信号与系统的基本概念.pptx

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1、图1.0-2无线电广播系统的组成第1页/共135页 前前 言言信号的表示，运算和变换。系统的模型，描述和响应计算。信号分析为系统分析服务，重点关注系统分析的理论与方法。3.特点：与电路分析基础课程比较而言分析观点，方法不同（白箱/黑箱法）。采用众多的数字工具：线性代数、矩阵理论、微积分（差分，迭分）运算、傅里叶级数和 变换、拉普拉斯变换、Z变换等。第2页/共135页第一章第一章 信号与系统信号与系统1.1 信号的概念 一、信号的概念 二、信号的分类 信号的运算 一、相加和相乘 二、时间变换1.3 阶跃信号与冲激信号 一、序列函数定义 二、广义函数定义三、冲激函数的性质四、序列和1.4 系统及其

2、描述 一、系统定义及模型 二、系统的输入输出描述 三、系统的状态空间描述 1.5 系统的性质及分类 一、线性非线性系统 二、时变时不变系统 1.6 系统分析的基本思路 一、连续系统 二、离散系统 1.7 系统分析概述第3页/共135页 1.1 信号的概念1.消息（message）人们常常把来自外界的报道统称为消息。2.信息（information）它是信息论中的一个术语。通常把消息中有意义的内容称为信息。本课程中对“信息”和“消息”两词未加严格区分。一、消息，信息与信号 3.信号（signal）信号是消息的载体，常表现为某种变化的物理量。例如：第一章第一章 信号与系统的基本概念信号与系统的基本

3、概念第4页/共135页1.1 信号的概念信号的概念 对于信号我们并不陌生，如刚才铃声声信号，表示该上课了；十字路口红绿灯光信号，指挥交通；电视机天线接收的声音，图像信息电信号；信号按物理属性分为：电信号和非电信号。它们可以相互转换。电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课程仅讨论电信号简称“信号”。电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。描述信号的常用方法：（1）表示为时间的函数 （2）信号的图形表示-波形 “信号”与“函数”两词常相互通用。第5页/共135页1.1 信号的概念信号的概念二、信号的分类1.确定信号和随机信号2.连续信号和离散信号3.周期信号和非周期信号4.能量信号和功率信号5

4、.一维信号和多维信号6.因果信号和反因果信号第6页/共135页1.确定信号与随机信号任一由确定时间函数描述的信号，称为确定信号或规则信号。对于这种信号，给定某一时刻后，就能确定一个相应的信号值。如果信号是时间的随机函数，事先将无法预知它的变化规律，这种信号称为不确定信号或随机信号。第7页/共135页图1.1-1噪声和干扰信号第8页/共135页2.连续信号与离散信号一个信号，如果在某个时间区间内除有限个间断点外都有定义，就称该信号在此区间内为连续时间信号，简称连续信号。这里“连续”一词是指在定义域内(除有限个间断点外)信号变量是连续可变的。至于信号的取值，在值域内可以是连续的，也可以是跳变的。图

5、1.1-2(a)是正弦信号，其表达式为式中，A是常数。其自变量t在定义域(-,)内连续变化，信号在值域-A,A上连续取值。为了简便起见，若信号表达式中的定义域为(-,)时，则可省去不写。也就是说，凡没有标明时间区间时，均默认其定义域为(-，)。第9页/共135页图1.1-2连续信号第10页/共135页图1.1-2(b)是单位阶跃信号，通常记为(t)，其表达式为图1.1-2(c)表示一个延时的单边指数信号，其表达式为式中，A是常数，0。信号变量t在定义域(-,)内连续变化，信号f3(t)在值域0，A)上连续取值。注意，f3(t)在t=t0处有间断点。第11页/共135页对于间断点处的信号值一般不

6、作定义，这样做不会影响分析结果。如有必要，也可按高等数学规定，定义信号f(t)在间断点t0处的信号值等于其左极限f(t0-)与右极限f(t0+)的算术平均值，即第12页/共135页这样，图中的信号f2(t)和f3(t)也可表示为第13页/共135页仅在离散时刻点上有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。这里“离散”一词表示自变量只取离散的数值，相邻离散时刻点的间隔可以是相等的，也可以是不相等的。在这些离散时刻点以外，信号无定义。信号的值域可以是连续的，也可以是不连续的。定义在等间隔离散时刻点上的离散信号也称为序列，通常记为f(k)，其中k称为序号。与序号m相应的序列值f(m)称为信号的第m

