湖北省沙市中学2022-2023学年高三下学期2月月考数学试题含答案.pdf

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1、1 20222023 学年度学年度下下学期学期 2020 级级 二月月考数学试卷 考试时间：2023 年 2 月 23 日一一 选择题：本题共选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 40分分.在每小题所给出的选项中，只有一项是符合题在每小题所给出的选项中，只有一项是符合题目要求的目要求的.1.已知集合2N13,3AxxBx x=，则AB=（）A.13xx B.03xxC.0,1D.12.()()3icos60isin60+=（）A.iB.2 C.13i D.3i3.在正方形ABCD中，E在CD上且有2,CEED AE=与对角线BD交于F，则AF=（）A.1233ABAD+B

2、.3144ABAD+C.1344ABAD+D.13ADAB+4今年入夏以来，南方多省市出现高温少雨天气，持续的干旱天气导致多地湖泊及水库水位下降.已知某水库水位为海拔50m时，相应水面的面积为2160km；水位为海拔41m时，相应水面的面积为2140km.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔50m下降到41m时，减少的水量约为（143.7）（）A931.0 10 mB931.2 10 m C931.3 10 m D931.4 10 m5.从 11 到 15 这 5个整数中选出 2 个，则这 2 个数的因数个数之和为 8 的概率是（）A.110B.15C.310D.256

3、.已知()()()2 32tan0,023f xxf=+=，周期 3,0446T 是()f x的对称中心，则3f的值为（）A.3B.3C.2 33D.2 337.若2ln1.01,1.021201abc=，则（）2 A.abcB.bacC.bcaD.cba8.某正六棱锥外接球的表面积为16，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长2,3l，则其体积的取值范围是（）A.9 34 3,2 B.128 34 3,27C.9 3 128 3,227D.64 3,4 327二二多选题：本题共多选题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 20分分.在每小题给出的四个选项中，有多

4、项符合题目在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求要求.全部选对的得全部选对的得 5分，部分选对的得分，部分选对的得 2分，有选错的得分，有选错的得 0分分.9.通过长期调查知，人类汗液中A指标的值X服从正态分布()210,2.5N.则（）参考数据：若()2,XN，则()0.6827PX+=；()220.9545PX+=.A.估计100人中汗液A指标的值超过10的人数约为50 B.估计100人中汗液A指标的值超过12.5的人数约为16 C.估计100人中汗液A指标的值不超过15的人数约为95D.随机抽检5人中汗液A指标的值恰有2人超过10的概率为51610.已知AC为圆锥SO底面圆O的直径

5、（S为顶点，O为圆心），点 B 为圆O上异于,A C的动点，1,3SOOC=，则下列结论正确的为（）A.圆锥SO的侧面积为2 3B.SAB的取值范围为,6 3C.若,ABBC E=为线段AB上的动点，则min()102 15SECE+=+D.过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为311.已知抛物线 C：22(0)ypx p=过点()1,2,M是C准线l上的一点，F 为抛物线焦点，过M作C的切线,MA MB，与抛物线分别切于A B，则（）A.C准线方程是1x=B.2|MFFA FB=C.2|AMAF=D.0MA MB12设定义在R上的函数()f x与()g x的导函数分别为()fx和

6、()g x若()()42f xgx=，()(2)g xfx=，且()2f x+为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）A函数()f x的图象关于点()1,0对称 B()()354gg+=3 C20231()0kf k=D20231()0kg k=三三填空题：本题共填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 20分分.13.()623xy+中4x y的系数为_（用数字作答）.14.已知直线ykxb=+是曲线()ln 1yx=+与2lnyx=+公切线，则kb+=_.15.若1ab，且35ab+=，141abb+的最小值为 m，2abbab+的最大值为 n,则mn 为_，16如图，12

7、FF、是椭圆1C与双曲线2C的公共焦点，A B、分别是1C、2C在第二、四象限的交点，若123AFB=，则1C与2C的离心率之积的最小值为_ 四四解答题：本题共解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分分，解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程及演算步骤证明过程及演算步骤.17.已知数列 na满足()12nnn aaS+=，其中nS是 na的前n项和.（1）求证：na是等差数列；（2）若121,2aa=，求()121nnnnnaba a+=的前n项和nT.18.在ABC中，,A B C所对的边分别为,a b c，且()2222222a bcaRaacb+=+，其中R是三角形外接圆半径，且

