经济数学模型fdwr.pptx

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1、 课程课程 名称：经济数学模型 学分：2 教师：毛瑞华 电话：(028)85413996 E-mail: (123456)QQ：4595193902.参考书参考书1.宏观经济数量分析方法与模型,刘起运 主编,高教 2.经济数学模型,洪毅 等 编著 华南理工大学3.经济学中的分析方法,高山晟(美)著,刘振亚 译,中国人大4.经济数学方法与模型，安吉尔.德.拉.弗恩特 著,朱保华 钱晓明 译 上海财大5.经济学的结构-数量分析方法,Eugene Silberberg,Wing Suen 著,高峰 等译,清华第一部分经济数学模型的概念及建模方法1.11.1数学模型和模型的建立数学模型和模型的建立一、

2、模型和数学模型一、模型和数学模型1.模型：人们为了深刻地认识和理解原型问题而对其所作的一种抽象和升华，其目的是通过对模型的分析、研究加深对原型问题的理解和认识。2.数学模型：通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象进行的一个近似的描述，以便于人们更加深入地认识所研究的对象。(1)对实际问题的分析、归纳，做出一些必要且合理的假设条件，将实际问题中的一些指标进行量化；(2)给出描述问题的数学提法；(3)利用数学理论和方法或计算机进行分析,得出结论；(4)利用现实问题验证结论的合理性，并作修正.3.3.需要解决几个问题：需要解决几个问题：4.4.数学模型建模的步骤数学模型建模的步骤模型准备模型假设模型

3、建立模型求解模型分析模型检验模型应用模型改进二、建立数学模型的一个实例二、建立数学模型的一个实例1、问题的提出：、问题的提出：设市场上有n 种资产Si(i=1,2,n)可供投资者选择，某公司有数额为 M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务人员对这 n 种资产进行了评估，估计出在这一时期内购买资产 Si 的平均收益率为 ri,且预测出购买资产Si 的风险损失为qi。考虑到投资越分散，总的风险越小。公司决定在运用这批资金购买若干资产时，总体风险用在资产Si中所投资产的最大风险来度量。购买资产Si 的需要支付交易费，其费率为pi,并且当购买额不超过u i时,交易费按购买额 ui 计算。

4、设同期银行存款利率是r0=5%,且存取款时既无交易费也无风险。2.对问题的定位：最优化问题对问题的定位：最优化问题 需要确定购买资产Si 的具体投资额 xi,即建立投资组合，实现两个目标：(1)净收益最大化；(2)整体风险最小化；3.建模准备建模准备：(1)决策变量决策变量：资产Si(i=0,1,n)的投入量xi,i=0,1,n,其中S0 表示将资产存入银行。(2)投资收益投资收益：购买资产Si(i=0,1,2,n)的收益率为 ri,因此投资 xi 的收益率为 rixi,除去交易费用ci(xi)，则投资 xi 的净收益为 Ri=rixi-ci(xi)。从而，总投资的总收益为 R(x)=Ri(x

5、i)。用数学符号和公式表述决策变量、构造目标函数和确定约束条件(3)投资风险投资风险：购买资产Si(i=0,1,2,n)的风险损失为qi,因此投资xi 的收益率为qi xi,其总体风险用Si的风险，即 Qi(xi)=qi xi最大的一个来度量。从而总投资的风险损失为 Q(x)=maxQi(xi)。(4)(4)约束条件：约束条件：b.记 x=(x0,x1,x2,xn)T,1=(1,1,1,1)T,c=(c0,c1,c2,cn)T,r=(r0,r1,r2,rn)T,总净收益R(x),整体风险Q(x)和总资金F(x)各为4.两目标优化模型5.5.单目标优化模型单目标优化模型求解模型令模型模型1求最大

