【精品】对流传热的理论基础（可编辑.ppt

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1、对流传热的理论基础 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:55PM基本要求：基本要求：1、重点内容：、重点内容：对流传热及其影响因素；牛顿冷却公式；用对流传热及其影响因素；牛顿冷却公式；用分析方法求解对流传热问题的实质；分析方法求解对流传热问题的实质；边界层概念及其应用；无相变传热的表面传边界层概念及其应用；无相变传热的表面传热系数及换热量的计算。热系数及换热量的计算。2、掌握内容：、掌握内容：对流换热及其影响因素；用分析方法求解对对流换热及其影响因素；用分析方法求解对流换热问题的实质。流换热问题的实质。3、了解内容：、了解内容：比拟理论对对流传热实验的指导作用。比

2、拟理论对对流传热实验的指导作用。热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:55PM5-1对流传热概说对流传热概说5-2对流传热问题的数学描写对流传热问题的数学描写5-3边界层型对流传热问题的数学描写边界层型对流传热问题的数学描写5-4流体外掠平板传热层流分析解及比流体外掠平板传热层流分析解及比拟理论拟理论 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:55PM应用背景应用背景 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:55PM一、牛顿冷却公式一、牛顿冷却公式（5-1a5-1a）或或（5-1b5-1b）5-1对流传热概说对流传热

3、概说只是只是表面传热系数表面传热系数的定义式的定义式本章求本章求（5-25-2）热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:55PM 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:55PM 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:55PM 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:55PM 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:55PM 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:55PM由于流体内各处温度并由于流体内各处温度并不相等，以至各处的物不相等

4、，以至各处的物性数值也不系统，为处性数值也不系统，为处理方便起见，一般引入理方便起见，一般引入定性温度，将热物性作定性温度，将热物性作为常数处理。为常数处理。热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:55PM流体的热物理性质：流体的热物理性质：热导率热导率密度密度比热容比热容动力粘度动力粘度运动粘度运动粘度体胀系数体胀系数 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:55PM综上所述，表面传热系数是众多因素的函数：综上所述，表面传热系数是众多因素的函数：热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:55PM三、对流换热问题的分类

5、三、对流换热问题的分类对流换热对流换热与与流动流动分不开分不开求求时，伴随流场求解时，伴随流场求解 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:55PM四、确定四、确定的方法的方法1、分析法（理论解法）：分析法（理论解法）：建立微分方程组并分建立微分方程组并分析求解；建立积分方程组并分析求解。析求解；建立积分方程组并分析求解。2、实验研究法：实验研究法：利用相似理论指导实验利用相似理论指导实验确定准则数确定准则数实验实验（相似原理或量纲分析（相似原理或量纲分析3、比拟法、比拟法：4、数值法、数值法：两大难点：两大难点：对流项的离散和动量方程中压力梯度对流项的离散和动量方程

6、中压力梯度项的数值处理项的数值处理h）利用动量和热量类比理论；利用动量和热量类比理论；热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:55PM五、换热微分方程式五、换热微分方程式流体流体壁面间壁面间通过粘性底层：通过粘性底层：（5-3）流体的流体的与与式（式（5-1a）（5-4）其中其中与温度场联系起来与温度场联系起来联立：联立：热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:55PM5-2对流传热问题的数学描写对流传热问题的数学描写c)流体为不可压缩的牛顿型流体流体为不可压缩的牛顿型流体a）为便于分析，只限于分析二维对流换热（）为便于分析，只限于分析二维对

7、流换热（Z方向取单位方向取单位1）即：服从牛顿粘性定律的流体；即：服从牛顿粘性定律的流体；而油漆、泥浆等不遵守该定而油漆、泥浆等不遵守该定律，称非牛顿型流体律，称非牛顿型流体d)所有物性参数（所有物性参数（、cp、）为常量）为常量4个未知量个未知量:：速度速度u、v；温度；温度t；压力；压力p连续性方程连续性方程(1)、动量方程、动量方程(2)、能量方程、能量方程(1)需要需要4个方程个方程:b)流体为连续性介质流体为连续性介质1、简化假设：、简化假设：一、运动流体能量方程的推导一、运动流体能量方程的推导 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:55PM（一）连续性方

