第八章组合变形解析.ppt

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1、Chapter8 Combined deformation(Combined Deformation)(Combined Deformation)第八章第八章 组合变形组合变形 （Combined deformation）8-1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理（Combined deformation and superposition method）8-2 拉伸（压缩）与弯曲的拉伸（压缩）与弯曲的组合组合（Combined axial and flexural loads）8-3 偏心压缩偏心压缩 截面核心截面核心(Eccentric loads&the kern（or core）of

2、 a section)8-4 扭转与弯曲扭转与弯曲的的组合组合（Combined torque and flexural loads）(Combined Deformation)(Combined Deformation)8.1 8.1 概述概述在外力作用下，构件若同时产生两种或两在外力作用下，构件若同时产生两种或两在外力作用下，构件若同时产生两种或两在外力作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况，称为组合变形。种以上基本变形的情况，称为组合变形。种以上基本变形的情况，称为组合变形。种以上基本变形的情况，称为组合变形。拉弯组合拉弯组合拉弯组合拉弯组合弯扭组合弯扭组合弯扭组合弯扭组合压

3、弯组合压弯组合压弯组合压弯组合(Combined Deformation)(Combined Deformation)拉扭组合拉扭组合拉扭组合拉扭组合(Combined Deformation)(Combined Deformation)(Combined Deformation)(Combined Deformation)叠加原理的成立要求叠加原理的成立要求叠加原理的成立要求叠加原理的成立要求:内力内力内力内力、应力应力应力应力、应变应变应变应变、变形等与外力之变形等与外力之变形等与外力之变形等与外力之间成线性关系间成线性关系间成线性关系间成线性关系.8-1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加

4、原理（Combined deformation and superposition method）1.1.1.1.外力简化，将组合变形分解为几个基本变形外力简化，将组合变形分解为几个基本变形外力简化，将组合变形分解为几个基本变形外力简化，将组合变形分解为几个基本变形:将外力将外力将外力将外力简化并沿简化并沿简化并沿简化并沿主惯性轴分解主惯性轴分解主惯性轴分解主惯性轴分解,将组合变形分解为基本变形将组合变形分解为基本变形将组合变形分解为基本变形将组合变形分解为基本变形,使使使使之每个力（或力偶）之每个力（或力偶）之每个力（或力偶）之每个力（或力偶）对应一种基本变形对应一种基本变形对应一种基本变形

5、对应一种基本变形3.3.3.3.确定危险截面上的危险点，建立强度条件确定危险截面上的危险点，建立强度条件确定危险截面上的危险点，建立强度条件确定危险截面上的危险点，建立强度条件:分别计算在每一种分别计算在每一种分别计算在每一种分别计算在每一种基本变形下构件的应力基本变形下构件的应力基本变形下构件的应力基本变形下构件的应力,画画画画出危险截面的应力分布图出危险截面的应力分布图出危险截面的应力分布图出危险截面的应力分布图,利用利用利用利用叠加原叠加原叠加原叠加原理理理理 将基本变形下的应力叠加将基本变形下的应力叠加将基本变形下的应力叠加将基本变形下的应力叠加,确定危险点确定危险点确定危险点确定危险

6、点,进而建立强度条件进而建立强度条件进而建立强度条件进而建立强度条件.一、处理组合变形的基本步骤一、处理组合变形的基本步骤一、处理组合变形的基本步骤一、处理组合变形的基本步骤（Basic method for solving combined deformationBasic method for solving combined deformation）2.2.2.2.确定危险截面确定危险截面确定危险截面确定危险截面:求每个外力分量对应的内力方程和内力图求每个外力分量对应的内力方程和内力图求每个外力分量对应的内力方程和内力图求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定确定确定确定危险截面危险截

7、面危险截面危险截面.(Combined Deformation)(Combined Deformation)=+=+例题：例题：例题：例题：(Combined Deformation)(Combined Deformation)一、受力特点一、受力特点一、受力特点一、受力特点 （Character of external forceCharacter of external force）杆件将发生拉伸杆件将发生拉伸杆件将发生拉伸杆件将发生拉伸 （压缩（压缩（压缩（压缩 ）与弯曲组合变形）与弯曲组合变形）与弯曲组合变形）与弯曲组合变形 作用在杆件上的外力既有轴向拉作用在杆件上的外力既有轴向拉作用