6、化收益。给定风险水平给定风险水平求解模型模型模型2求最小化风险。给定盈利水平令模型模型3 给定投资者对风险风险-收益收益的相对偏好参数0，求解模型6.简化交易费用下的模型简化交易费用下的模型uipiuixici0(1)交易费用函数为(2)由于固定费用pi ui 的存在在，使得前面(3)的模型是非线性模型，很难求解模型。表示投资于Si 的资金比例。在实际计算中，常假设M=1，则 当M 很大而 ui 相对较小时，可略去 pi ui 的作用，即ci(xi)=pixi,则资金约束条件变为：(3)简化交易费用下的模型：LP1：LP2：LP3：1.2 优化模型的求解方法优化模型的求解方法(1)多元函数的无

7、(有)条件极值；(2)*线性(或非线性)规划方法；1.2.1 多元函数的极值多元函数的极值(一一)多元函数的极值多元函数的极值 设 n 元函数 f(x1,x2,xn)具有3 阶连续偏导数，记将函数 f(x1,x2,xn)在点=(a1,a2,an)T处展开，有其中R 是余项,包含(xi-ai)的 3 次以上的项。当xi 在 ai 附近变化时，R是高阶无穷小。若=(a1,a2,an)T 是极大值点时，有因此，有 由于 f(a1,a2,an)是极大值,当X 在 a 附近变化时，省略高阶无穷小R，则有记则(1.6)变为 由于yi=xi ai 在 0 附近变化时(1.7)式均成立，所以YTHY 0 对所

8、有Y 均成立，即H是负定矩阵，或者说 H 是正定矩阵。注：矩阵H 的正定性的判断方法(1)矩阵对应的二次型大于0；(2)矩阵H 的顺序主子式全大于0；(3)矩阵H 的特征值全大于0。(二二)多元函数极值的判断多元函数极值的判断定理定理1.1 设n元函数 f(x1,x2,xn)具有3阶连续偏导数，且在点X=(a1,a2,an)T处邻域内有定义，|H|0，则函数 f(x1,x2,xn)在点X=(a1,a2,an)T处达到极大值的充分必要条件是且是负定矩阵(海森矩阵)。定理定理1.2 设n元函数 f(x1,x2,xn)具有3阶连续偏导数，且在点X=(a1,a2,an)T处邻域内有定义，|H|0，则函

9、数 f(x1,x2,xn)在点X=(a1,a2,an)T处达到极小值的充分必要条件是且是正定矩阵(海森矩阵)。1.2.3 1.2.3 二次多项式函数的极值二次多项式函数的极值 函数 f(x1,x2,xn)是二次多项式时，设矩阵 AT=A，记注：当B=0，且C=0 时，f(X)即是线性代数中的二次型。推论推论1.1 设函数 f(X)=XTAX+BX+C 是一个二次多项式，且 AT=A。则函数 f(X)在点X=(a1,a2,an)T 处达到极大值的充分必要条件是且矩阵A是负定矩阵。推论推论1.2 设函数 f(X)=XTAX+BX+C是一个二次多项式，且 AT=A。则函数 f(X)在点X=(a1,a

10、2,an)T处达到极小值的充分必要条件是且矩阵A是正定矩阵。1.2.2 多元函数条件极值多元函数条件极值 Lagrange multiplier在一定的约束条件下求解问题的最优化解。设n 元函数 u=f(x1,x2,xn)具有3 阶连续偏导数，且有m 个约束条件：(一一)约束条件问题约束条件问题(1)函数 u=f(x1,x2,xn)的自变量的变化范围受到限制，必须满足m个约束条件。(2)要求在这 m 个约束条件下求解函数 u=f(x1,x2,xn)的极大值或极小值函数 u 的条件极值。说明：说明：(二二)Lagrange multiplier 函数函数 引入 m 个拉格朗日乘数 1,2,m,构