8、程（一）连续性方程（公式推导链接公式推导链接）二维连续性方程二维连续性方程三维连续性方程三维连续性方程对于二维、稳态流动、密度为常数时：对于二维、稳态流动、密度为常数时：P205（5-8）热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:55PM（二）动量方程式（二）动量方程式（推导过程链接推导过程链接）（5-9）（5-10）热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:55PM（三）（三）能量守恒方程能量守恒方程微元体微元体（见图（见图P2035-4）的能量守恒：的能量守恒：描述流体温度场描述流体温度场导入与导出的净热量导入与导出的净热量+热对流传递的净热

9、量热对流传递的净热量+内热源发热量内热源发热量 =总能量的增量总能量的增量+对外对外作作膨胀功膨胀功=E+WW 体积力体积力(重力重力)作作的功、表面力的功、表面力作作的功的功1为导热净热流；为导热净热流；2为导热净热流；为导热净热流；3为内热源项为内热源项 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:55PM 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:55PM？导热量的推导同第二章一样导热量的推导同第二章一样 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:55PM在在x、y方向上，方向上，流入热流量：流入热流量：1、单位时间以

10、导热的方式进入、单位时间以导热的方式进入流体微元的流体微元的净净热流量热流量导热导热为为 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM2、单位时间以对流方式进入元体的、单位时间以对流方式进入元体的净净热流热流对流对流为为？热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PMP205（5-8）3、单位时间内微元体的焓变、单位时间内微元体的焓变H为为4、微元体能量守恒式：、微元体能量守恒式：热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM（常物性

11、、无内热源、二维、不可压缩牛顿流体的能（常物性、无内热源、二维、不可压缩牛顿流体的能量微分方程式）量微分方程式）（5-11）能量变化能量变化对流项对流项导热项导热项当流体不流动时，流体流速为零，热对流项也为当流体不流动时，流体流速为零，热对流项也为零，能量微分方程式便退化为导热微分方程式。零，能量微分方程式便退化为导热微分方程式。所以，固体中的热传导过程是介质中传热过程的所以，固体中的热传导过程是介质中传热过程的一个特例。一个特例。热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM二、对流换热微分方程组二、对流换热微分方程组:（常物性、无内热源、（常物性、无内热源、二维

12、、不可压缩牛顿流体）二维、不可压缩牛顿流体）(5-8)(5-9)(5-10)(5-11)4个方程，个方程，4个未知量个未知量 可求得速度场可求得速度场(u,v)和温度场和温度场(t)以及以及压力场压力场(p),既适用于层流，也适用于紊流（瞬时值）既适用于层流，也适用于紊流（瞬时值）热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM前面前面4个方程求出温度场之后，可以利用对流传热个方程求出温度场之后，可以利用对流传热微分方程式：微分方程式：计算当地对流换热系数计算当地对流换热系数(5-4)热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM综合：综合

13、：对流换热微分方程组对流换热微分方程组（5-4）（5-11）（5-10）（5-9）（5-8）其中变量：其中变量：已知量：已知量：未知函数：未知函数：热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM方程组是封闭的方程组是封闭的方程的非线性，求解分析解十分困难方程的非线性，求解分析解十分困难简化可见，影响简化可见，影响的因素：的因素：（5-2）因为因为 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM三、对流换热过程的单值性条件三、对流换热过程的单值性条件单值性条件单值性条件：能单值地反映对流换热过程特点的条件能单值地反映对流换热过程特点的条件单