8、在杆件上的外力既有轴向拉作用在杆件上的外力既有轴向拉(压压压压 )力力力力,还有横向力还有横向力还有横向力还有横向力二、变形特点二、变形特点二、变形特点二、变形特点（Character of deformationCharacter of deformation）88-2-2 拉伸（或压缩）与弯曲的拉伸（或压缩）与弯曲的组合组合（Combined axial loading and bending）F F F F1 1 产生弯曲变形产生弯曲变形产生弯曲变形产生弯曲变形F F2 2 产生拉伸变形产生拉伸变形产生拉伸变形产生拉伸变形F Fy yF Fx xF Fy y 产生弯曲变形产生弯曲变形产生

9、弯曲变形产生弯曲变形F Fx x 产生拉伸变形产生拉伸变形产生拉伸变形产生拉伸变形F F1 1F F2 2F F2 2 示例示例示例示例1 1 示例示例示例示例2 2(Combined Deformation)(Combined Deformation)三、确定危险截面三、确定危险截面三、确定危险截面三、确定危险截面x xy yOz zMMz zF FN N 横截面上内力横截面上内力横截面上内力横截面上内力 2.2.2.2.弯曲弯曲弯曲弯曲 1.1.1.1.拉拉拉拉(压压压压):轴力轴力轴力轴力 F FN N弯矩弯矩弯矩弯矩 MMz z剪力剪力剪力剪力F Fs s 因为剪力引起的切应力较小因为

10、剪力引起的切应力较小因为剪力引起的切应力较小因为剪力引起的切应力较小,故一般不考虑故一般不考虑故一般不考虑故一般不考虑.F FS SF F1 1F F2 2F F2 2(Combined Deformation)(Combined Deformation)轴力轴力轴力轴力（axial forceaxial force）所以跨中截面是杆的危险截面所以跨中截面是杆的危险截面所以跨中截面是杆的危险截面所以跨中截面是杆的危险截面F F1 1F F2 2F F2 2l l/2/2l l/2/2 画内力图确定危险截面画内力图确定危险截面画内力图确定危险截面画内力图确定危险截面 弯矩弯矩弯矩弯矩（bendi

11、ng momentbending moment）xxFN图图M图图F2F1l l/4(Combined Deformation)(Combined Deformation)四、确定危险点四、确定危险点四、确定危险点四、确定危险点 拉伸正应力拉伸正应力拉伸正应力拉伸正应力 最大弯曲正应力最大弯曲正应力最大弯曲正应力最大弯曲正应力 杆危险截面杆危险截面杆危险截面杆危险截面 下边缘各点为危险点，其应力为下边缘各点为危险点，其应力为下边缘各点为危险点，其应力为下边缘各点为危险点，其应力为F F1 1F F2 2F F2 2l l/2/2l l/2/2-(Combined Deformation)(Co

12、mbined Deformation)当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时,应分别建立应分别建立应分别建立应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件杆件的抗拉和抗压强度条件杆件的抗拉和抗压强度条件杆件的抗拉和抗压强度条件.五、强度条件五、强度条件五、强度条件五、强度条件（Strength conditionStrength condition）由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态由于危险点处的应力状态仍为单向应

13、力状态,故其强度条件故其强度条件故其强度条件故其强度条件为为为为:(Combined Deformation)(Combined Deformation)例题例题例题例题1 1 小型压力机的铸铁框架如图所示小型压力机的铸铁框架如图所示小型压力机的铸铁框架如图所示小型压力机的铸铁框架如图所示.已知材料的许用拉应力已知材料的许用拉应力已知材料的许用拉应力已知材料的许用拉应力 t t=30MPa =30MPa,许用压应力许用压应力许用压应力许用压应力 c c=160MPa=160MPa.试按立柱的强度确定压试按立柱的强度确定压试按立柱的强度确定压试按立柱的强度确定压力机的许可压力力机的许可压力力机的

