建筑力学第16章教学课件.ppt

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1、建筑力学第16章教学课件 建 筑 力 学CONTENTS目 录位移法的基本原理位移法基本未知量与基本结构等截面直杆的转角位移方程16.116.216.3第16章 位移法计算超静定结构的内力位移法典型方程与计算步骤16.4位移法计算示例直接利用平衡条件建立位移法方程16.516.6PART16.1位移法的基本原理16.1 位移法的基本原理位移法的计算对象是由等截面直杆组成的杆系结构，如刚架、连续梁。在计算中，认为结构仍然符合小变形假定。位移法的假设如下：（1）各杆端之间的轴向长度在变形后保持不变。（2）刚性结点所联各杆端的截面转角相同。结构的内力与位移之间具有恒定的关系。位移法以结点位移作为基本

2、未知量，首先设法求出结点位移，再根据结点位移反求杆端内力，由杆端内力绘出超静定结构的内力图。16.1 位移法的基本原理图16-1（a）所示的超静定刚架在荷载作用下发生了如图中虚线所示的变形，B为刚结点，汇交于该结点的AB、BC杆的杆端应具有相同的转角即角位移B。当忽略了刚架轴向变形的影响时，AB、BC两杆的长度保持不变。图图16-1 16-1 位移法位移法16.1 位移法的基本原理结点B处无水平和竖向位移产生，只在结点B处发生角位移B。在刚架中，AB杆和BC杆均可看作是两端固定的单跨超静定梁，如图16-1（b）、（c）所示。单跨超静定梁应用力法可建立杆端内力如MBA、MBC等与荷载P及B的关系

3、式，而为了求出关系式中的B，可取结点为隔离体，由结点的平衡条件得 MB=0，MBA+MBC=016.1 位移法的基本原理将上述两式代入杆端弯矩与P、B的关系式中，解方程即可求出角位移B。此时，杆端弯矩值全部求出，即可画出弯矩图。由此可知，计算该刚架时，若把刚结点B的角位移B作为基本未知量并设法求出，各杆的内力将也随之求出。由此知位移法求超静定结构的基本思路如下：（1）确定位移法的基本未知量。（2）计算单跨超静定梁在杆端发生各种位移及在各种荷载作用下的内力。（3）在各种不同受力情况下，利用平衡条件求解结点位移的方程。PART16.2位移法基本未知量与基本结构16.2.1 基本未知量 在位移法中，

4、结构上刚性结点细结点角位移和独立的结点线位移可作为基本未知量。16.2.1 基本未知量 1.结点角位移结点角位移的数目等于刚结点的数目。因为在同一刚结点处，各杆端的转角都相等，所以每一个刚结点只有一个角位移未知数。对于铰结点或铰支座处各杆端的转角，因为不独立，所以不被选作基本未知量。例如，图16-2所示刚架有一个刚结点1，因此其独立角位移数目为1；图图16-2 16-2 刚架结点刚架结点16.2.1 基本未知量而其他结点的杆端角位移不独立，因此不选作基本未知数。又如图16-3所示刚架有四个角位移未知数，即1、2、3和4。图图16-3 16-3 刚架角位移刚架角位移16.2.1 基本未知量 2.

5、结点线位移确定独立的结点线位移数目时，忽略受弯杆件的轴向变形且弯曲变形也很小，这是因为各结点的线位移并不都是独立的。如图16-4(a)所示的刚架，其横梁上的三个结点D、E、F的竖向线位移均为零，水平线位移相等，即只要求出其中某一结点的线位移，其他两个结点的线位移就为已知，因此这三个结点只有一个独立线位移。图图16-4 16-4 刚架刚架1 116.2.1 基本未知量常用的判断独立线位移数目的方法为铰化结点法。首先，设想将结构各刚结点(包括固端支座)都变成铰结点，使整个结构变成一个完全的铰接体系；然后判断此铰接体系是否几何可变。如果此铰接体系为几何不变体系，则说明原结构没有独立的结点线位移；反之

6、，如果铰接体系为几何可变体系(包括瞬变体系)，则需添加链杆约束，使其成为几何不变体系。所需添加的链杆数目就是原结构的独立线位移数目。16.2.1 基本未知量例如，图16-4(a)所示的刚架，把所有刚性结点都变成铰接后，可以判断此铰接体系是具有一个自由度的几何可变体系，因此应在F点添加一水平链杆，使此铰接体系恢复几何不变，如图16-4(b)所示，故原结构具有一个独立线位移。又如图16-5(a)所示的单跨两层刚架，其变成完全铰接体系后，必须添加两根链杆才能恢复几何不变，如图16-5(b)所示，故原结构具有两个独立线位移。图图16-5 16-5 单跨刚架单跨刚架16.2.2 基本结构位移法是以单跨超