14、值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界完整数学描述：对流换热微分方程组完整数学描述：对流换热微分方程组+单值性条件单值性条件(1)几何条件几何条件平板、圆管；竖直圆管、水平圆管；长度、直径等平板、圆管；竖直圆管、水平圆管；长度、直径等说明对流换热过程中的几何形状和大小说明对流换热过程中的几何形状和大小(2)物理条件物理条件如：物性参数如：物性参数、c 和和 的数值，是否随温的数值，是否随温度和压力变化；有无内热源、大小和分布度和压力变化；有无内热源、大小和分布说明对流换热过程的物理特征说明对流换热过程的物理特征(3)时间条件时间条件稳态对流换热过程不

15、需要时间条件稳态对流换热过程不需要时间条件与时间无关与时间无关说明在时间上对流换热过程的特点说明在时间上对流换热过程的特点 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM(4)边界条件边界条件说明对流换热过程的边界特点说明对流换热过程的边界特点边界条件可分为二类：第一类、第二类边界条件边界条件可分为二类：第一类、第二类边界条件a第一类边界条件第一类边界条件已知任一瞬间对流换热过程边界上的已知任一瞬间对流换热过程边界上的温度值温度值b第二类边界条件第二类边界条件已知任一瞬间对流换热过程边界上的已知任一瞬间对流换热过程边界上的热流密度值热流密度值为什么没有第三类边界条件

16、？为什么没有第三类边界条件？热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM例1 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM边边界界层层概概念念：当当粘粘性性流流体体流流过过物物体体表表面面时时，会会形形成成速速度度梯梯度度很很大大的的流流动动边边界界层层；当当壁壁面面与与流流体体间间有有温温差差时时，也也会会产产生温度梯度很大的生温度梯度很大的温度边界层温度边界层（或称热边界层）（或称热边界层）一、一、流动边界层流动边界层（Velocityboundarylayer）1904年，德国科学家普朗特年，德国科学家普朗特L.Prandtl由

17、于粘性作用，流由于粘性作用，流体流速在靠近壁面体流速在靠近壁面处随离壁面的距离处随离壁面的距离的缩短而逐渐降低；的缩短而逐渐降低；在贴壁处被滞止，在贴壁处被滞止，处于无滑移状态处于无滑移状态5-3边界层型对流传热问题的数学描写边界层型对流传热问题的数学描写1、流动边界层基本概念流动边界层基本概念 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM从从y=0、u=0开始，开始，u 随着随着y 方向离方向离壁面距离的增加而迅速增大；经过厚度壁面距离的增加而迅速增大；经过厚度为为 的薄层，的薄层，u 接近主流速度接近主流速度u y=薄层薄层流动边界层流动边界层或速度边界层或速

18、度边界层 边界层厚度边界层厚度定义：定义：u/u=0.99处离壁的距离为边界层厚度处离壁的距离为边界层厚度 小：小：空气外掠平板，空气外掠平板，u=10m/s：边界层内：边界层内：平均速度梯度很大；平均速度梯度很大；y=0处的速度梯度最大处的速度梯度最大 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM由牛顿粘性定律：由牛顿粘性定律：边界层外边界层外：u 在在y 方向不变化，方向不变化，u/y=0流场可以划分为两个区：流场可以划分为两个区：边界层边界层区区与主流区与主流区边界层区：边界层区：流体的粘性作用起主导作用，流体的运动可流体的粘性作用起主导作用，流体的运动可用

19、粘性流体运动微分方程组描述（用粘性流体运动微分方程组描述（N-S方程）方程）主流区：主流区：速度梯度为速度梯度为0，=0；可视为无粘性理想流体；可视为无粘性理想流体；可用欧拉方程可用欧拉方程速度梯度大，粘滞应力大速度梯度大，粘滞应力大粘滞应力为零粘滞应力为零主流区主流区边界层概念的基本思想边界层概念的基本思想 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM临界距离临界距离：由层流边：由层流边界层开始向湍流边界界层开始向湍流边界层过渡的距离，层过渡的距离，xc平板：平板：RC=21053106，通常取，通常取Rc=5105湍流边界层：湍流边界层：临界雷诺数临界雷诺数：