14、许可压力力机的许可压力F F.yzz0z15050150150350FF(Combined Deformation)(Combined Deformation)解：（解：（解：（解：（1 1）截面几何性质的计算）截面几何性质的计算）截面几何性质的计算）截面几何性质的计算A A=15=15 1010-3-3 mm2 2z z0 0=7.5 cm=7.5 cmI Iy y =5310 cm=5310 cm4 4 计算截面对中性轴计算截面对中性轴计算截面对中性轴计算截面对中性轴 y y 的惯性矩的惯性矩的惯性矩的惯性矩yzz0z15050150150350FF（2 2）外力简化，确定危险截面外力简化

15、，确定危险截面外力简化，确定危险截面外力简化，确定危险截面M 由轴力由轴力由轴力由轴力 F FN N产生的拉伸正应力为产生的拉伸正应力为产生的拉伸正应力为产生的拉伸正应力为 由弯矩由弯矩由弯矩由弯矩 MMy y产生的最大弯曲正应力为产生的最大弯曲正应力为产生的最大弯曲正应力为产生的最大弯曲正应力为拉拉F FFMM每一个截面受力相同都是危险截面每一个截面受力相同都是危险截面每一个截面受力相同都是危险截面每一个截面受力相同都是危险截面（3 3）确定危险点，建立强度条件）确定危险点，建立强度条件）确定危险点，建立强度条件）确定危险点，建立强度条件(Combined Deformation)(Comb

16、ined Deformation)危险点为截面的左右边缘上的点危险点为截面的左右边缘上的点危险点为截面的左右边缘上的点危险点为截面的左右边缘上的点 F F 45.1 45.1 kNkNyzz0z15050150150350FF拉拉压压 在截面外侧有最大压应力在截面外侧有最大压应力在截面外侧有最大压应力在截面外侧有最大压应力 F F 171.3 171.3 kNkN F F 45.1 45.1 kNkN所以取所以取所以取所以取(Combined Deformation)(Combined Deformation)例题例题例题例题2 2 矩形截面柱如图所示矩形截面柱如图所示矩形截面柱如图所示矩形截

17、面柱如图所示,F F1 1的作用线与杆轴线重合的作用线与杆轴线重合的作用线与杆轴线重合的作用线与杆轴线重合,F F2 2作用在作用在作用在作用在 y y 轴上轴上轴上轴上.已知已知已知已知:F F1 1=F F2 2=80kN,=80kN,b b=24cm,=24cm,h h=30cm.=30cm.如要使柱的如要使柱的如要使柱的如要使柱的 mm-mm 截面截面截面截面只出现压应力只出现压应力只出现压应力只出现压应力,求求求求F F2 2的偏心距的偏心距的偏心距的偏心距e e.yzebhF F1 1F F2 2mm(Combined Deformation)(Combined Deformati

18、on)解：解：解：解：（1 1）外力简化）外力简化）外力简化）外力简化 将力将力将力将力 F F2 2 向截面形心简化后向截面形心简化后向截面形心简化后向截面形心简化后,梁上的外力有梁上的外力有梁上的外力有梁上的外力有 轴向压力轴向压力轴向压力轴向压力 力偶矩力偶矩力偶矩力偶矩yzeb bh hF F1 1mmmmF F2 2MMz z（2 2）mm-mm 横截面上的内力有横截面上的内力有横截面上的内力有横截面上的内力有 轴力轴力轴力轴力 弯矩弯矩弯矩弯矩 轴力产生压应力轴力产生压应力轴力产生压应力轴力产生压应力 弯矩产生的最大正应力弯矩产生的最大正应力弯矩产生的最大正应力弯矩产生的最大正应力

19、（3 3 3 3）依题的要求）依题的要求）依题的要求）依题的要求,整个截面只有压应力整个截面只有压应力整个截面只有压应力整个截面只有压应力得得得得 因为只让求因为只让求因为只让求因为只让求mmmm截面，也可使用截面法计算横截面，也可使用截面法计算横截面，也可使用截面法计算横截面，也可使用截面法计算横截面上的内力值。截面上的内力值。截面上的内力值。截面上的内力值。(Combined Deformation)(Combined Deformation)8-3 偏心压缩偏心压缩 截面核心截面核心（Eccentric loads&the kern of a section）1.1.定义定义定义定义（D

