60 25220 252=0，方程 252+16 2+25 16 5 +60 25220 252=0,的判别式=625216 52 4 252+1660 25220 252 0,解得 1615.又1+2=25 516252+16，12=6025220252252+16，则0=521+2212512=256010+2点 0,0在直线:8=52上，0=052+8=15+

31、1610+2由得=20+6025100，由得=201615100，20+6025100=201615100，整理得0+50 10=0，点 0,0在线段:+5 10=0（在椭圆内部，52）上运动故点在线段:+5 10=0（在椭圆内部）上运动记为关于的对称点，连接交于0，则当与0重合时 +最小，最小值为 连接交于，则为的中点，的斜率为15，直线的斜率为 5，又（3,0），直线的方程为=5 15联立方程，得+5 10=0=5 15，得=8526=3526，得8526,3526，4613,3513，+的最小值为 =4613+32+3513 02=5 222(1)证明见解析；(2)实数 a 的取值范围为

32、(，0.【详解】(1)因为=1，所以 =ln+ln 2+2，函数 =ln+ln 2+2 的定义域为(0,+)，=ln+1+1 2，设 =ln+1+1 2，=112=12，当 1 时，0，函数 =ln+1+1 2 单调递增，当 0 1 时，1 时，()0，所以 1 0，当 0 1 时，()0，当=1 时，(1)=0，所以 1 =0，所以 1 0(2)函数 =ln+ln 2+2 的定义域为(0,+)，=ln+1+1 2，因为函数 有且仅有一个极值点，所以方程 ln+1+1 2=0 有且只有一个能用二分法求解的正根，即方程ln+1 2=0 有且只有一个二分法求解的正根，因为=12不是方程的解，故方程

33、ln+21=有且只有一个二分法求解的正根，设()=ln+21，函数()=ln+21的定义域为|0 且 12，()=ln+2(21)2ln2212=ln+22212，设()=ln+2 2，则()=1+2=21，当 12时，()0，函数()=ln+2 2 单调递增，又(1)=0，所以当 1 时，()0，当12 1 时，()0当 0 12时，()0，所以存在0(e2,12)使得()=0，即 20 2=ln0即当 (0,0)时，()0，当 (0,12)时，()1 时，()0，函数()=ln+21单调递增，当12 1 时，()0，函数()=ln+21单调递增，当 (0,12)时，()0，函数()=ln+21单调递减，又(1)=121=1 0，(0)=0ln0+0201=0(202)+0201=0，(e1)=e1+e12e11=0当 0 0时，()=ln+121，其中 ln+1 2 1 0，由此可得函数()图象如图所示，由图象可得ln+21=有且仅有一个能用二分法求解的正根时 0，所以实数 a 的取值范围为(，0.