7、个样值。序列f(k)的数学表示式可以写成闭式，也可以直接列出序列值或者写成序列值的集合。例如，图1.1-3(a)所示的正弦序列可表示为第14页/共135页图1.1-3离散信号第15页/共135页随k的变化，序列值在值域-A,A上连续取值。对于图1.1-3(b)所示的序列则可表示为第16页/共135页在工程应用中，常常把幅值可连续取值的连续信号称为模拟信号(如图1.1-2(a)；把幅值可连续取值的离散信号称为抽样信号(如图1.1-3(a)；而把幅值只能取某些规定数值的离散信号称为数字信号(如图1.1-3(c)。为方便起见，有时将信号f(t)或f(k)的自变量省略，简记为f()，表示信号变量允许取

8、连续变量或者离散变量，即用f()统一表示连续信号和离散信号。第17页/共135页3.周期信号与非周期信号一个连续信号f(t)，若对所有t均有f(t)=f(t+mT)m=0,1,2,则称f(t)为连续周期信号，满足上式的最小T值称为f(t)的周期。一个离散信号f(k)，若对所有k均有f(k)=f(k+mN)m=0,1,2,(1.1-7)就称f(k)为离散周期信号或周期序列。满足式-7)的最小N值称为f(k)的周期。第18页/共135页图1.1-4周期信号第19页/共135页例试判断下列信号是否为周期信号。若是，确定其周期。(1)f1(t)=sin2t+cos3t(2)f2(t)=cos2t+si

9、nt解我们知道，如果两个周期信号x(t)和y(t)的周期具有公倍数，则它们的和信号f(t)=x(t)+y(t)仍然是一个周期信号，其周期是x(t)和y(t)周期的最小公倍数。第20页/共135页(1)因为sin2t是一个周期信号，其角频率1和周期T1为(2)同理，可先求得f2(t)中两个周期信号cos2t和sint的周期分别为第21页/共135页第22页/共135页4.能量信号与功率信号若将信号f(t)设为电压或电流，则加载在单位电阻上产生的瞬时功率为|f(t)|2，在一定的时间区间内会消耗一定的能量。把该能量对时间区间取平均，即得信号在此区间内的平均功率P。现在将时间区间无限扩展，定义信号f

10、(t)的能量E和平均功率P为第23页/共135页如果在无限大时间区间内信号的能量为有限值(此时平均功率P=0)，就称该信号为能量有限信号，简称能量信号。如果在无限大时间区间内，信号的平均功率为有限值(此时信号能量E=)，则称此信号为功率有限信号，简称功率信号离散信号f(k)的能量定义为第24页/共135页1.2 信号的基本特性信号的基本特性、信号的基本特性、信号的基本特性1.确定信号的时间特性 反映信号幅值大小，变化速率及整体形态随t变 化呈现出来的变化规律。2.确定信号的频率特性 包括信号带宽和各正弦分量振幅，相位随频率的分布情况。3.随机信号的统计特性 用均值，方差，相关函数和协方差函数等

11、表征信号的统计特性。4.信号的信息特性第25页/共135页1.3 信号的运算信号的运算 1.3 信号的运算一、相加和相乘两个信号相加（或相乘），其和（或积）信号等于同一时刻两信号值相加（或相乘）即相加：y(t)=f1(t)+f2(t)y(k)=f1(k)+f2(k)相乘：y(t)=f1(t)f2(t)y(k)=f1(k)f2(k)第26页/共135页图1.3-1连续信号的相加和相乘第27页/共135页图1.3-2离散信号的相加和相乘第28页/共135页1.3 信号的运算信号的运算1.翻转将f(t)f(t)，f(k)f(k)称为对信号f()的翻转或反折。从图形上看是将f()以纵坐标为轴翻转180