20、Rec粘性底层（层流底层）粘性底层（层流底层）：紧靠壁面处，粘滞力会占绝对优势，使粘：紧靠壁面处，粘滞力会占绝对优势，使粘附于壁的一极薄层仍然会保持层流特征，具有最大的速度梯度。附于壁的一极薄层仍然会保持层流特征，具有最大的速度梯度。2、流动边界层内的流、流动边界层内的流态态层流和湍流层流和湍流 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM3、边界层理论的五个基本要点、边界层理论的五个基本要点1）流场划分为主流区（理想流体流动）和边界层区）流场划分为主流区（理想流体流动）和边界层区（考虑粘性，粘滞力与惯性力相当）（考虑粘性，粘滞力与惯性力相当）2），（小于一个数量

21、级），（小于一个数量级）3）主流区的流动可视为理想流体的流动，）主流区的流动可视为理想流体的流动，用描述理想流体的运动微分方程求解用描述理想流体的运动微分方程求解4）边界层内流动状态分）边界层内流动状态分层流层流与与湍流湍流（层流底层）。（层流底层）。5）(x)x (x)热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM二、二、热边界层热边界层Tw1、基本概念、基本概念当壁面与流体间有温差时，当壁面与流体间有温差时，会产生温度梯度很大的温度会产生温度梯度很大的温度边界层（热边界层）边界层（热边界层）厚度厚度 t 范围范围热边界层热边界层或温度边界层或温度边界层 t 热边

22、界层厚度热边界层厚度 与与 t 不一定相等不一定相等流流动动边边界界层层与与热热边边界界层层的的状状况况决决定定了了热热量量传传递递过过程程和和边界层内的温度分布边界层内的温度分布 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM层流层流：温度呈抛物线分布：温度呈抛物线分布 与与 t 的关系的关系：分别反映流体分子和流体微团的动量：分别反映流体分子和流体微团的动量和热量扩散的深度和热量扩散的深度故：湍流换热比层流换热强！故：湍流换热比层流换热强！湍湍流流边边界界层层贴贴壁壁处处的的温温度度梯度明显大于层流梯度明显大于层流湍流湍流：温度呈幂函数分布：温度呈幂函数分布Pr

23、=/a粘性扩散能力粘性扩散能力热扩散能力热扩散能力 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM2、温度场分区、温度场分区主流区，主流区，热边界层区，热边界层区，令令则：则：分布形式完全类同分布形式完全类同u分布分布热边界层内：热边界层内：热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM边界层概念的引入可使换热微分方程组得以简化边界层概念的引入可使换热微分方程组得以简化数量级分析：数量级分析：比较方程中各量或各项的量级的相对大小；保留比较方程中各量或各项的量级的相对大小；保留量级较大的量或项；舍去那些量级小的项，方程大大简化量级较大的量或

24、项；舍去那些量级小的项，方程大大简化5个基本量的数量级：个基本量的数量级：主流速度：主流速度：温度：温度：壁面特征长度：壁面特征长度：边界层厚度：边界层厚度：x 与与l 相当，即：相当，即：0(1)、0()表示数量级为表示数量级为1和和，1。“”相当于相当于例：二维、稳态、例：二维、稳态、强制对流强制对流强制对流强制对流、层流、忽略重力、层流、忽略重力三、边界层换热微分方程组三、边界层换热微分方程组 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PMu沿边界层厚度由沿边界层厚度由0到到u:由连续性方程：由连续性方程：忽略体积力的影响忽略体积力的影响 热能与动力工程系热能

25、与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM表明：边界层内的压力梯度仅沿表明：边界层内的压力梯度仅沿x 方向变化，而边界层内法方向变化，而边界层内法向的压力梯度极小。向的压力梯度极小。边界层内任一截面压力与边界层内任一截面压力与y无关而等于主流压力无关而等于主流压力可视为边界层的又一特性可视为边界层的又一特性 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM层流边界层对流换层流边界层对流换热微分方程组：热微分