11、造新的函数 拉格朗日乘子函数拉格朗日乘子函数：(三三)条件极值存在的必要条件条件极值存在的必要条件(四四)应用实例应用实例(一一)一束光线由空气中A点经过水面折射后到达水中B点(如图示)。已知光在空气和水中传播的速度分别是v1 和v2,光线在介质中总是沿着耗时最少的路径传播,试确定光线的路径。OQh2h1PAB12x空气水解解：设点 A 到水面的垂直距离为 AO=h1,点B 到水面的垂直距离为BQ=h2,x 轴沿水面过点O、Q,OQ=l。根据条件可知光线在同一种介质中传播时是按直线方式传播的，因而光线从 A 点到B 点应该经过折射点P,其路径为折线 APB，所需时间为：下面确定在 x何值时，T

12、(x)在0,l上取得最小值。当 x0,l 时，由于又T(x)在0,l上连续，T (x)在 x(0,l)上有唯一的零点 x0，且x0是T(x)在 (0,l)内唯一的极小值点。设 x0满足 T(x)=0,即 与 1 联系与 2 联系因此，即当点 P 满足上述条件时，APB即是光线的传播途径。记(四四)应用实例应用实例(二二)设某电视机厂生产一台电视机的成本为c,每台电视机的销售价格为 p,销售量为 x。假设该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量等于销售量。根据市场预测，销售量 x与销售价格 p 之间有如下关系：其中M 为市场最大需求量，a 是价格系数。同时，生产部门根据对生产环节的分析，对每台电

13、视机的生产成本 c 有如下测算：其中c0 是只生产一台电视机的成本，k 是规模系数。根据上述条件，应该如何确定电视机的销售价格 p,才能使该厂获得最大利润？分析分析：在生产和销售商品过程中，商品销售量、生产成本与销售价格 是相互影响的。厂商只有选择合理的销售价格最优价格最优价格，才能获得最大利润。解解：设厂家获得的利润为u,每台电视机的生产成本为c,销售价格为p,销售量为x,则利润函数为 u=(p-c)x (3)问题变化为在条件(1)(2)下求解利润函数的最大值。构造拉格朗日函数令由(8)(9)，可得由(8)(6)，可得由(7)，可得由(10)(11)(12)及(5)，可得最优销售价格为说明：

14、在最优销售价格p*的表达式中含有待定的规模参数k、价格系数a。为了确定电视机的最优销售价格，必须预先给出这些参数。复习：微积分的相关内容1.多元函数的偏导数的求法；2.多元函数的无条件极值的求法；3.多元函数的条件极值的求法；1.2 优化模型的求解方法优化模型的求解方法(1)一元函数的无(有)条件极值；(2)多元函数的无(有)条件极值；(3)*线性(或非线性)规划方法；定理定理 1(极值第一判别法极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“左左正正右右负负”,(2)“左左负负右右正正”,(1)一元函数的极值与最大(小)值定理定理2(极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数,且则 在点 取极大值

15、;则 在点 取极小值.证证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到.求函数最值的方法求函数最值的方法:(1)求 在 内的极值可疑点(2)最大值最小值特别特别:当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大 值,则也是最大 值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点.(小)例例1.铁路上 AB 段的距离为100 km,工厂C 距 A 处20AC AB,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5

16、,为问D 点应如何选取?使货物从B 运到工厂C 的运费最省,20km,条公路,(k 为某一常数)解解:设则令得 又所以 为唯一的极小点,故故 AD=15 km 时运费最省时运费最省.总运费从而为最小点,例例2.一束光线由空气中A点经过水面折射后到达水中B点(如图示)。已知光在空气和水中传播的速度分别是v1 和v2,光线在介质中总是沿着耗时最少的路径传播,试确定光线的路径。OQh2h1PAB12x空气水解解：设点 A 到水面的垂直距离为 AO=h1,点B 到水面的垂直距离为BQ=h2,x 轴沿水面过点O、Q,OQ=l。根据条件可知光线在同一种介质中传播时是按直线方式传播的，因而光线从 A 点到B

