第二章随机变量及其分布ppt..ppt

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1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量随机变量离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律随机变量的分布函数随机变量的分布函数连续型随机变量及其密度函数连续型随机变量及其密度函数随机变量函数的分布随机变量函数的分布 关于随机变量的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其

2、基础概念是随机变量.1 1 随机变量随机变量定义定义 设S=e是试验的样本空间，如果量X是定义在S上的一个单值实值函数即对于每一个eS，有一实数X=X(e)与之对应，则称X为随机变量。随机变量的特点随机变量的特点:1.X的全部可能取值是互斥且完备的2.X的部分可能取值描述随机事件随机变量常用X、Y、Z 或、等表示。随机变量定义定义 若随机变量X取值x1,x2,xn,且取这些值的概率依次为p1,p2,pn,则称X为离散型随机变量，而称PX=xk=pk,(k=1,2,)为X的分布律或概率分布。可表为:X PX=xk=pk,(k=1,2,)，或 2 2 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布(

3、1)pk 0,k1,2,;(2)例例2 2 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯,每组信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X汽车首次表示停下时,它已通过的信号灯的组数(设各组信号灯的工作是相互独立的).几个常用的离散型分布几个常用的离散型分布1.1.(0-1)(0-1)分布分布 若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(01)分布(两点分布),记为:XPXkpk(1p)1k,(0p1)k0，1或例如:抛硬币,婴儿性别等实验,可用0-1分布的随机变量来描述。若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，则称X 服从参数为n,p的二项分布。记作 XB(n,p),其分布律为：定义

4、定义 设将试验独立重复进行n次，每次试验中，事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为n重贝努里试验.2.2.贝努里贝努里(Bernoulli)(Bernoulli)试验与二项分布试验与二项分布例例3 3 从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律.(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.解解:(1)由题意,XB(6,1/3),于是,X的分布律为:例例4 4 某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试求其至少命中命中两次的概率。解解:设X表示400次独立射击中命中的次数，则X

5、B(400,0.02)，故 PX21 PX0P X1 10.98400(400)(0.02)(0.98399)0.9972 例例5 5 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障只能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,其一是由4人维护,每人负责20台;其二是由3人共同维护30台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率大小.3.3.泊松泊松(Poisson)Poisson)分布分布()设随机变量X所有可能取值为0,1,2,而取各个值的概率为:PXk ,k0,1,2,其中0是常数.则称X服从参数为的泊松分布,记为 X().其实际背景相

6、当丰富,如一本书一页中的印刷错误数;医院一天的急诊病人数;电台一段时间内接到的电话数;等等.注注:当n很大，p很小时，二项分布B(n,p)就可近似地看成是参数=np的泊松分布.解解:由题意知：3 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数定义定义 设X是随机变量，对任意实数x，事件Xx的概率PXx称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即F(x)=PXx.易知，对任意实数a,b(ab),PaXbPXbPXaF(b)F(a).一、分布函数的概念一、分布函数的概念二、分布函数的性质二、分布函数的性质1、单调不减性单调不减性：若x1x2,则F(x1)F(x2);2、归一归一 性性：对任意实数x，0F(

7、x)1，且 3、右连续性右连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。一般地，对离散型随机变量 XPX=xkpk,k1,2,其分布函数为 解解：X012P0.1 0.6 0.3例例2 2 向0,1区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在0,1区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数。解：解：由于 F(x)=PXx，因此当x1时,F(x)=1;当0 x1时,特别地,F(1)=P0 x1=k=1。例例3 3 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都

8、能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数。4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 1、定义定义 对于随机变量X，若存在非负函数f(x)，(-x+)，使对任意实数x，都有则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为X f(x),(-x+)一、概率密度一、概率密度密度函数的几何意义为2、密度函数的性质密度函数的性质(1)非负性非负性 f(x)0，(-x)；(2)(2)归一性归一性性质(1)、(2)也是密度函数的充要性质；设随机变量X的概率密度为求常数a.(3)对任意实数b，若X f(x)，(-x)，则 PX=b0,于是：(