8、A不为直角.（1）若6B=，求A的大小；（2）求2222acb的最小值.4 19.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB平面,ABCD O为AB中点，AC与OD交于点,EPAB的重心为G.（1）求证：EG/平面PCD（2）若5,8,4PAPBABBC=，求二面角CGED的正弦值.20.2022 年卡塔尔世界杯决赛于当地时间 12月 18 日进行，最终阿根廷通过点球大战总比分7:5战胜法国，夺得冠军.根据比赛规则：淘汰赛阶段常规比赛时间为 90 分钟，若在 90 分钟结束时进球数持平，需进行 30 分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采用“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”

9、的规则如下：两队各派 5 名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；如果在踢满 5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满 5 轮最多可能射中的球数，则不需要再踢（例如：第 4 轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为2:0，则不需要再踢第 5轮）；若前 5 轮“点球大战中双方进球数持平，则从第 6 轮起，双方每轮各派 1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出.（1）假设踢点球球员等可能地随机选择球门的左中右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左中右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也只有35的可能性将球扑出.若球员射门均在门内，在一次

10、“点球大战中，求门将在前 4 次扑出点球的个数X的分布列与期望；（2）现有甲乙两队在决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方0:0战平，需要通过“点球大战”来决定冠军.设甲队每名队员射进点球概率均为34，乙队每名队员射进点球的概率均为23，假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.（i）若甲队先踢点球，求在第 3 轮结束时，甲队踢进了 3 个球并获得冠军的概率；（ii）求“点球大战”在第 7 轮结束，且乙队以6:5获得冠军的概率.21.已知椭圆2222:1(10)xyCabab+=的左右焦点分别为12,F F，过点2F作直线l（与x轴不重合）交C于,M N两点，且当M为C的上顶点时，1MNF

11、的周长为 8，面积为8 37（1）求C的方程；（2）若A是C右顶点，设直线,l AM AN的斜率分别为12,k k k，求证：1211kkk+为定5 值.22.已知函数()()1ln1a xf xxx+=（1）当1a=时，求()f x的单调区间；（2）若()f x有两个零点()1212,x xxx，求a的范围，并证明12110lnlnxaxa+第1页/共7页 高三二月月考数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D C C C D B B ABD AC ABC BC 13.162014.3ln215.251616.3217.【小问 1 详解】由()12

12、nnn aaS+=得：当2n 时，()()11112nnnaaS+=，两式子相减得()()1121nnnaana=+，因此可得()111nnnaana+=+，相减得：()()()112211nnnnanana+=+，由于10n ，所以112nnnaaa+=+，所以 na是等差数列；【小问 2 详解】由（1）知 na等差数列，121,2aa=，所以nan=，因此()()()1121212211nnnnnnnnanba an nnn+=+，所以12231122222222122311nnnnnnTn+=+=+.18.【小问 1 详解】在ABC中，()2222222cos2c2osa bcaRaac

13、BbabcAac+=+=coscosbAB=，进而2 coscoscosRBaBbA=，2 cos2 sin cos2 sin cosRBRABRBA=，cossin coscossinBABAB=+sin()sinABC=+=，又A不为直角，则2BC+，2CB=+，6B=，6ABC=.【小问 2 详解】由(1)知，()2222222a bcaRaacb+=+第2页/共7页 转化为cossinBC=，又ABC+=，2CB=+，22AB=.2222acb2222sinsinsinACB=2222222sin(2)cos2cos 2cos2sinsinBBBBBB=()()222422222 1

14、2sin1 sin8sin8sin2 1 sinsinsinBBBBBBB+=422228sin7sin118sin7sinsinBBBBB+=+22128sin74 27sinBB=，当且仅当2218sinsinBB=，即41sin8B=时，等号成立，2222acb的最小值为4 27.19.【小问 1 详解】因为PAB的重心为G，O为AB中点，所以13OGOP=，又1/,2OACD OACD=，所以12OEDE=，即13OEOD=，又13OGOP=，所以OEOGODOP=，所以EG/PD，又PD平面PCD，EG 平面PCD，所以EG/平面PCD；【小问 2 详解】因为PAPB=，O为AB中点

15、，所以POAB，又平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB=，OP 平面PAB，所以PO平面ABCD，如图以O为原点建立空间直角坐标系，则()()()444,4,0,4,4,0,0,0,1,033CDGE，所以8 164488,0,1,03 33333ECGEED=，设平面CGE的法向量为(),mx y z=，则81603344033m ECxym GExyz=+=，令1y=，可得()2,1,4m=，设平面GED的法向量为(),na b c=，则第3页/共7页 8803344033m EDabm GEabc=，令1a=，可得()1,1,0n=，所以142cos,42212m nm n