20、efinitionDefinition）短柱上压力与轴线平行但不重合时短柱上压力与轴线平行但不重合时短柱上压力与轴线平行但不重合时短柱上压力与轴线平行但不重合时,即为偏即为偏即为偏即为偏心压缩心压缩心压缩心压缩O1yzF一、偏心压缩一、偏心压缩一、偏心压缩一、偏心压缩 （Eccentric loadsEccentric loads）A(yF,zF)(Combined Deformation)(Combined Deformation)x xy yz zF FeF F2.2.以横截面具有两对称轴的等直杆承受偏心压缩以横截面具有两对称轴的等直杆承受偏心压缩以横截面具有两对称轴的等直杆承受偏心压缩以

21、横截面具有两对称轴的等直杆承受偏心压缩 F F 为例为例为例为例 （1 1）将外力向截面形心简化）将外力向截面形心简化）将外力向截面形心简化）将外力向截面形心简化,使每个力（或力偶）只产生一种使每个力（或力偶）只产生一种使每个力（或力偶）只产生一种使每个力（或力偶）只产生一种基本变形形式基本变形形式基本变形形式基本变形形式O1yzA(yF,zF)FFeFe轴向拉力轴向拉力轴向拉力轴向拉力 F F力偶矩力偶矩力偶矩力偶矩 M=F eM=F e，将将将将 MM向向向向y y轴和轴和轴和轴和z z轴分解轴分解轴分解轴分解(Combined Deformation)(Combined Deformat

22、ion)F F 使杆发生拉伸变形使杆发生拉伸变形使杆发生拉伸变形使杆发生拉伸变形MMy y 使杆发生使杆发生使杆发生使杆发生xOzxOz平面内的弯平面内的弯平面内的弯平面内的弯曲变形（曲变形（曲变形（曲变形（y y 为中性轴）为中性轴）为中性轴）为中性轴）MMz z 使杆发生使杆发生使杆发生使杆发生 xOyxOy 平面内的弯平面内的弯平面内的弯平面内的弯曲变形（曲变形（曲变形（曲变形（z z 为中性轴）为中性轴）为中性轴）为中性轴）yzO1FxMMy yMMz z若杆件横截面不存在两个对称轴若杆件横截面不存在两个对称轴若杆件横截面不存在两个对称轴若杆件横截面不存在两个对称轴,则应该找到两个形心

23、主惯性轴则应该找到两个形心主惯性轴则应该找到两个形心主惯性轴则应该找到两个形心主惯性轴(Combined Deformation)(Combined Deformation)二、任意横截面二、任意横截面二、任意横截面二、任意横截面n n-n n上的内力分析上的内力分析上的内力分析上的内力分析（Analysis of internal Analysis of internal force on any cross section force on any cross section n-nn-n）轴力轴力轴力轴力 F FN N=F FyzMyMzF FN N弯矩弯矩弯矩弯矩yzO1FxMMy y

24、MMz z(Combined Deformation)(Combined Deformation)yzMyMzF FN N三、任意横截面三、任意横截面三、任意横截面三、任意横截面 n n-n n 上上上上C C 点的应力分析点的应力分析点的应力分析点的应力分析（Stress analysis at point Stress analysis at point C C on cross section on cross section n n-n n）由由由由 F F产生的正应力产生的正应力产生的正应力产生的正应力由由由由 MMy y 产生的正应力产生的正应力产生的正应力产生的正应力由由由由 M

25、Mz z 产生的正应力产生的正应力产生的正应力产生的正应力(y,z)C(Combined Deformation)(Combined Deformation)由叠加原理由叠加原理由叠加原理由叠加原理,得得得得 C C点处的正应力为点处的正应力为点处的正应力为点处的正应力为 式中式中式中式中 A A为横截面面积为横截面面积为横截面面积为横截面面积;I Iy y ,I Iz z 分别为横截面对分别为横截面对分别为横截面对分别为横截面对 y y 轴和轴和轴和轴和 z z 轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩;（z zF F，y yF F ）为为为为力力力力 F F 作用点的坐标作用点的坐标作用点