9、4)若x是f(x)的连续点，则设随机变量X的分布函数求其概率密度函数f(x)注注1 1 描述一个随机变量，可以用分布函数，也可以用概率密度或分布律；注注 以后当我们提到一个随机变量X的“概率分布”时，指的是它的分布函数；或者，当X是连续型随机变量时，指的是它的概率密度，当X是离散型随机变量时，指的是它的分布律。(1)确定常数k;(2)求X的分布函数F(x);(3)求PX(1,7/2)二、几个常用的连续型分布二、几个常用的连续型分布1 1、均匀分布均匀分布则称X在(a,b)内服从均匀分布，记作XU(a,b)对任意实数c,d(acd0的指数分布。若 X其分布函数解解:由题意知将例2加以推广,即得指

10、数分布的无记忆无记忆性性:设随机变量X服从参数为的指数分布,则此即表明:已知元件使用了s小时,它总共能使用至少s+t小时的条件概率,与从开始使用时算起它至少能用t小时的概率相等.也就是说:元件能使用的时间与新旧无关.无记忆性无记忆性是指数分布的特性，自然界中仅指数分布具有无记忆性无记忆性。3 3、正态分布正态分布ABA，B间真实距离为，测量值为X。X的概率密度应该是什么形态？其中为实数，0，则称X服从参数为,2的正态分布,记为N(,2)，可表为XN(,2)。若随机变量(1)单峰对称（位置参数）密度曲线关于直线x=对称;并且max f(x)f().正态分布有两个特性参数0，21的正态分布称为标准

11、正态分布，记作XN(0,1)。标准正态分布分布函数表示为其密度函数表示为一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值(P439附表2)。如(0.5)=0.6915,P1.32X2.43=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066显然，(x)1(x)；设XN(0,1)，则PaXb=(b)(a)，P|X|x=2(x)1一般正态分布与标准正态分布的关系定理定理 若XN(,2)，则因此1、设随机变量XN(1,22),则 P0X3的值。比如，在质量控制中，常用标准指标值3作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报.表明生产出现异常.例例3 3 将一温度调节器放置在

12、贮存着某种液体的容器内.调节器整定在d(摄氏度),已知液体的温度服从正态分布(d,0.25)。(1)若d=90,求小于89的概率；(2)若要保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99,问d至少为多少?定义定义 设XN(0,1),称点 为标准正态分布的上分位点,如果:由上述定义，显然有 。5 5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布问题问题:设X一个随机变量，分布律为 XPXxkpk,k1,2,若yg(x)是一元单值实函数，则Yg(X)也是一个随机变量，求Y的分布律。例例:已知X的分布律为:XPk-1 0 1则Y=X2的分布律为:YPk1 0 或Yg(X)PYg(xk)pk，k1,2,其中若g

13、(xk)有相同的，其对应概率合并。一般地XPkY=g(X)例例1 1 P62 例1二、连续型随机变量函数的密度函数二、连续型随机变量函数的密度函数一般方法:若Xf(x),-x+,Y=g(X)为随机变量X 的函数，则可先求Y的分布函数然后再求Y的密度函数此法也叫“分布函数法分布函数法”例例2 P62 例2 FY(y)PYyP g(X)y=故当y0时，而当0y1时，当y1时，解：解：因此，当y=g(x)是x的严格单减函数时,Y的分布函数解：解：当y=g(x)是x的严格单增函数时,Y的分布函数总结例4的结论有:若XfX(x),y=g(x)是x的单调可导函数，则 注注：1 只有当g(x)是x的单调可导

14、函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数；2 注意反函数定义域的选择。其中h(y)为yg(x)的反函数。的概率密度函数。关于x严单增,反函数为故由例4结论知：一般地，如果XN(,2),则Y=aX+b N(a+b,(a)2)例例6 6 设XU(0,1),求Y=ax+b的概率密度(a0)。解解:Y=ax+b关于x严单,其反函数为故而因此由例4结论知：例例7 7 设电压V=Asin,其中A是一个已知的正常数，相角是一个随机变量，且有U试求电压V的概率密度。本章小结本章小结19/271.设随机变量X服从参数为(2,p)的二项分布，随机变量Y服从参数(3,p)的二项分布，若P(X1)=5/9，则PY1=习题课习题课2.设随机变量X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量Y=X2在(0，4)内的密度函数fY(y)=3.设随机变量XN(2,2)，且P(2X4)=0.3，则P(X0)=_0.2一、填空一、填空三、三、P72 21题五、五、P73 31题二、二、P70 10题四、四、P72 23题求Y=1-X2 的概率密度。