26、方程组：3个方程、个方程、3个未知个未知量：量：u、v、t，方程，方程封闭封闭如果配上相应的定解如果配上相应的定解条件，则可以求解条件，则可以求解（5-15）（5-16）（5-17）（5-4）热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM若：若：，解得平板解得平板层流的层流的局部换热系数（局部换热系数（处）处）（5-22a）（5-22b）努塞尔（努塞尔（Nusselt）数）数（5-22c）5-4流体外掠平板传热层流分析解及比拟理论流体外掠平板传热层流分析解及比拟理论对于外掠平板的层流流动对于外掠平板的层流流动:对边界层方程组进对边界层方程组进行积分得出：行积分得出：

27、热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM（5-19）（5-20）热边界层厚度热边界层厚度（5-21）平均努塞尔数平均努塞尔数（板长上）（5-22d）其中：其中：特征长度特征长度：或或 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM定义：定义：普朗特数普朗特数（无量纲数）（无量纲数）粘性扩散能力粘性扩散能力热扩散能力热扩散能力常用流体：常用流体：（气体小，液体大）（气体小，液体大）结论：结论：除液体金属外，常用流体除液体金属外，常用流体流动边界层流动边界层概念可扩展到概念可扩展到换热换热热边界层热边界层3、Pr数的物理意义数的物理意义

28、 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM若若1）（粘性扩散能力（粘性扩散能力=热扩散）热扩散）则则解解完全相同完全相同2）（粘性扩散热扩散）（粘性扩散热扩散）3）（粘性扩散能力热扩散）（粘性扩散能力热扩散）热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM1、用比拟理论求湍流（紊流）的、用比拟理论求湍流（紊流）的或或2、求得平均表面传热系数、求得平均表面传热系数hm的计算式（的计算式（5-35）三、用三、用比拟理论比拟理论求湍流（紊流）的求湍流（紊流）的 h比拟理论是指利用两个不同物理现象之间在控制方比拟理论是指利用两个不同物理现象之

29、间在控制方程方面的类似性，通过测定其中一种现象的规律而获得程方面的类似性，通过测定其中一种现象的规律而获得另外一种现象基本规律的方法。比如动量传递与热量传另外一种现象基本规律的方法。比如动量传递与热量传递的比拟：递的比拟：当当pr=1时，时，U与与t的解完的解完全一样全一样 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM（5-32）实验测定平板上湍流边界层阻力系数为：实验测定平板上湍流边界层阻力系数为：这就是有名的雷诺比拟，它成这就是有名的雷诺比拟，它成立的前提是立的前提是Pr=1 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM当当 Pr

30、 Pr 1 1时，需要对该比拟进行修正，于是有时，需要对该比拟进行修正，于是有契尔顿柯尔本比拟（修正雷诺比拟）：契尔顿柯尔本比拟（修正雷诺比拟）：式中，式中，称为称为斯坦顿（斯坦顿（StantonStanton）数）数，其定义为，其定义为称为称为因子，在制冷、低温工业的换热器设因子，在制冷、低温工业的换热器设计中应用较广。计中应用较广。热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM作业：作业：P224：5-2，5-3 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM（一）质量守恒方程（一）质量守恒方程(连续性方程连续性方程)qm 为质量流量

31、为质量流量kg/s流体的连续流动遵循质量守恒规律流体的连续流动遵循质量守恒规律从流场中从流场中(x,y)处取出边长为处取出边长为dx、dy、dz 的微元体的微元体单位时间内、沿单位时间内、沿x轴方向、轴方向、经经x表面流入微元体的质量表面流入微元体的质量单位时间内、沿单位时间内、沿x轴方向、经轴方向、经x+dx表面流出微元体的质量表面流出微元体的质量单位时间内、沿单位时间内、沿x轴方向流入微元体的净质量：轴方向流入微元体的净质量：质量守恒、动量守恒简单回顾质量守恒、动量守恒简单回顾 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM同理：单位时间内、沿同理：单位时间内、