7、静定梁作为计算单元。为了将原结构的各杆变成单跨超静定梁，在每个刚结点上加上附加刚臂，以控制结点的转动(但不能控制其移动)；同时，在每个产生独立结点线位移的结点上沿位移的方向加上附加杆件，以控制结点的移动(但不能控制其转动)。这样，就得到一个由若干单跨超静定梁组成的组合体，这一组合体称为原结构位移法计算时的基本结构，而附加刚臂和附加杆件统称为附加约束。16.2.2 基本结构如图16-6(a)所示的刚架，在刚结点2处加上附加刚臂，并在结点3处加上一根水平附加杆件，得到的基本结构如图16-6(b)所示。这样，原刚架就变成一个由三个单跨超静定梁所组成的组合体。其中梁1、2为两端固定，梁2、3和梁3、4

8、均为一端固定一端铰支，它们在各种不同情况下的杆端弯矩和剪力均可由等截面直杆杆端弯矩和剪力表查得。图图16-6 16-6 刚架刚架2 216.2.2 基本结构又如图16-7(a)所示的刚架，其刚结点数目为7，独立结点线位移数目为3，共有10个基本未知数。其基本结构如图16-7(b)所示。图图16-7 16-7 刚架刚架3 3PART16.3等截面直杆的转角位移方程16.3 等截面直杆的转角位移方程 1.位移法基本变形假定为简化位移法的计算并减小误差，通常做如下假设：(1)结构的变形是微小的。(2)忽略杆件的轴向变形和剪切变形，即各杆端之间的轴向长度尺寸在变形后保持不变。(3)结点线位移的弧线可用

9、垂直于杆件的切线来代替。16.3 等截面直杆的转角位移方程 2.内力的正负规定位移法中对杆端弯矩和杆端位移正负号做如下规定：杆端弯矩对杆端而言以顺时针转向为正(对结点或支座而言，则以逆时针转向为正)；杆端转角以顺时针转动为正；杆件两端在垂直于杆轴方向上的相对线位移(也称侧移)以使整个杆件顺时针转动为正。图16-8所示的杆端弯矩MBA、杆端转角A及均为正，而MAB、B为负。图图16-8 16-8 内力的正负规定用图内力的正负规定用图16.3 等截面直杆的转角位移方程 3.转角位移方程位移法是以单跨超静定梁作为计算单元的，单跨超静定梁的支撑情况一般可以分为三种，即两端固定、一端固定而另一端铰支，以

10、及一端固定而另一端滑动支座，如图16-9所示。图图16-9 16-9 单跨静定梁的支撑情况单跨静定梁的支撑情况16.3 等截面直杆的转角位移方程一般情况下，当把结构分解为单跨梁时，对于拆开的单根梁，结构的结点位移就是梁的支座位移，即杆端位移。在位移法中，经常需要用到这些超静定梁在荷载、支座位移情况下的杆端弯矩和剪力，杆端弯矩和剪力可用力法分别求出。下表给出了一些常用的单跨超静定梁发生不同支座位移及承受不同荷载作用时的杆端内力的计算式。16.3 等截面直杆的转角位移方程16.3 等截面直杆的转角位移方程16.3 等截面直杆的转角位移方程16.3 等截面直杆的转角位移方程PART16.4位移法典型

11、方程与计算步骤16.4.1 位移法典型方程下面以图16-10(a)所示的刚架为例说明通过基本结构来建立位移法方程的方法。图图16-10 16-10 位移法典型方程推导用图位移法典型方程推导用图(a)(a)原结构原结构(b)(b)基本结构基本结构(c)(c)荷载在荷载在基本结构上基本结构上(d)(d)结点结点B B有有Z Z1 1产生产生(e)(e)结点结点B B有有Z Z2 2产生产生(f)(f)结点结点B B有有Z Z1 1=1=1产生产生(g)(g)结结点点B B有有Z Z2 2=1=1产生产生16.4.1 位移法典型方程如图16-10（a）所示，该刚架有一个结点角位移Z1，即结点B的转角

12、，还有一个独立的结点线位移Z2，即结点B(或A、C)的水平位移，共两个基本未知数。在结点B处加附加刚臂，在结点C处(或A)加一水平附加杆件，得基本结构如图16-10(b)所示。16.4.1 位移法典型方程基本结构中，由于附加刚臂和附加杆件限制了结点B的转动和结点C的移动，因此在荷载作用下附加刚臂上产生了反力矩R1P，附加杆件上产生了反力R2P，如图16-10(c)所示；当结点B产生转角Z1时，在附加刚臂上产生了反力矩R11，附加杆件上产生了反力R21，如图16-10(d)所示；当结点B移动Z2时，在附加刚臂上产生反力矩R12，附加杆件上产生反力R22，如图16-10(e)所示。这样，图16-1

13、0(a)所示的状态可看成是由图16-10(c)、(d)、(e)三图叠加而得。设该刚架中附加刚臂上的总反力矩为R1，附加杆件上的总反力为R2，则有16.4.1 位移法典型方程又因原结构并无附加刚臂和水平附加杆件，故应有R1=0及R2=0，由此可得位移法的基本方程为 (16-1)式中，各Rik表示在附加约束上产生的反力(或反力矩)，第一个下标表示发生反力(或反力矩)的位置，第二个下标表示产生此反力(或反力矩)的原因。例如，R11为基本结构由于附加刚臂B发生角位移Z1而在附加刚臂B上引起的反力矩；R12为基本结构由于附加杆件C发生线位移Z2而在附加刚臂B处引起的反力矩；R1P为基本结构由于荷载作用而

