二次函数中的符号问题与求解析式.ppt

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1、2回味知识点：回味知识点：1、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关？的开口方向与什么有关？2、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c与与y轴的交点是轴的交点是 .3、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是的对称轴是 .a0时，开口向上；a0时，开口向下。（0、c）X=-3归纳知识点：归纳知识点：抛物线抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：的符号问题：（1）a的符号：的符号：由抛物线的开口方向确定由抛物线的开口方向确定开口向上开口向上a0开口向下开口向下a0交点在交点在x轴下方轴下方c0与与x轴有一个交点轴有一个交点b2-4ac=0与与x轴无交点轴无交点b2-4ac0 向下向

2、下ao 下半轴下半轴c0-与与1比较比较-与与-1比较比较与与x轴交点个数轴交点个数令令x=1，看纵坐标，看纵坐标令令x=-1，看纵坐标，看纵坐标令令x=2，看纵坐标，看纵坐标令令x=-2，看纵坐标，看纵坐标3、判断、判断y=ax2+bx+c符号符号a、b 、c2a+b,2a-b,b2-4aca+b+ca-b+c4a+2b+c、4a-2b+c1-110快速回答：快速回答：抛物线抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的的符号：符号：xoy根据图像可得：1、a02、-03、=b-4ac04、C011抛物线抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、

3、b、c、的的符号：符号：xyo快速回答：快速回答：根据图像可得：1、a02、-03、=b-4ac04、C012抛物线抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的的符号：符号：xyo快速回答：快速回答：根据图像可得：1、a02、-03、=b-4ac04、C013抛物线抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的的符号：符号：xyo快速回答：快速回答：根据图像可得：1、a02、-03、=b-4ac04、C014抛物线抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的的符号：符号：xyo快速回答：快速回答：根据图像可得：1

4、、a02、-03、=b-4ac04、C015练一练：练一练：1.已知：二次函数已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点的图象如图所示，则点M（，a）在（）在（）A、第一象限、第一象限 B、第二象限、第二象限 C、第三象限、第三象限 D、第四象限、第四象限 xoyD根据图像可得：1、a02、-03、=b-4ac04、C016练一练：练一练：2、已知：二次函数、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，的图象如图所示，下列结论中：下列结论中：b0；c0；4a+2b+c 0；（a+c)2b2，其中正确的个数是其中正确的个数是 （）A、4个个 B、3个个C、2个个 D、1个个xo

5、yx=1B根据图像可得：1、a02、-13、=b-4ac04、C017练一练：练一练：3、已知：二次函数、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，的图象如图所示，下列结论中：下列结论中：abc0；b=2a；a+b+c0；a+b-c0;a-b+c0正确的个数是正确的个数是 （）A、2个个 B、3个个C、4个个 D、5个个xoy-11C根据图像可得：1、a02、-13、=b-4ac04、C0184.4.二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象的一部分如图，已知它的的图象的一部分如图，已知它的顶点顶点M M在第二象限，且经过在第二象限，且经过A(1,0),B(0,1

6、),A(1,0),B(0,1),请判断实数请判断实数a a的范围的范围,并说明理由并说明理由.1MOBAyx1想一想：想一想：根据图像可得：1、a02、-03、a+b+c04、C119 5.(06.5.(06.芜湖市芜湖市)如图，在平面直角坐标系中，二次函数如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=axy=ax2 2+c+c（a0a0a0；b0b0；c0c0；a+b+ca+b+c=0=0其中正确其中正确结论结论的序号的序号是是 （答（答对对得得3 3分，少分，少选选、错选错选均不得分）均不得分）第第(2)(2)问问：给给出四个出四个结论结论：abcabc002a+b0；a+ca+c=1=1；a1a

7、1其中正确其中正确结论结论的序的序号是号是 （答（答对对得得5 5分，少分，少选选、错选错选均不得分）均不得分）xyO1-12仔细想一想：仔细想一想：212.若关于若关于x的函数的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个的图象与坐标轴有两个交点，则交点，则a可取的值为可取的值为 ；1.如如图图是二次函数是二次函数y1=ax2+bx+c和和一次函数一次函数y2=mx+n的图象，观察的图象，观察图象写出图象写出y2 y1时，时，x的取值范围的取值范围是是_;3.(03武武汉汉)已知抛物已知抛物线线y=ax2+bx+c（a0)经过点（经过点（1，0），），且且满满足足4a4a2

8、b2bc c0 0以下以下结论结论：a ab b0 0；a ac c0 0；a ab bc c0 0；b b2 2-2ac5a-2ac5a2 2其中正确的个数有（其中正确的个数有（）（A A）1 1个个 （B B）2 2个个 （C C）3 3个个 （D D）4 4个个（1）二次函数）二次函数yax2+bx+c的的图图象如象如图图所示，那所示，那abc，b24ac，2ab，abc，abc 这这五个代五个代数式中，数式中，值为值为正数的有正数的有（）练习练习A4个个 B3个个C2个个 D1个个yx-111.1.已已知知二二次次函函数数的的图图象象如图所示，如图所示，则有（）则有（）()a0,b0,