12、o。如：二、时间变换包括翻转，平移和展缩运算。第29页/共135页1.3 信号的运算信号的运算2.平移将f(t)f(t t0)，f(k)f(t k0)称为对信号f()的平移或移位。若t0(或k0)0，则将f()右移；否则左移。如：右移t t 1左移t t+1第30页/共135页1.3 信号的运算信号的运算平移与翻转相结合法一：先平移f(t)f(t+2)再反转f(t+2)f(t+2)法二：先反转f(t)f(t)画出f(2t)。再平移f(t)f(t+2)=f(t 2)左移右移注意：是对t 的变换！第31页/共135页1.3 信号的基本运算信号的基本运算3.展缩（尺度变换）将f(t)f(a t)，称

13、为对信号f(t)的尺度变换。若a 1，则波形沿横坐标压缩；若0a 1，则展开：t 2t压缩t 0.5t展开对于离散信号，由于 f(ak)仅在 ak为整数时才有意义，进行尺度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。第32页/共135页1.3 信号的运算信号的运算平移、翻转、尺度变换相结合已知f(t)，画出f(42t)。三种运算的次序可任意。但一定要注意始终对时间 t 进行。压缩，得f(2t 4)翻转，得f(2t 4)右移4，得f(t 4)第33页/共135页1.3 信号的运算信号的运算注意：（1）信号的时间变换运算都是对自变量t（或k）进行；（2）组合运用变换可由画出的波形。第3

14、4页/共135页方法二：翻转、尺度变换、平移相结合已知f(t)，画出 f(4 2t)。第35页/共135页第36页/共135页第37页/共135页1.3 信号的运算信号的运算三、连续信号的导数与积分导数：积分：导数积分第38页/共135页连续时间信号f(t)的积分产生另一个连续时间信号，其任意时刻t的信号值为f(t)波形在(-,t)区间上所包含的净面积。第39页/共135页1.3.4离散信号的差分和迭分1.差分运算按照连续时间信号的导数定义就离散信号而言，可用两个相邻序列值的差值代替f(t)，用相应离散时间之差代替t，并称这两个差值之比为离散信号的变化率。根据相邻离散时间选取方式的不同，离散信

15、号变化率有如下两种表示形式：第40页/共135页考虑到上面两式中(k+1)-k=k-(k-1)=1，因此，相邻两个序列值的变化率也就是这两个序列值之差，故称该操作为差分运算第41页/共135页(1)前向差分：(2)后向差分：第42页/共135页图1.3-11信号的差分第43页/共135页如果对差分运算得到的离散信号继续进行差分操作，可以定义高阶差分运算。对于前向差分有第44页/共135页同理，对于各阶后向差分可表示为第45页/共135页2.迭分运算仿照连续时间信号积分运算的定义在离散信号中，最小间隔就是一个单位时间，即=1，可定义离散积分的运算为第46页/共135页图1.3-12离散信号的迭分

16、第47页/共135页1.4 阶跃信号与冲激信号1.4.1连续时间阶跃信号图1.4-1单位阶跃信号第48页/共135页设图1.4-1(a)所示函数该函数在t时为常数1。在区间(0，)内直线上升，其斜率为1/。第49页/共135页随减小，区间(0，)变窄，在此范围内直线上升斜率变大。当0时，函数(t)在t=0处由零立即跃变到1，其斜率为无限大，定义此函数为连续时间单位阶跃信号，简称单位阶跃信号，用(t)表示，即第50页/共135页单位阶跃信号时移t0后可表示为注意：信号(t)在t=0处和(t-t0)在t=t0处都是不连续的。第51页/共135页图1.4-2单边信号和区间分段信号第52页/共135页

17、图1.4-2(a)和(b)所示的单边信号f1(t)和f2(t)：第53页/共135页而图1.4-2(c)所示的区间分段信号f3(t)为可应用几个不同时移的单位阶跃信号把f3(t)表示为第54页/共135页1.4.2连续时间冲激信号当0时，矩形脉冲的宽度趋于零，幅度趋于无限大，而其面积仍等于1。我们将此信号定义为连续时间单位冲激信号，简称单位冲激信号或函数，用(t)表示，即第55页/共135页图1.4-3单位冲激信号第56页/共135页函数的另一种定义是：定义表明函数除原点以外，处处为零，但其面积为1。第57页/共135页(高斯函数序列）(取样函数序列)(双边指数函数序列)第58页/共135页1

