初中代数中不等式与函数.ppt

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1、初中数学中的不等式初中数学中的不等式万家练万家练 世界上没有两片完全相同的树叶，可见，不等是绝对的。不等式是研究事物之间数量关系的重要模型。几乎每一个经典的初等不等式都体现着数学的美妙，有着很广泛的应用。课程标准（2011）对不等式的要求降低了，但不等式仍然是初中数学重要的内容。初中数学中的不等式v代数不等式v几何不等式代数不等式(初等代数中不等式的框架）1、不等式及其基本概念、不等式及其基本概念定义定义用用不等号不等号联结两个解析式所成的式子，联结两个解析式所成的式子，称为不等式。称为不等式。（不等式理论是建立在实数集的顺序性上的，任意两个（不等式理论是建立在实数集的顺序性上的，任意两个实数

2、实数a,b,那么那么ab有且仅有一个成立。）有且仅有一个成立。）按不等号分类按不等号分类非严不等式非严不等式严不等式严不等式按解析式分类按解析式分类代数不等式代数不等式超越不等式超越不等式2.不等式的性质v性质1 ab bb,bc acv推论 ab,bc ab a+cb+cv推论1 a+bc ac-bv推论2 ab,cd a+cb+d对称性传递性可加性移项法则加法法则（同向不等式不能相减）注意双向箭头与单向箭头性质4 (1)ab,c0 acbc (2)ab,c0 acb0,cd0 acbd推论2 ab0 an bn (nN,n1)可乘性乘法法则乘方法则v性质5 ab0 (nN,n1)开方法则3

3、 不等式的基本问题不等式的基本问题解不等式证明不等式不等式的解法 各种类型的不等式，解法各不相同，但代数解法的思路基本相同。都是根据有关的定义、性质或定理，把不等式同解变形同解变形为一元一次或一元二次不等式（组）后再求解。一元一次不等式的解法 一元二次不等式的解法 简单的高次不等式的解法 分式不等式的解法 无理不等式的解法 指数不等式、对数不等式的解法 含绝对值的不等式的解法 一元一次不等式的解法 一元一次不等式axb和ax0 a=0 a0 b0 bbxxb/a空集 空集 Rxxb/aaxbxxb/a一元二次不等式的解法 设一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两个根为x1 x2，（x1

4、0时，一元二次不等式的解集是：条件 解集类型 0 =0 0 (a0)xx x1 或x x2xxR且x-b/2a Rax2+bx+c0)xx1 x0)的图象 y x1 x2 x y x1 x2 x y x简单的高次不等式的解法 设一元高次不等式为f（x）0(或f（x）0或f（x）/g(x)0（或0（或g(x)g(x)0 f (x)g(x)f(x)0 f(x)0 f(x)g(x)g(x)0 或 g(x)g(x)2 f(x)0 f(x)g(x)g(x)0 f(x)3x例2 已知 a b 0,求证：a4+b4 a3b+ab3 常用的重要不等式常用的重要不等式 （1）若aR，则a20，当且仅当a=0时等

5、号成立 （2）若a，bR，则a2 b2 2ab，当且仅当ab等号成立 （3）若a，b R，则（ab）/2ab，当且仅当ab时等号成立 （4）若a，b，c R，则a3 b3 c3 3abc，当且仅当abc时等号成立 （5）若a，b，c R，则（abc）/33abc，当且仅当abc时等号成立 (6)平均值不等式 n个（nZ，n1）正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的 几何平均数 即 （a1+a2+an）/nn a1a2an 当且仅当a1 a2 an 时等号成立(最重要的不等式，不等式理论的基石，50多种证法，很多大数学家在这里留下精彩的思想）（7）定理设定理设是实数，则是实数，则当且仅当当