9、c0 ()a0,b0,c0 (C)a0,b0,c0 (D)a0,b0,c0（2）根据下列表格中二次函数）根据下列表格中二次函数yax2+bx+c的自的自变变量与函数量与函数值值的的对应值对应值，判断方程，判断方程ax2+bx+c=0（a0,a,b,c为为常数）的一个解的范常数）的一个解的范围围是（是（）x6.176.186.196.20yax2bxc-0.03-0.010.020.04A6.17 X 6.18 B6.18 X 6.19C-0.01 X 0.02 D6.19 X 6.20yx02-3 （3）小明从右边的二次函数）小明从右边的二次函数yax2bxc的的图象观察得出下面的五条信息：图

10、象观察得出下面的五条信息：a 0；c0；函数的最小值为函数的最小值为-3；当当x0时，时，y0；当当0 x1x22时，时，y1 y2 你认为其中正确的个数你认为其中正确的个数有（有（）A2 B3 C4 D5 （4）请你写出一个二次函数）请你写出一个二次函数yax2bxc，使它同时具有如下性质：使它同时具有如下性质：图象关于直线图象关于直线x1对对称；称；当当x2时，时，y0；当当x2时，时，y0？（3）将抛物线作怎样的一次）将抛物线作怎样的一次平移平移,才能使它与坐标轴仅有才能使它与坐标轴仅有两个交点两个交点,并写出此时抛物线并写出此时抛物线的解析式。的解析式。xyoABDC-15-2.5 4

11、、已知：抛物线已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示：的图象如图所示：（1）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；（2）当）当x取何值时，取何值时，y0？（3）将抛物线作怎样的一次）将抛物线作怎样的一次平移平移,才能使它与坐标轴仅有才能使它与坐标轴仅有两个交点两个交点,并写出此时抛物线并写出此时抛物线的解析式。的解析式。xyoABDC-15-2.5 4、已知：抛物线已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示：的图象如图所示：（1）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；（2）当）当x取何值时，取何值时，y0？（3）将抛物线作怎样的一次）将抛物线作怎样的一次平移平移,才能使它与

12、坐标轴仅有才能使它与坐标轴仅有两个交点两个交点,并写出此时抛物线并写出此时抛物线的解析式。的解析式。xyoABDC-15-2.5 4、已知：抛物线已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示：的图象如图所示：（1）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；（2）当）当x取何值时，取何值时，y0？（3）将抛物线作怎样的一次）将抛物线作怎样的一次平移平移,才能使它与坐标轴仅有才能使它与坐标轴仅有两个交点两个交点,并写出此时抛物线并写出此时抛物线的解析式。的解析式。xyoABDC-15-2.55、如图，抛物线、如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线与直线y=kx+4相交相交于于A（1，m），），B

13、（4，8）两点，与）两点，与x轴交于原点轴交于原点及及C点，（点，（1）求直线和抛物线的解析式；（）求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点在抛物线上是否存在点D，使，使S OCD=S OCB，若存在，求出点若存在，求出点D；若不存在，请说明理由。；若不存在，请说明理由。xyoABC（1）y=x+4A（1，5）y=-x2+6x5、如图，抛物线、如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线与直线y=kx+4相交相交于于A（1，m），），B（4，8）两点，与）两点，与x轴交于原点轴交于原点及及C点，（点，（1）求直线和抛物线的解析式；（）求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点在抛物

14、线上是否存在点D，使，使S OCD=S OCB，若存在，求出点若存在，求出点D；若不存在，请说明理由。；若不存在，请说明理由。xyoABC（1）y=x+4y=-x2+6x（4，8）（6，0）5、如图，抛物线、如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线与直线y=kx+4相交相交于于A（1，m），），B（4，8）两点，与）两点，与x轴交于原点轴交于原点及及C点，（点，（1）求直线和抛物线的解析式；（）求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点在抛物线上是否存在点D，使，使S OCD=S OCB，若存在，求出点若存在，求出点D；若不存在，请说明理由。；若不存在，请说明理由。xyoABCy=-x2

15、+6x（4，8）（6，0）（2）S OCB=24设点设点D坐标为（坐标为（x，y）y=y=1212 1、已知：二次函数、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为的图象的顶点为P（-2，9），且与），且与x轴有两个交点轴有两个交点A、B（A左左B右），右），S ABC=27，求：（，求：（1）二次函数的解析式；（）二次函数的解析式；（2）A、B两点的坐标；（两点的坐标；（3）画出草图；（）画出草图；（4）若抛物线与）若抛物线与y轴轴交于交于C点，求四边形点，求四边形ABCP的面积。的面积。试一试：试一试：(1)y=-x2-4x+5(2)A(-5,0),B(1,0)(4)S=302、已知：