18、.4 阶跃信号与冲激信号阶跃信号与冲激信号二、广义函数定义1.广义函数概念 普通函数：在定义域中，对每个自变量t，按照一定规则f，指定一个函数值f(t).一个普通函数，对于定义域中的变量t，都有对应的函数值f(t)；间断点处的导数不存在。与此不同，(t)在t=0处的导数是(t);(t)在唯一不为零的t=0处的函数值为。这类函数不能按常规函数定义理解，称为奇异（或广义）函数。广义函数：为避开变量点上没有确定函数值的情况，广义函数采用它与另一个函数相互作用（如相乘后积分）后的效果来定义：第59页/共135页1.4 阶跃信号与冲激信号阶跃信号与冲激信号可理解为：在试验函数集(t)中，对每一函数(t)

19、，按一定规则Ng，分配一个函数值Ng(t).注意：(t)是普通函数，满足连续、有任意阶导数。且(t)及各阶导数在|t|时要比|t|的任意次幂更快的趋于零；2.广义函数运算 相等、相加、尺度变换、微分（见教材P19）第60页/共135页1.4 阶跃信号与冲激信号阶跃信号与冲激信号3.(t)的广义函数定义 表明(t)是一种具有能从(t)中筛选出t=0时刻值(0)作用效果（称为筛选性质）的函数。第61页/共135页3.函数的性质性质1函数的微分和积分式中，(0)是(t)的一阶导数在t=0时的值。通常称(t)为单位冲激偶，用图所示的图形符号表示。第62页/共135页图1.4-4单位冲激偶(t)第63页

20、/共135页同理，由广义函数的微分运算定义，并考虑到()=0，单位阶跃信号(t)的导数可表示为第64页/共135页第65页/共135页性质2函数与普通函数f(t)相乘若将普通函数f(t)与广义函数(t)的乘积看成是新的广义函数，则按广义函数定义和函数的筛选性质，有第66页/共135页根据广义函数相等的定义，得到第67页/共135页例1.41试化简下列各信号的表达式。第68页/共135页性质3(t)函数与普通函数f(t)相乘第69页/共135页根据广义函数相等的定义，有对上式两边在(-,)区间取积分同理，将(t)换成(t-t0)，重复上述推导过程第70页/共135页性质4尺度变换设常数a0，按照

21、广义函数尺度变换和微分运算的定义，可将(n)(at)表示为第71页/共135页根据广义函数相等的定义，可得到当n=0和1时，分别有(1.4-36)第72页/共135页性质5奇偶性式(1.4-36)中，若取a=-1，则可得显然，当n为偶数时，有当n为奇数时，有第73页/共135页例1.42计算下列各式：第74页/共135页第75页/共135页1.4 阶跃信号与冲激信号阶跃信号与冲激信号例1.第76页/共135页1.4 阶跃信号与冲激信号阶跃信号与冲激信号例2.证明：第77页/共135页1.4 阶跃信号与冲激信号阶跃信号与冲激信号例3.第78页/共135页练习求下列函数值本例目的在于熟悉并正确应用

22、冲激函数的性质。第79页/共135页方法一：方法二：方法二没有注意利用冲激函数的性质，求解过程较繁。另外，对冲激偶信号的性质往往被错误写成从而得出错误结论 第80页/共135页第81页/共135页1.4 阶跃信号与冲激信号阶跃信号与冲激信号四、阶跃序列与脉冲序列1.单位阶跃序列 2.单位脉冲序列第82页/共135页1.4 阶跃信号与冲激信号阶跃信号与冲激信号筛选性：迭分：3.(k)与(k)的关系第83页/共135页1.5 系统及其描述系统及其描述 1.5 系统及其描述一.系统及模型1.系统的定义若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统。按组成事物性质不同，系统可分为

23、物理系统和非物理系统。电系统是电子元器件的集合体。电路侧重于局部，系统理论侧重于整体。2.系统模型（或描述）第84页/共135页所谓系统模型是指对实际系统基本特性的一种抽象描述。根据不同需要，系统模型往往具有不同形式。以电系统为例，它可以是由理想元器件互联组成的电路图，由基本运算单元(如加法器、乘法器、积分器等)构成的模拟框图，或者由节点、传输支路组成的信号流图；也可以是在上述电路图、模拟框图或信号流图的基础上，按照一定规则建立的用于描述系统特性的数学方程。这种数学方程也称为系统的数学模型。第85页/共135页如果系统只有单个输入和单个输出信号，则称为单输入单输出系统，如图所示。如果含有多个输