6、且仅当 (i=1,2,n)或或 存在一存在一个个 数数k使得使得 (i=1,2,n)时时等号等号成立。成立。以上不等式称为以上不等式称为一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式。证明柯西不等式：证明柯西不等式：分析：分析：v(8)贝努力（贝努力（Jac.Bernoulli）不等式）不等式v设x-1则v（1）当01时，(1+x)1+x （2）当1时，(1+x)1+x其中等号成立的充要条件为x=04 不等式的应用最优化思想一次不等式的应用；二次函数中的最值。几何不等式几何量的大小比较（长度、角度、面积、体积等）一些结论v定理：连结A、B两点的最短线是线段AB.v推论：三角形的两边之和大于第三边.v

7、定理：直角三角形的斜边长大于直角边长.v推论:圆中直径最长.v定理:直线外一点与直线上各点的连线中垂线最短.v如图,DE是三角形ABC的两点,问vAB+ACBD+DE+CE?v证:延长BD交AC于点F,延长CE交BF于点G.v 根据三角形的三边 关系 AB+AFBF GF+FCGC相加得 AB+ACBG+GC 又因为DG+GEDE,所以BG+GCBD+DE+EC所以AB+ACBD+DE+CEABCDEFG 构造三角形构造三角形找中间量找中间量ABCDEv如果一个多边形恰有三个内角是钝角,那么这个多边形的边数至多是多少?v解:设满足题意的多边形有n条边.v180(n-2)3180+(n-3)90

8、v 2(n-2)6+n-3v n7A AB BC C关键关键:根据钝根据钝角、锐角的角、锐角的范围范围,将内角将内角和适当放大和适当放大ABAP课课本本原原型型：（八八年年级级上上册册4242页页）如如图图，要要在在燃燃气气管管道道L L上上修修建建一一个个泵泵站站，分分别别向向A A、B B两两站站供供气气。泵泵站站修修在在管管道道的的什什么么地地方方，可可使使所所用的输气管线最短？用的输气管线最短？燃气管道燃气管道L基本图形基本图形:两点一线两点一线基本解法基本解法:利用对称利用对称性性B这道中考题到底要考学生什么？这道中考题到底要考学生什么？v v山西省2012年中考数学试卷第26题是一

9、道难度较大的题当然，作为压轴题难度稍大点无可厚非，但在何处设难，到底“为难”学生什么？确是要细量和把握准的问题v原题原题如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=-x2+2x+3 与x轴交于A、B点，与y轴交于C点，点D是该抛物线的顶点.(1)求直线的解析式及、两点的坐标.（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线ll/AC交抛物线于Q点，试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.（3）请在直线AC上找一点M，使的BDM周长最小，求出点M的坐标.v（2）抛物线上有三个这样的点，分别为：v

10、，.（7分）v（3）过点作于点，使，则为点关于直线的对称点.v连接交直线于点，则点为所求.（8分）v过点作轴于点.v和都是的余角，.v.，v由（，0），（3，0），（0，3）得v，.，.v.（10分）v由可得，v，即.v，.v点的坐标为.（12分）v设直线的解析式为.v 解得 （13分）v由 解得 点的坐标为 （14分）v评议评议这道题分值为14分叙述简洁，题意易明原意在考查一次函数二次函数的图象与性质，相似三角形的判断与性质，平行四边形的判定，勾股定理，解方程等知识第（1）问是最基本知识，有送分之情；第（2）问难度陡然提升，要求分类讨论能力较高，要靠实力得分：第（3）问有“逗你玩”之嫌，在几

11、何上找出点容易，但在代数上求出点坐标“算你狠”笔者认为，这一问根本就不应该设，其理由是：v（）所考的内容常出现在以前的初中数学竞赛中，新课程已淡化了这方面的要求因此，从命题的导向上来看，不利于新课标特别是课程标准（2011年版）的实施v（ii）考这样的内容通常用于判别学生的几何能力，代数的计算就是比较麻烦，更何况解析几何知识在初中介绍的就少，学生手中工具匮乏，本来到了高中就变得非常浅显的基本计算，非要提前来折磨学生，不仅要求不合理，还会让学生更加厌学坐标（解析几何）方面的知识也许另种解释考这样的内容是为了考查能力和体现区分度的需要,但因考查的是超出初中生计算能力要求范围的知识，故也不可取v（i