26、的坐标作用点的坐标;（z z，y y）为所）为所）为所）为所求应力点的坐标求应力点的坐标求应力点的坐标求应力点的坐标.yzMyMzF FN N(y,z)C(Combined Deformation)(Combined Deformation)上式是一个平面方程上式是一个平面方程上式是一个平面方程上式是一个平面方程.应力平面与横截面的交线（直线应力平面与横截面的交线（直线应力平面与横截面的交线（直线应力平面与横截面的交线（直线 =0 0 0 0）就是中性轴）就是中性轴）就是中性轴）就是中性轴.四、中性轴的位置四、中性轴的位置四、中性轴的位置四、中性轴的位置（The location of neu

27、tral axisThe location of neutral axis）(Combined Deformation)(Combined Deformation)令令令令 y y0 0,z z0 0 代表中性轴上任一点的坐标代表中性轴上任一点的坐标代表中性轴上任一点的坐标代表中性轴上任一点的坐标,即得中性轴方即得中性轴方即得中性轴方即得中性轴方程程程程讨论讨论讨论讨论（1 1）在偏心拉伸）在偏心拉伸）在偏心拉伸）在偏心拉伸 (压缩压缩压缩压缩)情况下情况下情况下情况下,中性轴是一条不通过截面形心的直线中性轴是一条不通过截面形心的直线中性轴是一条不通过截面形心的直线中性轴是一条不通过截面形心的

28、直线Oz中性轴中性轴y y(Combined Deformation)(Combined Deformation)y yz z中性轴中性轴O O（2 2）用用用用 a ay y和和和和 a az z 记中性轴在记中性轴在记中性轴在记中性轴在 y,zy,z 两轴上的截距两轴上的截距两轴上的截距两轴上的截距,则有则有则有则有(yF ,zF)a aya az（3 3）中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧）中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧）中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧）中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧(Combined Deformation)(Comb

29、ined Deformation)y yOz z中性轴中性轴外力作用点外力作用点y yz z中性轴中性轴（4 4 4 4）中性轴将横截面上的应力区域分为拉伸区和压缩区中性轴将横截面上的应力区域分为拉伸区和压缩区中性轴将横截面上的应力区域分为拉伸区和压缩区中性轴将横截面上的应力区域分为拉伸区和压缩区 横截面上最大拉应力和最大压应力分别为横截面上最大拉应力和最大压应力分别为横截面上最大拉应力和最大压应力分别为横截面上最大拉应力和最大压应力分别为D D1 1,D D2 2 两切点两切点两切点两切点D D1(y y1,z z1)D D2(y y2,z z2)(Combined Deformation)

30、(Combined Deformation)(a)(b)(c)yyzz（5 5）对于周边具有棱角的截面）对于周边具有棱角的截面）对于周边具有棱角的截面）对于周边具有棱角的截面,其危险点必定在截面的棱角处其危险点必定在截面的棱角处其危险点必定在截面的棱角处其危险点必定在截面的棱角处,并可根据杆件的变形来确定并可根据杆件的变形来确定并可根据杆件的变形来确定并可根据杆件的变形来确定F/AF/AyzFyF/WzFzF/Wy 最大拉应力最大拉应力最大拉应力最大拉应力 tmaxtmax 和最大压应力和最大压应力和最大压应力和最大压应力 cmincmin 分分分分别在截面的棱角别在截面的棱角别在截面的棱角别

31、在截面的棱角 D D1 1 D D2 2 处处处处.无需先确定中性轴的位置无需先确定中性轴的位置无需先确定中性轴的位置无需先确定中性轴的位置,直接观察确定危险点的位置即可直接观察确定危险点的位置即可直接观察确定危险点的位置即可直接观察确定危险点的位置即可由于危险点处仍为单向应力状态由于危险点处仍为单向应力状态由于危险点处仍为单向应力状态由于危险点处仍为单向应力状态,因此因此因此因此,求得最大正应力后求得最大正应力后求得最大正应力后求得最大正应力后,建立的强度条件为建立的强度条件为建立的强度条件为建立的强度条件为(Combined Deformation)(Combined Deformatio