24、入、输出信号，就称为多输入多输出系统.图1.5-1单输入单输出系统第86页/共135页图1.5-2多输入多输出系统第87页/共135页对于一个给定系统，如果在任一时刻的输出信号仅决定于该时刻的输入信号，而与其它时刻的输入信号无关，就称之为即时系统或无记忆系统；否则，就称为动态系统或记忆系统。例如，只有电阻元件组成的系统是即时系统，包含有动态元件(如电容、电感、寄存器等)的系统是动态系统。通常，把着眼于建立系统输入输出关系的系统模型称为输入输出模型或输入输出描述，相应的数学模型(描述方程)称为系统的输入输出方程。把着眼于建立系统输入、输出与内部状态变量之间关系的系统模型称为状态空间模型或状态空间

25、描述，相应的数学模型称为系统的状态空间方程。第88页/共135页1.5.2系统的输入输出描述如果系统的输入、输出信号都是连续时间信号，则称之为连续时间系统，简称为连续系统。如果系统的输入、输出信号都是离散时间信号，就称为离散时间系统，简称离散系统。由两者混合组成的系统称为混合系统。第89页/共135页1.系统的初始观察时刻在系统分析中，将经常用到“初始观察时刻t0”或“初始时刻t0”一词，它包括两个含义。含义之一是以t0时刻为界，可将系统输入信号f(t)区分为f1(t)和f2(t)两部分，即第90页/共135页1.5 系统及其描述系统及其描述含义2：从 开始观察系统响应。2.连续系统输入输出描

26、述图示RLC电路，初始观察时刻t=0,以uS(t)作激励,uC(t)作为响应，由KVL和VCR列方程，并整理得(1)解析描述(数学模型)建立微分方程第91页/共135页1.5 系统及其描述系统及其描述二阶常系数线性微分方程。抽去具有的物理含义，微分方程写成这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统。第92页/共135页1.5 系统及其描述系统及其描述其中，k为弹簧常数，M为物体质量，C为减振液体的阻尼系数，x为物体偏离其平衡位置的位移，f(t)为初始外力。其运动方程为能用相同方程描述的系统称相似系统。第93页/共135页1.5 系统及其描述(2)框图描述上述方程从数学角度来说代表了某些运算关

27、系：相乘、微分、相加运算。将这些基本运算用一些理想部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算关系，这样画出的图称为模拟框图，简称框图。基本部件单元有：积分器：加法器：数乘器：积分器的抗干扰性比微分器好。第94页/共135页1.5 系统及其描述系统模拟：实际系统方程模拟框图实验室实现（模拟系统）指导实际系统设计例1：已知y”(t)+ay(t)+by(t)=f(t)，画框图。解：将方程写为y”(t)=f(t)ay(t)by(t)第95页/共135页1.5 系统及其描述例2：已知y”(t)+3y(t)+2y(t)=4f(t)+f(t)，画框图。解：该方程含f(t)的导数，可引入辅助函数画出框图。设

28、辅助函数x(t)满足x”(t)+3x(t)+2x(t)=f(t)可推导出y(t)=4x(t)+x(t)，它满足原方程。第96页/共135页y”(t)+3y(t)+2y(t)=4f(t)+f(t)x”(t)+3x(t)+2x(t)=f(t)y(t)=4x(t)+x(t)第97页/共135页例3：已知框图，写出系统的微分方程。1.5 系统及其描述设辅助变量x(t)如图x(t)x(t)x”(t)x”(t)=f(t)2x(t)3x(t),即x”(t)+2x(t)+3x(t)=f(t)y(t)=4x(t)+3x(t)根据前面，逆过程，得y”(t)+2y(t)+3y(t)=4f(t)+3f(t)第98页/

29、共135页1.5 系统及其描述3.离散系统输入输出描述(1)解析描述建立差分方程例：某人每月定期在银行存入一定数量的款，月息为元/月，求k个月后存折上的款数。解：设k个月后的款数为y(k),这个月的存入款为f(k),上个月的款数为y(k-1)，利息为y(k-1),则y(k)=y(k-1)+y(k-1)+f(k)即y(k)-(1+)y(k-1)=f(k)若设开始存款月为k=0，则有y(0)=f(0)。上述方程就称为y(k)与f(k)之间所满足的差分方程。所谓差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。输出序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为差分方程的阶数。上述为一阶差分方程。第99页