12、ii）题设的第（2）问难度已不小了，虽然只要求：若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由但直接写出符合条件的点的坐标又谈何容易！需要学生熟练地运用几何、二次函数等知识，更要数学思维缜密与完善，稍有不慎想得全分就是奢望也就是说原有的考查目标在这一问中就能实现第（3）问共分，为了这分，不知要让考场上的多少考生留下遗憾，给今后的学生带来多大的压力，如果这道题后又被选编到各种中考复习资料中，而流向全国学生手中，将不知又给多少学子带来恐惧和不安，最后，中考复习无限拔高不可避免v（iv）第（3）的标准答案也不科学，用几何法找出M点并没有证明，按课标上的观点，只有课本上的基本事实、定义、

13、定理才能作为证明的依据，因而这种没有证明的命题不能作为推理的依据，所以后面的计算缺乏正确的前提此外，后面的解答还可简洁些，用三角函数知识解能减少计算量v下面的解答同原解答v即便有这样略为简单的解法，这里的求点坐标在初中意义仍然不大v由此看来，中考命题首先要考虑到这道题到底要考学生什么？是否有利学有利教即使中考需要一点智力挑战，也应该是那种“暮然回首”的意境，而不是索然无味的知识堆积小结v1 不等是绝对的；不等式是事物间数量关系的重要模型。v2 虽然初中只学习一元一次不等式，但也学习了不等式性质，不等式求解等基础知识，而且代数式知识，二次函数知识也为后续不等式的学习打好基础。v3 树立初步的最优

14、化思想，了解不等式的实际应用。初中数学中的函数初中数学中的函数 函数是中学数学的核心内容。它研究变量，与数、式、方程等有密切的联系；函数是近代数学的主要基础，因此函数在中学数学课程中占极重要的地位。初等数学中函数内容的框 架1 函数的概念2 基本初等函数3 初等函数及其分类4 用初等方法讨论初等函数5 初等函数图像的作法一、函数概念的扩展一、函数概念的扩展 函数概念对数学发展的影响，可以说是函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史

15、过程，是一件十分有炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用。大作用。(一一)马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究。由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相程的研究。由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽。当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽。自哥白尼的天文学革命以后，运动就

16、成了文艺复自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆，原理是什么行星运行的轨道是椭圆，原理是什么?还有，研究在还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题

17、，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源。这是函数概念的力学来源。(二二)早在函数概念尚未明确提出以前，数学早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比家已经接触并研究了不少具体的函数，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等。如对数函数、三角函数、双曲函数等等。16731673年前后笛卡儿在他的解析几何中，已年前后笛卡儿在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依经注意到了一个变

18、量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到一般的函数概念，因此直到1717世纪后期牛世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义。还没有明确函数的一般意义。16731673年，年，莱布尼兹莱布尼兹首次使用函数一词首次使用函数一词表示表示“幂幂”，后来他用该词，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。上点的有关几何量。莱布尼兹莱布尼兹GWLeibniz16461716德国数学家德国数学家

19、由此可以看出，函数一词由此可以看出，函数一词最初的数学含义是相当广泛最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的，几乎与此同而较为模糊的，几乎与此同时，牛顿在微积分的讨论中，时，牛顿在微积分的讨论中，使用另一名词使用另一名词“流量流量”来表来表示变量间的关系，直到示变量间的关系，直到16891689年，瑞士数学家约翰年，瑞士数学家约翰伯努努利才在莱布尼兹函数概念的利才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了基础上，对函数概念进行了明确定义，明确定义，贝努里把变量贝努里把变量x x和常量按任何方式构成的量和常量按任何方式构成的量叫叫“x x的函数的函数”。约翰伯努利（Bernoulli Johan）