32、沿y 轴、轴、z轴方向流入微元体的净质量：轴方向流入微元体的净质量：单位时间内微元体单位时间内微元体内流体质量的变化内流体质量的变化:微元体内流体质量守恒：微元体内流体质量守恒：流入微元体的净质量流入微元体的净质量=微元体内流体质量的变化微元体内流体质量的变化(单位时间内单位时间内)热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM二维连续性方程二维连续性方程三维连续性方程三维连续性方程对于二维、稳态流动、密度为常数时：对于二维、稳态流动、密度为常数时：热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM（二）（二）动量守恒方程动量守恒方程牛顿第二

33、运动定律牛顿第二运动定律:作用在微元体上各外力的总作用在微元体上各外力的总和等于控制体中流体动量的变化率和等于控制体中流体动量的变化率动量微分方程式描述流体速度场动量微分方程式描述流体速度场 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM 热能与动力工程系热能与动力工

34、程系传热学传热学3/10/20237:56PM 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM对于稳态流动：对于稳态流动：只有重力场时：只有重力场时：热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM边界层积分方程组边界层积分方程组边界层积分方程边界层积分方程1921年，冯年，冯卡门提出了边界层动量积分方程。卡门提出了边界层动量积分方程。1936年，克鲁齐林求解了边界层能量积分方程。年，克鲁齐林求解了边界层能量积分方程。近似解，简单容易。近似解，简单容易。热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM用边界层积分方

35、程求解对流换热问题的基本思想用边界层积分方程求解对流换热问题的基本思想:(1)建立边界层积分方程建立边界层积分方程针对包括固体边界及边界层外针对包括固体边界及边界层外边界在内的有限大小的控制容积；边界在内的有限大小的控制容积；(2)对边界层内的速度和温度分布作出假设，常用的函数对边界层内的速度和温度分布作出假设，常用的函数形式为多项式；形式为多项式；(3)利用边界条件确定速度和温度分布中的常数，然后将利用边界条件确定速度和温度分布中的常数，然后将速度分布和温度分布带入积分方程，解出速度分布和温度分布带入积分方程，解出和和的计的计算式；算式；(4)根据求得的速度分布和温度分布计算固体边界上的根据

36、求得的速度分布和温度分布计算固体边界上的 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM卡门的边界层动量积分式卡门的边界层动量积分式（关于速度分布的积分式）“流体”中学过：不变（1）热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM又 对于对于平板平板：，且 则则则式则式（1）：）：热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM边界层能量积分式边界层能量积分式（关于温度分布的积分式）（关于温度分布的积分式）对于平板：（5-15）（5-16）1、2、比较边界层动量积分式（卡门）：应有（5-20b）（5-20a）上2式

37、中未知：需 3次方式分布假设，0 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM（1）流动边界层）流动边界层速度分布 解式（5-20b）得（5-19）（，为特征长度特征长度）局部切应力局部切应力（5-23）摩擦系数摩擦系数（5-20）（5-24）热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM（2）温度边界层（）温度边界层（热边界层热边界层）无量纲温度分布（5-26）热边界层厚度热边界层厚度（5-21）局部表面传热系数及局部努塞尔数局部表面传热系数及局部努塞尔数（5-22a）（5-22c）平均努塞尔数平均努塞尔数（板长上）（5-22d）其中

38、：特征长度：或解式（5-20a）得 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM定性温度：（或）说明：a）式（5-29）与式（5-19）相同b）式（5-30）与实验结果在层流时（）十分接近，见图5-10 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM一、边界层能量积分方程一、边界层能量积分方程 u t t把能量守恒定律应用于控制把能量守恒定律应用于控制容积可推导出边界层能量积容积可推导出边界层能量积分方程。分方程。x方向上为方向上为dx，y方向上大于流动边界层和热边界层方向上大于流动边界层和热边界层厚度厚度l，而，而z方向上为单位长度的