16、一次函数的图象交、已知：一次函数的图象交y轴于点（轴于点（0，-1），交），交抛物线抛物线y=x2+bx+c于顶点和另一点（于顶点和另一点（2，5），试求），试求这个一次函数的解析式和这个一次函数的解析式和b、c的值。的值。点拔：点拔：y=3x-1抛物线抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为的顶点坐标为 3、已知、已知:抛物线抛物线y=ax2+bx+c过点（过点（-5，0）、）、（0，）（）（1，6）三点，直线）三点，直线L的解析式为的解析式为y=2x-3，（，（1）求抛物线的解析式；（）求抛物线的解析式；（2）求证：）求证：抛物线与直线无交点；（抛物线与直线无交点；（3）若与直线）若与直线L平

17、行的直平行的直线与抛物线只有一个交点线与抛物线只有一个交点P，求，求P点的坐标。点的坐标。点拔：点拔：（1）（2）证抛物线和直线的解析式组成的方程组无解）证抛物线和直线的解析式组成的方程组无解（3）设与）设与L平行的直线的解析式为平行的直线的解析式为y=2x+n则：此直线和抛物线的解析式组成的方程组只有一则：此直线和抛物线的解析式组成的方程组只有一个解。即个解。即=04、已知：二次函数、已知：二次函数y=ax2+bx+c有最大值，它与直有最大值，它与直线线 y=3x-1交于交于A（m，2）、）、B（n，5），且其中一），且其中一个交点为该抛物线的顶点，求（个交点为该抛物线的顶点，求（1）此二次

18、函数的解）此二次函数的解析式；（析式；（2）当）当x取何值时，取何值时，y随随x的增大而增大。的增大而增大。先求出先求出A、B两点的坐标：两点的坐标：A（1，2）、）、B（2，5）若若A（1，2）为顶点：）为顶点：设解析式为设解析式为y=a(x-1)2+25=a+2 a=3又又函数有最大值函数有最大值,a=3不合不合,舍去舍去.若若B（2，5）为顶点：）为顶点：设解析式为设解析式为y=a(x-2)2+52=a+5 a=-3则解析式为则解析式为y=-3(x-2)2+51、已知二次函数、已知二次函数与轴两个交点为与轴两个交点为A（，0），），B（，0），），且满足且满足 ，求此二次函数解析，求此二

19、次函数解析式。式。2、已知二次函数、已知二次函数 （1）求证：不论）求证：不论k取何值，这个函数的图像与取何值，这个函数的图像与轴总有两个交点。轴总有两个交点。（2）实数）实数k为何值时，这两个交点之间的距离为何值时，这两个交点之间的距离最小，并求这个最小距离。最小，并求这个最小距离。（南京市中考题）如果抛物线（南京市中考题）如果抛物线 与轴交于与轴交于A、B两点，点两点，点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点B在轴的负半轴上，在轴的负半轴上，0A=a,0B=b,若若a:b=3:1，求抛物线的解析式。，求抛物线的解析式。已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程2x2+4x+k10有实数

20、有实数根，根，k为正整数为正整数.（1）求）求k的值；的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的的二次函数二次函数y2x2+4x+k1的图象向下平移的图象向下平移8个单个单位，求平移后的图象的解析式；位，求平移后的图象的解析式；（3）在（）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图）的条件下，将平移后的二次函数的图象在象在x轴下方的部分沿轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的请你结合这个新的图象回答：当直线图象回答：当直线yx+b(bk)与此图象有两个与此图

21、象有两个公共点时，公共点时，b的取值范围的取值范围.解（解（1）由题意，得）由题意，得168(k1)0，所以所以k3，而，而k为正整数，所以为正整数，所以k1，2，3.（2）当）当k1时，方程时，方程2x2+4x+k10有一个根为有一个根为0；当当k2时，方程时，方程2x2+4x+k10无整数无整数根；根；当当k3时，方程时，方程2x2+4x+k10有两个有两个非非0整数根；整数根；综上所述，综上所述，k1和和k2时，不合题意，时，不合题意，舍去，舍去，k3符合题意符合题意.当当k3时，二次函数为时，二次函数为y2x2+4x+2，把它的图象向下平移把它的图象向下平移8个单位，得到的图个单位，得