20、1667-1748 瑞士数学家强调函数要用公式表示强调函数要用公式表示 当时，由于连接变数与常数当时，由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算，所以后来欧指数运算和对数运算，所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数拉就索性把用这些运算连接变数x x和常数和常数c c而成的式子，取名为解析而成的式子，取名为解析函数，还将它分成了函数，还将它分成了“代数函数代数函数”与与“超越函数超越函数”。就以就以“解析的函数解析的函数”而言，法而言，法国数学家达朗贝尔认为只有唯一一国数学家达朗贝尔认为只有唯一一个表达式者称为函数而欧拉则认个表达式者称为

21、函数而欧拉则认为可以由多个表达式的也可称为函为可以由多个表达式的也可称为函数。数。欧拉欧拉LEuler17071783 瑞士数学家瑞士数学家 从莱布尼兹到欧拉，所有被引入的函数概从莱布尼兹到欧拉，所有被引入的函数概念都与解析表达式纠缠在一起。念都与解析表达式纠缠在一起。在函数概念发展史上，法国数学家富在函数概念发展史上，法国数学家富里埃的工作影响最大，富里埃深刻地揭示里埃的工作影响最大，富里埃深刻地揭示了函数的本质，主张函数不必局限于解析了函数的本质，主张函数不必局限于解析表达式。表达式。18221822年，他在名著年，他在名著热的解析理热的解析理论论中说，中说，“通常，函数表示相接的一组通常

22、，函数表示相接的一组值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的，我们不假定这些纵坐标服从一个共，我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；他们以任何方式一个挨一个。同的规律；他们以任何方式一个挨一个。”在该书中在该书中,他用一个三角级数和的形式表达他用一个三角级数和的形式表达了一个由了一个由不连续的不连续的“线线”所给出的函数所给出的函数，也，也可以有可以有多个表达式多个表达式来表示。更确切地说就是来表示。更确切地说就是,任意一个以任意一个以22为周期函数为周期函数.在在-，区间区间内，可以由内，可以由 表示出，其表示出，其中中 ,。富里埃的研究，从根本上动摇了旧的

23、关富里埃的研究，从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想，在当时的数学界引于函数概念的传统思想，在当时的数学界引起了很大的震动。原来，在解析式和曲线之起了很大的震动。原来，在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟，级数把解析式间并不存在不可逾越的鸿沟，级数把解析式和曲线沟通了，那种视函数为解析式的观点和曲线沟通了，那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍终于成为揭示函数关系的巨大障碍。18371837年，德国数学家狄里克年，德国数学家狄里克莱（莱（DirichletDirichlet）认为怎样）认为怎样去建立去建立x x与与y y之间的关系无之间的关系无关紧要，所以他的定义是：关

24、紧要，所以他的定义是：“如果对于如果对于x x的每一值，的每一值，y y总有完全确定的值与之对总有完全确定的值与之对应，则应，则y y是是x x的函数。的函数。”根据这个定义，即使像如下根据这个定义，即使像如下表述的，它仍然被说成是表述的，它仍然被说成是函数（狄里克莱函数）：函数（狄里克莱函数）：狄利克雷狄利克雷P.G.L.Dirichlet18051859德国数学家德国数学家 1）没有公式：函数概念从解析式子中解放了出来；2）没有图形：函数概念从几何直观中解放了出来；3）不连续：历史上第一个间断函数，开了研究不连续函数的先河；4）没有实际背景：函数概念从客观世界这一束缚中解放了出来。这表示数

25、学家们对数学的理解发生了深刻的变化，“人造”的特征开始展现出来。这种思想也标志着数学从研究“算”到研究“概念、性质、结构”的转变的开始。狄里克莱的函数定义，狄里克莱的函数定义，抓住了概念的本质抓住了概念的本质属性，变量属性，变量y称为称为x的函数，只须有一个法则的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的有一个确定的y值和它对应就行了它值和它对应就行了它出色出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，以完全清晰的方式为所有数学家系的描述，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。