30、/共135页1.5 系统及其描述由n阶差分方程描述的系统称为n阶离散系统。描述LTI离散系统的输入输出方程是线性常系数差分方程。(2)框图描述基本部件单元有：数乘器，加法器，迟延单元（移位器）第100页/共135页1.5 系统及其描述例：已知框图，写出系统的差分方程。解：设辅助变量x(k)如图x(k)x(k-1)x(k-2)即x(k)+2x(k-1)+3x(k-2)=f(k)y(k)=4x(k-1)+5x(k-2)消去x(k)，得y(k)+2y(k-1)+3y(k-2)=4f(k-1)+5f(k-2)x(k)=f(k)2x(k-1)3x(k-2)方程框图用变换域方法和梅森公式简单，后面讨论。第

31、101页/共135页1.5 系统及其描述三、系统的状态空间描述系统的状态空间描述除与外部变量f()和y()有关外还涉及内部变量x()状态变量。描述方程由状态方程和输出方程组成。系统响应：完全响应 零输入响应 零状态响应第102页/共135页设初始观察时刻t0=0时，系统的响应y(t)是由历史输入和当前输入共同决定的，而0-初始状态x(0-)反映了历史输入对系统的全部作用效果，因此，也可将响应y(t)看成是由当前输入f(t)和0-初始状态x(0-)共同决定的，可以表示为式中T表示系统对f(t)和x(0-)的传输和变换作用。第103页/共135页如果当前输入信号接入时，系统的0-初始状态为零(xi

32、(0-)=0，i=1,2,n)，即系统在0-时刻没有储能(有时称这种系统为松弛系统)，则系统的响应仅由当前输入信号确定。我们定义这时的响应为系统的零状态响应，记为yf(t)。即反之，如果系统没有接入当前输入信号，输出响应完全由0-初始状态所引起，这时的响应称为系统的零输入响应HT5SS，记为yx(t)。即第104页/共135页1.5.4系统的框图表示表1.2常用的系统基本运算单元第105页/共135页1.6 系统的性质及分类1.6 系统的性质及分类可以从多种角度来观察、分析研究系统的特性，提出对系统进行分类的方法。第106页/共135页1.6.1线性特性系统的基本作用是将输入信号(激励)经过传

33、输、变换或处理后，在系统的输出端得到满足要求的输出信号(响应)。这一过程可表示为f()y()式中，y()表示系统在激励f()单独作用时产生的响应。信号变量用圆点标记，代表连续时间变量t或离散序号变量k。第107页/共135页如果系统的激励f()数乘(为任意常数)，其响应y()也数乘，就称该系统具有齐次性或均匀性。这一特性也可表述为则系统具有齐次性。第108页/共135页如果任意两个激励共同作用时，系统的响应均等于每个激励单独作用时所产生的响应之和，就称系统具有叠加性。或表述为则系统具有叠加性。式中，f1()，f2()表示两个激励f1()、f2()共同作用于系统。第109页/共135页如果系统同

34、时具有齐次性和叠加性，就称系统具有线性特性。或表述为式中，1、2为任意常数，则系统具有线性特性，表示系统响应与激励之间满足线性关系。若系统既有齐次性又有叠加性，就称该系统具有线性性质，即Taf1(),bf2()=aTf1()+bTf2()一个系统，如果它满足如下三个条件，则称之为线性系统，否则称为非线性系统。第110页/共135页条件1响应y()可以分解为零输入响应yx()和零状态响应yf()之和，即y()=yx()+yf()这一结论称为系统响应的可分解性，简称分解性。通常也称满足分解性条件的响应y()为完全响应。条件2零输入线性,即零输入响应yx()与初始状态x(0-)或x(0)之间满足线性

35、特性。条件3零状态线性，即零状态响应yf()与激励f()之间满足线性特性。第111页/共135页例1.6-1在下列系统中，f(t)为激励，y(t)为响应，x(0-)为初始状态，试判定它们是否为线性系统。(1)y(t)=x(0-)f(t)(2)y(t)=x(0-)2+f(t)(3)y(t)=2x(0-)+3|f(t)|(4)y(t)=af(t)+b 第112页/共135页解由于系统(1)不满足分解性；系统(2)不满足零输入线性；系统(3)不满足零状态线性，故这三个系统都不是线性系统。对于系统(4)，如果直接观察y(t)f(t)关系，似乎系统既不满足齐次性，也不满足叠加性，应属非线性系统。但是考虑