16、mn=，所以二面角CGED的正弦值1172214242=.20.【小问 1 详解】根据题意门将每次扑中点球的概率131355p=，X的可能取值为0,1,2,3,4，且14,5XB，()()004113442562560C(1);1C(1);625625P XppP Xpp=()()()222334496162C(1);3C1;625625P XppP Xpp=()440414C(1)625P Xpp=；所以X的概率分布为 X0 1 2 3 4()P X25662525662596625166251625数学期望()14455E X=.【小问 2 详解】（i）甲队先踢点球，第三轮结束时甲队踢进了

17、 3个球，并获得冠军，则乙队没有进球，所以甲队获得冠军的概率为3332114364=.（ii）点球在第 7 轮结束，且乙队以6:5获胜，所以前 5 轮战平，且第 6 轮战平，第 7 轮乙队1:0胜甲队 当前 5 轮两队为时，乙队胜出的概率为第4页/共7页 4444553121321225CC443343432304=当前 5 轮两队为5:5时，乙队胜出的概率为5555553211121CC4343432304=，因为上述两个事件互斥，所以乙队胜出的概率为25113230423041152+=.21.【小问 1 详解】依题意，1MNF的周长111221|48MFMNNFMFMFNFNFa+=+=

18、，解得2a=，则椭圆222:14xyCb+=，令椭圆C的半焦距为 c，当M为C的上顶点时，直线l为：1xycb+=，由222114xycbxyb+=+=消去 y 得22(4)80cxcx+=，解得0 x=或284cxc=+，于是得点2228(4)(,)44cb cNcc+，又1MNF的面积为8 37，则221(4)8 32 247b cc bc=+，整理得273(4)bcc=+，则有22743(4)ccc=+，解得23c=或2413c=，有21b=或24813b=，因为01b，则21b=，所以椭圆C的方程为2214xy+=.【小问 2 详解】由（1）知，2(3,0)F，(2,0)A，直线l的方

19、程为(3)yk x=，由22(3)44yk xxy=+=消去y得2222(41)8 31240kxk xk+=，设()()1122,M x yN xy，则221212228 3124,4141kkxxx xkk+=+，而1122122121,2(3)(3)222ykkxyk xxxxkx=，第5页/共7页 12121212121212222(23)(4 31111()333(3)xxx xxxkkkkxxx xxx+=+=+222222222(23)4 31331248 341411248 34141kkkkkkkkk+=+2222221 2(124)(23)8 34 3(1(84 3)(41

20、)41)124)3 8 33(kkkkkkkk+=+，所以1211()84 3kkk+=为定值.22.【小问 1 详解】()f x的定义域为()()0,11,+，当1a=时，()1ln1xf xxx+=+，导函数()2241(1)xxfxx x+=，令0fx，得023x或23x+；令()0fx，得2323x+且1x；所以()f x的单调增区间为()0,23和()23,+，单调减区间为()23,1和()1,23+；【小问 2 详解】当0a=时，()f x只有 1 个零点，不符合题意；当0a时，若01x，则()0f x；若1x，则()0f x，不符合题意，所以0a.当0a 时，()2120(1)a

21、fxxx=+，所以()f x在()0,1和()1,+均单调递增.当1x 时，由()2e0e1aaaf=，()()()()()31313131313131e131 e1e1elnee1e1aaaaaaaaaaf+=()()()31313131313e1e12e20e1e1aaaaaaaa+=，所以()f x在()1,+上有一个零点；第6页/共7页 当01x，同理()()312e0,e0e1aaaaff=，所以()f x在()0,1上有一个零点，所以a的范围是()0,+，因为()f x的两个零点为12,x x，所以()1111ln1a xxx+=，即1112ln1axxax+=，所以11111ln2xxaax=+，同理，22211ln2xxaax=+，所以1212121211111112lnln222xxxaxaaxaxaxx+=+=+，若()0f x=，即()1ln01a xxx+=，则()()1111lnln0111aa xxxf xxxx+=+=，所以()f x的两个零点12,x x互为倒数，即211xx=，所以11211112xxxx+=+（等号不成立），所以121120 xx+，所以12121212111111120lnln222xxxaxaaxaxaxx+=+=+，所以得证.