26、至此，我们已可以说，函数无条件地接受。至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。们常说的经典函数定义。函数概念就在这样的历史条件下能动地向前函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展，产生了新的现代函数定义：若对集发展，产生了新的现代函数定义：若对集合合M M的任意元素的任意元素x x，总有集合，总有集合N N确定的元素确定的元素y y与之对应，则称在集合与之对应，则称在集合M M上定义一个函数，上定义一个函数，记为记为y=fy=f（x x），元素），元素x x称为自变元，元素称为自变元，元素y y称为因变元。称为

27、因变元。函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字，但却是概念上的重大发展，只相差几个字，但却是概念上的重大发展，是数学发展道路上的重大转折，近代的泛是数学发展道路上的重大转折，近代的泛函分析可以作为这种转折的标志，它研究函分析可以作为这种转折的标志，它研究的是一般集合上的函数关系。的是一般集合上的函数关系。函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革，形函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革，形成了函数的现代定义，应该说已经相当完善了。成了函数的现代定义，应该说已经相当完善了。不过数学的发展是无止境的，函数现代定义的形不过数学的发展是无止境的，函数

28、现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终结，近二十式并不意味着函数概念发展的历史终结，近二十年来，数学家们又把函数归结为一种更广泛的概年来，数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念念“关系关系”。设集合设集合X X、Y Y，我们定义，我们定义X X 与与Y Y 的积集的积集X X Y Y 为为X X Y Y=（x x，y y）x x X X，y y Y Y 积集积集X X Y Y 中的一子集中的一子集f f称为称为 X X与与 Y Y 的一个关系，的一个关系，若（若（x x，y y）f f，则称，则称 x x 与与 y y 有关系有关系 f f ，记，记为为x f yx f y。若（。若（x

29、 x，y y）R R，则称，则称 x x 与与 y y 无关系。无关系。2 2 基本初等函数基本初等函数基本初等函数基本初等函数常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等，称为基本初等函数。3 3 初等函数及其分初等函数及其分类类一、初等函数的概念一、初等函数的概念 3 3 初等函数及其分初等函数及其分类类 有理有理 整函数整函数 有理函数有理函数 初等代数函数初等代数函数 有理分有理分 函数函数初等函数初等函数 无理函数无理函数 初等超越函数初等超越函数二、初等函数的分类二、初等函数的分类4 4 用初等方法研究初等函数用初等方法研究初等函数一、函数的定义域和值域一、函数的定

30、义域和值域函数的定义域函数的定义域 函数的定义域是使函数有意义（包括函数表达函数的定义域是使函数有意义（包括函数表达式的数学意义和问题的实际背景所限定的意义）式的数学意义和问题的实际背景所限定的意义）的自变量的取值范围。的自变量的取值范围。函数的值域函数的值域 函数的值域就是函数值组成的集合。函数的值域就是函数值组成的集合。4 4 用初等方法研究初等函用初等方法研究初等函数数5 5 初等函数初等函数图图像的作法像的作法一、应用函数的特性作函数图像（略）一、应用函数的特性作函数图像（略）对初中数学函数部分教学的思考与建议v充分认识学生对函数概念的理解和掌握是一个相当长的过程 从接触起到高一，对函

31、数的认知大体经历三个阶段：（1）作为“算式”的函数 （2)作为“变化过程”的函数 （3）作为“对应关系”的函数v为帮助学生建立正确的函数概念，教学时要做到：（1）要尽早、经常地渗透函数思想方法（2）从实例中引入函数概念（3）揭示函数概念的本质（4）适当的练习、正反的辨认加深对函数概念的理解v较高观点下把握函数性质的学习定义域、值域；增减性；渐近线；对称性。v在解决函数问题中形成数形结合思想形成学习函数离不开图象的习惯（但要防止过度化）v23、（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线 交于A，B两点，点A在轴上，点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A，B重合），过点P作轴的垂线交直线AB与点C，作PDAB于点Dv（1）求 及 的值v（2）设点P的横坐标为m 用含m的代数式表示线段PD的长，v并求出线段PD长的最大值；v 连接PB，线段PC把VPDB分成v两个三角形，是否存在适合的m值，v使这两个三角形的面积之比为9:10？v若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由BCDXOPAY