36、到令f(t)=0时，系统响应为常数b,若把它看成是由初始状态引起的零输入响应时，系统仍是满足线性系统条件的，故系统(4)是线性系统。通常，以线性微分(差分)方程作为输入输出描述方程的系统都是线性系统，而以非线性微分(差分)方程作为输入输出描述方程的系统都是非线性系统。第113页/共135页1.5 系统的性质及分类例1：判断下列系统是否为线性系统？（1）y(t)=3x(0)+2f(t)+x(0)f(t)+1（2）y(t)=2x(0)+|f(t)|（3）y(t)=x2(0)+2f(t)解：（1）yf(t)=2f(t)+1，yx(t)=3x(0)+1，显然y(t)yf(t)yx(t)不满足可分解性，

37、故为非线性。（2）yf(t)=|f(t)|，yx(t)=2x(0)，由于y(t)=yf(t)+yx(t)满足可分解性；但是Taf(t),0=|af(t)|ayf(t)不满足零状态线性，故为非线性系统。（3）yf(t)=2f(t),yx(t)=x2(0)，满足可分解性；由于T0,ax(0)=ax(0)2ayx(t)不满足零输入线性，故为非线性系统。第114页/共135页1.5 系统的性质及分类例2：判断下列系统是否为线性系统？解：y(t)=yf(t)+yx(t)，满足可分解性；Taf1(t)+bf2(t),0=aTf1(t),0+bTf2(t),0，满足零状态线性；T0,ax1(0)+bx2(0

38、)=e-tax1(0)+bx2(0)=ae-tx1(0)+be-tx2(0)=aT0,x1(0)+bT0,x2(0),满足零输入线性；所以，该系统为线性系统。第115页/共135页判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有均匀性和叠加性。可以证明：系统不满足均匀性系统不具有叠加性课堂练习题：第116页/共135页证明均匀性设信号e(t)作用系统，响应为r(t)原方程两端乘A：(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则第117页/共135页证明叠加性(5)、(6)式矛盾，该系统为不具有叠加性假设有两个输

39、入信号 分别激励系统，则由所给微分方程式分别有：当 同时作用于系统时，若该系统为线性系统，应有(3)+(4)得第118页/共135页1.6.2时不变特性参数不随时间变化的系统，称为时不变系统或定常系统，否则称为时变系统。一个时不变系统，由于参数不随时间变化，故系统的输入输出关系也不会随时间变化。如果激励f()作用于系统产生的零状态响应为yf()，那么，当激励延迟td(或kd)接入时，其零状态响应也延迟相同的时间，且响应的波形形状保持相同。也就是说，一个时不变系统，若第119页/共135页则对连续系统有对离散系统有系统的这种性质称为时不变特性。第120页/共135页图1.6-1系统的时不变特性即

40、若T0，f(t)=yf(t)则有T0，f(t-td)=yf(t-td)第121页/共135页例1.6-2试判断以下系统是否为时不变系统。(1)yf(t)=acosf(t)t0(2)yf(t)=f(2t)t0输入输出方程中f(t)和yf(t)分别表示系统的激励和零状态响应，a为常数。即若T0，f(t)=yf(t)则有T0，f(t-td)=yf(t-td)第122页/共135页解(1)已知设则其零状态响应故该系统是时不变系统。第123页/共135页(2)这个系统代表一个时间上的尺度压缩，系统输出yf(t)的波形是输入f(t)在时间上压缩1/2后得到的波形。直观上看，任何输入信号在时间上的延迟都会受

41、到这种时间尺度改变的影响。所以，这样的系统是时变的。设相应的零状态响应为第124页/共135页1.5 系统的性质及分类例：判断下列系统是否为时不变系统？（1）yf(k)=f(k)f(k 1)（2）yf(t)=t f(t)（3）yf(t)=f(t)解：(1)令g(k)=f(k kd)T0，g(k)=g(k)g(k 1)=f(k kd)f(kkd1)而yf(k kd)=f(k kd)f(kkd1)显然T0，f(k kd)=yf(k kd)故该系统是时不变的。(2)令g(t)=f(t td)T0，g(t)=t g(t)=t f(t td)而yf(t td)=(t td)f(t td)显然T0，f(t