32、n)y yz z五、截面核心五、截面核心五、截面核心五、截面核心（The kern of a sectionThe kern of a section）中性轴中性轴（y yF F，z zF F）为外力作用点的坐标为外力作用点的坐标为外力作用点的坐标为外力作用点的坐标a ay y,a az z为中性轴在为中性轴在为中性轴在为中性轴在y y轴和轴和轴和轴和z z轴上的截距轴上的截距轴上的截距轴上的截距(yF,zF)当中性轴与图形相切或远离图当中性轴与图形相切或远离图当中性轴与图形相切或远离图当中性轴与图形相切或远离图形时形时形时形时,整个图形上将只有压应力整个图形上将只有压应力整个图形上将只有压应

33、力整个图形上将只有压应力(Combined Deformation)(Combined Deformation)y yz z中性轴中性轴yz中性轴中性轴中性轴中性轴y yz z(yF,zF)(yF,zF)(yF,zF)(Combined Deformation)(Combined Deformation)y yz z截面核心截面核心1 1.定义定义定义定义（DefinitionDefinition）当外力作用点位于包括截面形心的一个区域当外力作用点位于包括截面形心的一个区域当外力作用点位于包括截面形心的一个区域当外力作用点位于包括截面形心的一个区域内时内时内时内时,就可以保证中性轴不穿过横截面

34、（整个截面上只有压应力）就可以保证中性轴不穿过横截面（整个截面上只有压应力）就可以保证中性轴不穿过横截面（整个截面上只有压应力）就可以保证中性轴不穿过横截面（整个截面上只有压应力）,这个区域就称为这个区域就称为这个区域就称为这个区域就称为截面核心截面核心截面核心截面核心 （the kern of a sectionthe kern of a section）(Combined Deformation)(Combined Deformation)yz z 当外力作用在截面核心的边当外力作用在截面核心的边当外力作用在截面核心的边当外力作用在截面核心的边界上时界上时界上时界上时,与此相应的中性轴正与

35、此相应的中性轴正与此相应的中性轴正与此相应的中性轴正好与截面的周边相切好与截面的周边相切好与截面的周边相切好与截面的周边相切.截面核截面核截面核截面核心心心心的边界就由此关系确定的边界就由此关系确定的边界就由此关系确定的边界就由此关系确定.中性轴中性轴2.2.2.2.截面核心的确定截面核心的确定截面核心的确定截面核心的确定（Determine the kern of a sectionDetermine the kern of a section）(yF,zF)截面核心截面核心(Combined Deformation)(Combined Deformation)例例例例5 5 求圆形截面的截

36、面核心求圆形截面的截面核心求圆形截面的截面核心求圆形截面的截面核心y yz zOdA 解解解解:（）（）（）（）作切线作切线作切线作切线 为中性轴为中性轴为中性轴为中性轴 ,在两个形心主惯性轴上的截距分别为在两个形心主惯性轴上的截距分别为在两个形心主惯性轴上的截距分别为在两个形心主惯性轴上的截距分别为 圆截面的惯性半径圆截面的惯性半径圆截面的惯性半径圆截面的惯性半径1d/8（）由于圆截面对于圆心（）由于圆截面对于圆心（）由于圆截面对于圆心（）由于圆截面对于圆心O O是对称的是对称的是对称的是对称的,因而因而因而因而,截面核心的边界对截面核心的边界对截面核心的边界对截面核心的边界对于圆也应是对称

37、的于圆也应是对称的于圆也应是对称的于圆也应是对称的,从而可知从而可知从而可知从而可知,截面核心边界是一个以截面核心边界是一个以截面核心边界是一个以截面核心边界是一个以O O为圆心为圆心为圆心为圆心,以以以以d d/8/8/8/8为半径的圆为半径的圆为半径的圆为半径的圆(Combined Deformation)(Combined Deformation)h hbA ABCDyzO解解解解:作切线作切线作切线作切线 为中性轴，为中性轴，为中性轴，为中性轴，得两截距分别为得两截距分别为得两截距分别为得两截距分别为 矩形截面的矩形截面的矩形截面的矩形截面的1例例例例6 6 求矩形截面的截面核心求矩形