39、一个控制容积如图所方向上为单位长度的一个控制容积如图所示。示。在常物性、流速不致引起耗散热的条件下，考察控在常物性、流速不致引起耗散热的条件下，考察控制容积的能量守恒。在边界层数量级分析中已经得出制容积的能量守恒。在边界层数量级分析中已经得出结论结论 结论：推导中仅考虑结论：推导中仅考虑y方向上的导热方向上的导热 11/2 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PMu t t（1）单位时间内穿过）单位时间内穿过ab面进面进入控制容积的热量为入控制容积的热量为单位时间内穿过单位时间内穿过cd面带出控面带出控制容积的热量为制容积的热量为（2）单位时间内穿过单位时间内

40、穿过bd面进入控制容积的质量流面进入控制容积的质量流量为量为 由它带入控制容积的热量为由它带入控制容积的热量为 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PMu t t（3）穿过穿过ac面，因贴壁流面，因贴壁流体层导热带出控制容积的热体层导热带出控制容积的热量为量为 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM在稳态条件下，根据能量守恒进入与带出控制容积的热量在稳态条件下，根据能量守恒进入与带出控制容积的热量相等相等，于是可得，于是可得 整理后得整理后得 进入的进入的流入的流入的进入的进入的流入的流入的 热能与动力工程系热能与动力工程系

41、传热学传热学3/10/20237:56PM因为在热边界层以外因为在热边界层以外t-t=0，上式积分上限可改为，上式积分上限可改为t，得，得 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM二、边界层动量积分方程二、边界层动量积分方程 边界层动量积分方程是把动量定律应用于一个控制边界层动量积分方程是把动量定律应用于一个控制容积导出的。取容积导出的。取常物性、不可压缩流体的二维稳态常物性、不可压缩流体的二维稳态强制对流为对象强制对流为对象作分析。作分析。u u w w在流体中划出如图的控制容在流体中划出如图的控制容积，包括积，包括dx一段边界层，一段边界层，y方向取有限高

42、度方向取有限高度l（l），），而而z方向为单位长度。控制容方向为单位长度。控制容积左侧面为积左侧面为ab右侧面为右侧面为cd，顶面为顶面为bd，底面为壁面的，底面为壁面的ac部分，即取部分，即取 ac为为dx。热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PMu u w w由于在边界层内由于在边界层内y方向上方向上的流速很小，因此推导中的流速很小，因此推导中只考虑只考虑x方向上的动量变方向上的动量变化，不引入流速化，不引入流速v。图图中中给出了速度的分布曲给出了速度的分布曲线。线。在距壁面在距壁面y处流速为处流速为u，在，在y处处u=u。先计算先计算单位时间单位时间内出

43、入控制容积的动量之差。为此内出入控制容积的动量之差。为此计算以下各项：计算以下各项：（1）穿过控制面）穿过控制面ab进入控制容积的动量为进入控制容积的动量为 u 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PMu u w w而同时穿过而同时穿过cd面流出的动面流出的动量为量为 净流出的动量为净流出的动量为（2）没有流体穿过固体表面）没有流体穿过固体表面ac。但有流体质点穿过。但有流体质点穿过bd面。根据质量守恒，穿过面。根据质量守恒，穿过bd面流入控制容积的质面流入控制容积的质量流量等于流出量流量等于流出cd面与流入面与流入ab面的质量流量之差。面的质量流量之差。流入

44、流入ab面的质量流量为面的质量流量为 流出流出cd面的质量流量面的质量流量 于是穿过于是穿过bd面流入控制容积的质量流量为面流入控制容积的质量流量为 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PMu u w w相应带入控制体的动量为相应带入控制体的动量为 根据动量定律，在根据动量定律，在x方向上的方向上的动量变化必须等于动量变化必须等于x方向上作方向上作用在控制体表面上外力的代用在控制体表面上外力的代数和。数和。作用在控制体表面上作用在控制体表面上x方向上的外力，有作用于方向上的外力，有作用于ac面面上的切应力上的切应力wdx以及以及ab和和cd两面压力之差两面压力