42、 td)yf(t td)故该系统为时变系统。第125页/共135页(3)令g(t)=f(t td),T0，g(t)=g(t)=f(t td)而yf(t td)=f(t td)，显然T0，f(t td)yf(t td)故该系统为时变系统。直观判断方法：若f()前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。1.5 系统的性质及分类第126页/共135页例：下列差分方程描述的系统，是否线性？是否时不变？并写出方程的阶数。（1）y(k)+(k1)y(k1)=f(k)（2）y(k)+y(k+1)y(k1)=f2(k)（3）y(k)+2y(k1)=f(1k)+1解：判断方法：方程中均为输出、输入序列

43、的一次关系项，则是线性系统。输入输出序列前的系数为常数，且无翻转、展缩变换，则为时不变系统。线性、时变，一阶非线性、时不变，二阶非线性、时变，一阶本课程重点讨论线性时不变系统(Linear Time-Invariant)，简称LTI系统。第127页/共135页1.6.3因果性一个系统，如果激励在tt0(或kk0)时为零，相应的零状态响应在tt0(或kk0)时也恒为零，就称该系统具有因果性，并称这样的系统为因果系统；否则，为非因果系统。在因果系统中，原因决定结果，结果不会出现在原因作用之前。因此，系统在任一时刻的响应只与该时刻以及该时刻以前的激励有关，而与该时刻以后的激励无关。所谓激励可以是当前

44、输入，也可以是历史输入或等效的初始状态。由于因果系统没有预测未来输入的能力，因而也常称为不可预测系统。第128页/共135页例对于以下系统：由于任一时刻的零状态响应均与该时刻以后的输入无关，因此都是因果系统。而对于输入输出方程为第129页/共135页其任一时刻的响应都将与该时刻以后的激励有关。例如，令t=1时，就有yf(1)=f(2)，即t=1时刻的响应取决于t=2时刻的激励。响应在先，激励在后，这在物理系统中是不可能的。因此，该系统是非因果的。同理，系统yf(t)=f(2t)也是非因果系统。在信号与系统分析中，常以t=0作为初始观察时刻，在当前输入信号作用下，因果系统的零状态响应只能出现在t

45、0的时间区间上，故常常把从t=0时刻开始的信号称为因果信号，而把从某时刻t0(t00)开始的信号称为有始信号。第130页/共135页1.6 系统的性质及分类零状态响应不会出现在激励之前的系统，称为因果系统。即对因果系统，当tt0，f(t)=0时，有tt0，yf(t)=0。如下列系统均为因果系统：yf(t)=3f(t1)而下列系统为非因果系统：(1)yf(t)=2f(t+1)(2)yf(t)=f(2t)因为，令t=1时，有yf(1)=2f(2)因为，若f(t)=0，tt0，有yf(t)=f(2t)=0,t0.5t0。第131页/共135页1.6 系统的性质及分类七、稳定系统与不稳定系统一个系统，

46、若对有界的激励f(.)所产生的零状态响应yf(.)也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定。即若f(.)，其yf(.)则称系统是稳定的。如yf(k)=f(k)+f(k-1)是稳定系统；而是不稳定系统。因为，当f(t)=(t)有界，当t时，它也，无界。第132页/共135页1.7 系统分析的基本思路1.7 系统分析的基本思路系统分析的基本问题：如何描述系统；对给定的系统，如何求出激励作用下的响应。具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出该方程的解。系统的分析方法：输入输出法（外部法）状态变量法（内部法）（chp.8)外部法时域法（chp.2,chp.5)变换域法连续系统频域法(3)和S域法(chp4)离散系统z域法（chp7)一、系统分析的基本问题和方法第133页/共135页1.7 系统分析的基本思路二、LTI系统的分析思路LTI系统分析的理论基础是信号的分解特性和系统的线性、时不变特性。（1）把零输入响应和零状态响应分开求。（2）把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据线性系统的可加性：多个基本信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和。求解的基本思路：采用的数学工具：（1）卷积积分与卷积和（2）傅里叶变换（3）拉普拉斯变换（4）Z变换第134页/共135页感谢您的观看！第135页/共135页