38、截面的截面核心求矩形截面的截面核心求矩形截面的截面核心(Combined Deformation)(Combined Deformation)h hb bA ABC CD Dy yz zO1234（2 2）同理）同理）同理）同理,分别作切线分别作切线分别作切线分别作切线 、，可求得对应的核心边界上点的坐标可求得对应的核心边界上点的坐标可求得对应的核心边界上点的坐标可求得对应的核心边界上点的坐标依次为依次为依次为依次为（3 3）矩形截面核心形状分析）矩形截面核心形状分析）矩形截面核心形状分析）矩形截面核心形状分析 直线直线直线直线绕顶点绕顶点绕顶点绕顶点B B旋转到直线旋转到直线旋转到直线旋转到

39、直线时时时时,将得到一系列通过将得到一系列通过将得到一系列通过将得到一系列通过 B B点但斜点但斜点但斜点但斜率不同的中性轴率不同的中性轴率不同的中性轴率不同的中性轴,而而而而 B B点坐标点坐标点坐标点坐标 y yB B ,z zB B 是这一系列中性轴上所共有是这一系列中性轴上所共有是这一系列中性轴上所共有是这一系列中性轴上所共有的的的的.(Combined Deformation)(Combined Deformation)hbABCDyzO2341 这些中性轴方程为这些中性轴方程为这些中性轴方程为这些中性轴方程为上式可以看作是表示外力作用点上式可以看作是表示外力作用点上式可以看作是表示

40、外力作用点上式可以看作是表示外力作用点坐标间关系的直线方程坐标间关系的直线方程坐标间关系的直线方程坐标间关系的直线方程.故外力作用点移动的轨迹是直线故外力作用点移动的轨迹是直线故外力作用点移动的轨迹是直线故外力作用点移动的轨迹是直线.(Combined Deformation)(Combined Deformation)（a a）对于具有棱角的截面）对于具有棱角的截面）对于具有棱角的截面）对于具有棱角的截面,均可按上述方法确定截面核心均可按上述方法确定截面核心均可按上述方法确定截面核心均可按上述方法确定截面核心 （b b）对于周边有凹进）对于周边有凹进）对于周边有凹进）对于周边有凹进 部分的截

41、面部分的截面部分的截面部分的截面,不能取与凹进部分的周边不能取与凹进部分的周边不能取与凹进部分的周边不能取与凹进部分的周边相切的直线作为中性相切的直线作为中性相切的直线作为中性相切的直线作为中性 轴轴轴轴,因为这种直线穿过因为这种直线穿过因为这种直线穿过因为这种直线穿过 横截面横截面横截面横截面.（4 4）讨论）讨论）讨论）讨论 （discussiondiscussion）ABCDEabdzyec(Combined Deformation)(Combined Deformation)8.4 8.4 两相互垂直平面内的弯曲两相互垂直平面内的弯曲所有外力都作用在同一平面内，所有外力都作用在同一平面

42、内，所有外力都作用在同一平面内，所有外力都作用在同一平面内，但是这一平面不是对称面。但是这一平面不是对称面。但是这一平面不是对称面。但是这一平面不是对称面。所有外力都作用在对称面，但所有外力都作用在对称面，但所有外力都作用在对称面，但所有外力都作用在对称面，但不是在同一对称面内。不是在同一对称面内。不是在同一对称面内。不是在同一对称面内。梁也会梁也会梁也会梁也会产生弯曲，但不是平面弯曲，这种弯曲称为产生弯曲，但不是平面弯曲，这种弯曲称为产生弯曲，但不是平面弯曲，这种弯曲称为产生弯曲，但不是平面弯曲，这种弯曲称为斜弯曲。斜弯曲。斜弯曲。斜弯曲。(Combined Deformation)(Com

43、bined Deformation)B BA Ay yz zx xFyFzF F试分析如图所示梁的弯曲情况试分析如图所示梁的弯曲情况试分析如图所示梁的弯曲情况试分析如图所示梁的弯曲情况(Combined Deformation)(Combined Deformation)1.1.分析方法分析方法分析方法分析方法 (Analysis method for unsymmetrical bending)(Analysis method for unsymmetrical bending)（2 2 2 2）.叠加叠加叠加叠加(Superposition)(Superposition)对两个平面弯曲进行