45、之差 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PMu u w w于是动量定律可表达为于是动量定律可表达为 由于存在以下关系：由于存在以下关系：于是式于是式(c)可改写成为可改写成为 重新组合可得重新组合可得 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM由伯努利方程知由伯努利方程知 代入代入(e)式，式，得得 根据边界层理论，在边界层外的主流区根据边界层理论，在边界层外的主流区u-u=0。改写上式积分上限得改写上式积分上限得 这就是卡门在这就是卡门在1921年导出的边界层动量积分方程。由积年导出的边界层动量积分方程。由积分方程求出的分析

46、解称为分方程求出的分析解称为近似解近似解，以区别于微分方程的精，以区别于微分方程的精确解确解.热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM三、边界层积分方程组求解示例三、边界层积分方程组求解示例 作为边界层积分方程组求解的示例，仍以作为边界层积分方程组求解的示例，仍以稳态常物性流体稳态常物性流体强制掠过平板层流时强制掠过平板层流时的换热作为讨论对象的换热作为讨论对象。壁面具有定壁。壁面具有定壁温的边界条件。在常物性条件下，动量积分方程不受温度温的边界条件。在常物性条件下，动量积分方程不受温度场的影响，可先单独求解，解出层流边界层厚度及摩擦系场的影响，可先单独求解，

47、解出层流边界层厚度及摩擦系数，然后求解能量积分方程，解出热边界层厚度及换热系数，然后求解能量积分方程，解出热边界层厚度及换热系数。数。在本问题中，在本问题中，u为常数，动量积分方程式（为常数，动量积分方程式（1）左）左边的第二项为边的第二项为0。再引入。再引入 ，式（，式（1）为为 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM1.求解流动边界层厚度及摩擦系数求解流动边界层厚度及摩擦系数 为求解上式，还需补充边界层速度分布函数为求解上式，还需补充边界层速度分布函数u=f(y)。选用以下有选用以下有4个任意常数的多项式作为速度分布的表个任意常数的多项式作为速度分布的表

48、达式达式:u=a+by+cy2+dy3 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM式中，式中，4个待定常数由边界条件及边界层特性的推论个待定常数由边界条件及边界层特性的推论确定，即确定，即 y=0时时u=0且且 y=时时u=u且且 由此求得由此求得4个待定常数为个待定常数为 a=0 c=0 于是速度分布表达式为于是速度分布表达式为 热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM积分得积分得 分离变量，并注意到分离变量，并注意到x=0时时=0，可得，可得 无量纲表达式为无量纲表达式为 其中其中Rex=ux/,其特性尺度为离平板前缘的距离

49、其特性尺度为离平板前缘的距离x。在在x处的壁面局部切应力处的壁面局部切应力（5-23）热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM在工程计算中常使用在工程计算中常使用局部切应力局部切应力与与流体动压头流体动压头之比，之比，称范宁摩擦系数，其表达式为称范宁摩擦系数，其表达式为 2.求解热边界层厚度及换热系数求解热边界层厚度及换热系数 先先求求解解热热边边界界层层厚厚度度。为为从从式式（5-20a）求求解解热热边边界界层层厚厚度度，除除u=f(y)已已由由式式（5-21）确确定定外外，还还需需要要补补充充热热边边界界层层内内的的温温度度分分布布函函数数t=f(y)。对

50、对此此，亦亦选选用带用带4个常数的多项式：个常数的多项式：t=e+fy+gy2+hy3（5-24）热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM式中，式中，4个待定常数由边界条件及热边界层特性的推个待定常数由边界条件及热边界层特性的推论确定，即论确定，即 y=0时时t=tw且且 y=时时t=t且且 由此求得由此求得4个待定常数为个待定常数为 e=tw g=0 若用以若用以tw为基准点的过余温度为基准点的过余温度=t-tw来表达，则来表达，则温度分布表达式为温度分布表达式为（5-26）热能与动力工程系热能与动力工程系传热学传热学3/10/20237:56PM能量积分方