22、到的图象的解析为象的解析为y2x2+4x6.（3）设二次函数为）设二次函数为y2x2+4x6的图象的图象与与x轴交于轴交于A，B两点，则两点，则A(3，0)，B(1，0).依题意，得翻折后的图象如图所依题意，得翻折后的图象如图所示，当直线示，当直线y x+b经过点经过点A时，可求得时，可求得b ；当直线；当直线y x+b经过点经过点B时，可时，可求得求得b .由图象可知，符合题意的由图象可知，符合题意的b(b3)的取值范围为的取值范围为 b .如图如图1，已知二次函数，已知二次函数yx22x1的图象的图象的顶点为的顶点为A.二次函数二次函数yax2+bx的图象与的图象与x轴交于原点轴交于原点O

23、及另一点及另一点C，它的顶点，它的顶点B在函在函数数yx22x1的图象的对称轴上的图象的对称轴上.（1）求点）求点A与点与点C的坐标；的坐标；（2）当四边形）当四边形AOBC为菱形时，求函数为菱形时，求函数yax2+bx的关系式的关系式.图1解如图解如图2.（1）因为）因为yx22x1(x1)22，所以顶点所以顶点A的坐标为的坐标为(1，2).又因为二次函数又因为二次函数yax2+bx的图象经过原点，且它的图象经过原点，且它的顶点在二次函数的顶点在二次函数yx22x1图象的对称轴图象的对称轴l上，上，所以点所以点C和点和点O关于直线关于直线l对称，所以点对称，所以点C的坐标为的坐标为(2，0)

24、.（2）因为四边形）因为四边形AOBC是菱形，所以点是菱形，所以点B和点和点A关关于直线于直线OC对称，因此，点对称，因此，点B的坐标为的坐标为(1，2).因为二次函数因为二次函数yax2+bx的图象经过点的图象经过点B(1，2)，C(2，0)，所以，所以解得解得所以二次函数所以二次函数yax2+bx的关系式的关系式为为y2x2+4x.图21、如图，抛物线、如图，抛物线y=-x2+2x+3与与x轴相交于轴相交于A、B两点（点两点（点A在点在点B的左侧），与的左侧），与y轴相交于点轴相交于点C，顶点为，顶点为D（1）求出）求出A、B的坐标和的坐标和ABC的面积的面积（2）在该抛物线的）在该抛物线

25、的对称轴对称轴上是否存在点上是否存在点Q，使得，使得QAC的周的周长最小？若存在，求出长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由点的坐标；若不存在，请说明理由（3）连接）连接BC，与抛物线的对称轴交，与抛物线的对称轴交于点于点E，点，点P为线段为线段BC上的一个动点，上的一个动点，过点过点P作作PF DE交抛物线于点交抛物线于点F点点P在线段在线段BC上移动的过程中，上移动的过程中，四边形四边形PEDF是否能成为平行四边形是否能成为平行四边形？若能，求此时点？若能，求此时点F的坐标；若不能，的坐标；若不能，请说明理由请说明理由Q E是否存在一点是否存在一点P，使，使BCF的面的面积最

26、大？若存在，求出点积最大？若存在，求出点P的坐标的坐标及及BCF的面积最大值若没有，的面积最大值若没有，请说明理由请说明理由2、（、（2010宁波）如图，已知二次函数宁波）如图，已知二次函数 的图象经过的图象经过A（2，0）、）、B（0，-6）两点）两点（1）求这个二次函数的解析式；）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与）设该二次函数的对称轴与x轴交于点轴交于点C，连接，连接BA、BC，求，求ABC的面积的面积（2010宁波）如图，已知二次函数宁波）如图，已知二次函数 的图象经过的图象经过A（2，0）、）、B（0，-6）两点）两点（3）设（）设（1）中抛物线交）中抛物线交x轴于

27、另一个点轴于另一个点D，在该，在该抛物线的对称轴上是否存在点抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得，使得ABQ的的周长最小？若存在，求出点周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，的坐标；若不存在，请说明理由。请说明理由。（4）在（）在（1）中的抛物线上）中的抛物线上的第四象限内是否存在一点的第四象限内是否存在一点P，使，使PBD的面积最大的面积最大?若存在，求出点若存在，求出点P的坐标及的坐标及 PBD的面积的最大值。的面积的最大值。若不存在，请说明理由。若不存在，请说明理由。D3、如图、如图,已知抛物线与已知抛物线与y轴相交于轴相交于C，与，与x轴相交于轴相交于A、B，点，点A的坐标为（的坐标为（2，0），点），点C的坐标为的坐标为（0，-1）.（1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2）点）点E是线段是线段AC上一动点，过点上一动点，过点E作作DE x轴于点轴于点D，连结，连结DC，当，当DCE的面积最大时，求点的面积最大时，求点D的坐的坐标；标；（3）在直线）在直线BC上是否上是否存在一点存在一点P，使，使ACP为等腰三角形，若存在，为等腰三角形，若存在，求点求点P的坐标，若不存的坐标，若不存在，说明理由在，说明理由.