44、研究，然后将计算结果叠加起来对两个平面弯曲进行研究，然后将计算结果叠加起来对两个平面弯曲进行研究，然后将计算结果叠加起来对两个平面弯曲进行研究，然后将计算结果叠加起来FzF Fy yy yz zF B BA Ay yz zx xFyFzF F（1 1）.分解分解分解分解(Resolution)(Resolution)将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲(Combined Deformation

45、)(Combined Deformation)梁在垂直纵向对梁在垂直纵向对梁在垂直纵向对梁在垂直纵向对称面称面称面称面 xyxy 面内发面内发面内发面内发生平面弯曲生平面弯曲生平面弯曲生平面弯曲 。z z轴为中性轴轴为中性轴轴为中性轴轴为中性轴yxz挠曲线挠曲线梁的轴线梁的轴线对称轴对称轴垂直纵向对称面垂直纵向对称面(Combined Deformation)(Combined Deformation)xyz梁的轴线梁的轴线对称轴对称轴水平纵向对称面水平纵向对称面 梁在水平纵向对称面梁在水平纵向对称面梁在水平纵向对称面梁在水平纵向对称面 xzxz 平面内平面内平面内平面内弯曲，弯曲，弯曲，弯曲

46、，y y 轴为中性轴。轴为中性轴。轴为中性轴。轴为中性轴。挠曲线挠曲线(Combined Deformation)(Combined Deformation)2.2.梁内任意横截面上的内力分析梁内任意横截面上的内力分析梁内任意横截面上的内力分析梁内任意横截面上的内力分析 (Analysis of internal force on any cross section)(Analysis of internal force on any cross section)B BA AFyFzy yz zx xx xMMy y =F Fz z x=x=FxFxsinsin (使梁在使梁在使梁在使梁在xz

47、xz平面内弯曲，平面内弯曲，平面内弯曲，平面内弯曲，y y为中性轴为中性轴为中性轴为中性轴)MMz z =F Fy y x x=FxFxcoscos (使梁在使梁在使梁在使梁在 xyxy 平面内弯曲，平面内弯曲，平面内弯曲，平面内弯曲，z z 为中性轴为中性轴为中性轴为中性轴)mmmmmmzyMyxMz(Combined Deformation)(Combined Deformation)3 3 3 3、横截面上的应力分析、横截面上的应力分析、横截面上的应力分析、横截面上的应力分析（Stress analysis of cross Stress analysis of cross sectio

48、ns)sections)(Combined Deformation)(Combined Deformation)3 3 3 3、横截面上的应力分析、横截面上的应力分析、横截面上的应力分析、横截面上的应力分析（Stress analysis of cross Stress analysis of cross sections)sections)mmzyMyxMz1.1.与与与与 MMy y 相应的正应力为相应的正应力为相应的正应力为相应的正应力为(The bending normal(The bending normal stress corresponding to stress corres

49、ponding to MMy y)2.2.与与与与 MMz z 相应的正应力为相应的正应力为相应的正应力为相应的正应力为(The bending normal(The bending normal stress corresponding to stress corresponding to MMz z)C C 点处的正应力点处的正应力点处的正应力点处的正应力(The normal stress at point(The normal stress at point C C)C(y,z)(Combined Deformation)(Combined Deformation)4 4 4 4、横截

50、面上中性轴的位置、横截面上中性轴的位置、横截面上中性轴的位置、横截面上中性轴的位置(Location of neutral(Location of neutral axis on cross section)axis on cross section)中性轴上的正应力为中性轴上的正应力为中性轴上的正应力为中性轴上的正应力为零零零零假设假设假设假设点点点点 e(z0,y0)为中性轴上任意一点为中性轴上任意一点为中性轴上任意一点为中性轴上任意一点zyxMMzOe(z0,y0)中性轴方程为中性轴方程为中性轴方程为中性轴方程为中性轴是一条通过横截面形心的直线中性轴是一条通过横截面形心的直线中性轴是一条