17、 点应该经过折射点P,其路径为折线 APB，所需时间为：下面确定在 x何值时，T(x)在0,l上取得最小值。当 x0,l 时，由于又T(x)在0,l上连续，T (x)在 x(0,l)上有唯一的零点 x0，且x0是T(x)在 (0,l)内唯一的极小值点。设 x0满足 T(x)=0,即 与 1 联系与 2 联系因此，即当点 P 满足上述条件时，APB即是光线的传播途径。记多元函数极值的判断多元函数极值的判断定理定理1.1 设n元函数 f(x1,x2,xn)具有3阶连续偏导数，且在点X=(a1,a2,an)T处邻域内有定义，|H|0,则函数 f(x1,x2,xn)在点X=(a1,a2,an)T处达到

18、极大值的充分必要条件是且是负定矩阵(海森矩阵)。矩阵矩阵H 的正定性的判断方法的正定性的判断方法(1)矩阵对应的二次型大于0；(2)矩阵H 的顺序主子式全大于0；(3)矩阵H 的特征值全大于0。定理定理1.2 设n元函数 f(x1,x2,xn)具有3阶连续偏导数,且在点X=(a1,a2,an)T处邻域内有定义,|H|0,则函数 f(x1,x2,xn)在点X=(a1,a2,an)T处达到极小值的充分必要条件是且是正定矩阵(海森矩阵)。1.2.3 1.2.3 二次多项式函数的极值二次多项式函数的极值 函数 f(x1,x2,xn)是二次多项式时，设矩阵 AT=A，记注：当B=0，且C=0 时，f(X

19、)即是线性代数中的二次型。推论推论1.1 设函数 f(X)=XTAX+BX+C 是一个二次多项式，且 AT=A。则函数 f(X)在点X=(a1,a2,an)T 处达到极大值的充分必要条件是且矩阵A是负定矩阵。推论推论1.2 设函数 f(X)=XTAX+BX+C是一个二次多项式,且AT=A。则函数 f(X)在点X=(a1,a2,an)T处达到极小值的充分必要条件是且矩阵A是正定矩阵。多元函数条件极值多元函数条件极值 Lagrange multiplier 在一定的约束条件下求解问题的最优化解。设n 元函数 u=f(x1,x2,xn)具有3 阶连续偏导数，且有m 个约束条件：(一一)约束条件问题约

20、束条件问题(1)函数 u=f(x1,x2,xn)的自变量的变化范围受到限制，必须满足m个约束条件。(2)要求在这 m 个约束条件下求解函数 u=f(x1,x2,xn)的极大值或极小值函数 u 的条件极值。说明：说明：(二二)Lagrange multiplier 函数函数 引入 m 个拉格朗日乘数 1,2,m,构造新的函数 拉格朗日乘子函数拉格朗日乘子函数：(三三)条件极值存在的必要条件条件极值存在的必要条件(四四)应用实例应用实例 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c,每台电视机的销售价格为 p,销售量为 x。假设该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量等于销售量。根据市场预测,销售量 x与

21、销售价格 p 之间有如下关系：其中M 为市场最大需求量，a 是价格系数。同时，生产部门根据对生产环节的分析，对每台电视机的生产成本 c 有如下测算：其中c0 是只生产一台电视机的成本,k 是规模系数。根据上述条件，应该如何确定电视机的销售价格 p,才能使该厂获得最大利润？分析分析：在生产和销售商品过程中，商品销售量、生产成本与销售价格 是相互影响的。厂商只有选择合理的销售价格最优价格最优价格,才能获得最大利润。解解：设厂家获得的利润为u,每台电视机的生产成本为c,销售价格为p,销售量为x,则利润函数为 u=(p-c)x (3)问题变化为在条件(1)(2)下求解利润函数的最大值。构造拉格朗日函数令由(8)(9)，可得由(8)(6)，可得由(7)，可得由(10)(11)(12)及(5)，可得最优销售价格为说明说明：在最优销售价格p*的表达式中含有待定的规模参数k、价格系数a。为了确定电视机的最优销售价格，必须预先给出这些参数。复习：微积分的相关内容1.多元函数的偏导数的求法；2.多元函数的无条件极值的求法；3.多元函数的条件极值的求法；