14、在附加刚臂B处引起的反力矩。R21、R22及R2P的意义可以类推，但应注意到它们都是附加杆件上的反力。16.4.1 位移法典型方程为使用方便，利用叠加原理，将由于Z1和Z2所引起的反力(或反力矩)分解为式中，r11为基本结构上当Z1=1时在附加刚臂B处引起的反力矩，如图16-10(f)所示；r12为基本结构上当Z2=1时在附加刚臂B处引起的反力矩，如图16-10(g)所示。r21和r22的意义可类推，但它们是附加杆件上的反力。利用式(16-2)即可求出基本未知数Z1和Z2。将各R值代入式(16-1)得 (16-2)16.4.1 位移法典型方程对于具有n个基本未知数的结构，位移法的基本方程可写成

15、式中，Z是结点的广义位移，可以是线位移或角位移。式(16-3)中系数可分为两大类：一类是位于主对角线(自左上方的r11至右下方的rnn)上的系数rii，称为主系数，恒大于零；另一类是位于主对角线以外的系数rik(ik)，称为副系数，可为正，可为负，也可为零。由反力互等定理可知rik=rki。除了系数外，还有自由项RiP，它表示荷载单独作用在基本结构上时，在附加约束i上产生的反力或反力矩，可为正，可为负，也可为零。(16-3)16.4.1 位移法典型方程位移法的方程组与力法典型方程组相似，是按一定规则写出的，具有副系数互等的关系，且不管结构的形式如何，只要具有n个基本位移未知数，位移法方程就有统

16、一的形式，故称为位移法的典型方程。它的物理意义是：原结构无附加约束存在，因此基本结构在荷载等外因和各结点位移的共同影响下所产生的附加约束的约束反力(反力或反力矩)的总和为零。16.4.2 位移法计算步骤综上所述，用位移法典型方程求解超静定结构的步骤可归纳如下：(1)确定基本未知量和基本结构。(2)建立位移法典型方程。(3)利用等截面直杆杆端弯矩和剪力表分别绘制基本结构的单位弯矩图和荷载弯矩图，由静力平衡方程求出各系数和自由项。(4)将求出的各系数和自由项代入典型方程中，求出基本未知量。(5)由M=MiZi+MP叠加计算结构各杆端弯矩，绘制出最终弯矩图；利用平衡求杆端剪力和轴力，作出剪力图和轴力

17、图。(6)校核。PART16.5位移法计算示例16.5 位移法计算示例 1.无侧移结构的计算 只有结点角位移而无结点线位移的结构称为无侧移结构。连续梁和无侧移刚架等属于此类。16.5 位移法计算示例【例例16-116-1】图图16-11 16-11 【例【例16-116-1】图】图(a)(a)刚架刚架(b)(b)结点结点B(c)MB(c)M图图(单位：单位：kNkNm)(d)Fm)(d)FS S图图(单位：单位：kN)(e)FkN)(e)FN N图图(单位：单位：kN)kN)16.5 位移法计算示例【解】(1)确定基本未知量。此刚架有一个结点角位移B，即结点B的转角，而无结点线位移。(2)利用

18、转角位移方程，写出各杆端弯矩表达式。杆AB：MAB=0杆BC：MBC=43B=12BMCB=23B=6B杆BD：MBD=3B，MDB=-3B(3)建立位移法方程。对结点B，如图16-18(b)所示，由MB（F）=0，得MBA+MBC+MBD=016.5 位移法计算示例16.5 位移法计算示例(5)作内力图。根据各杆端弯矩值作M图，如图16-18(c)所示。作出M图后，FS和FN即可由平衡条件求出，根据结果绘制FS图和FN图，如图16-18(d)、(e)所示。16.5 位移法计算示例 2.有侧移结构的计算全部结点或部分结点具有线位移的结构称为有侧移结构。与无侧移结构相比，有侧移结构在计算的基本思

19、路上并没有不同，仅须注意两点：基本未知数中应包含结点的独立线位移；在建立位移法方程时，除了考虑刚结点的平衡条件外(力矩平衡)，还要考虑与结点线位移对应的截面平衡条件(投影平衡)。16.5 位移法计算示例【例例16-216-2】图图16-12 16-12 【例【例16-216-2】图】图16.5 位移法计算示例【解】(1)确定基本未知量。此刚架有一个结点角位移A，即结点A 的转角，一个独立的结点线位移AC=，即结点A的水平线位移。16.5 位移法计算示例16.5 位移法计算示例PART16.6直接利用平衡条件建立位移法方程16.6 直接利用平衡条件建立位移法方程一般来说，位移法方程都是根据平衡方

20、程得出的。基本未知量中每一个结点转角都有一个相应的刚结点力矩平衡方程，每一个独立的结点线位移都有一个相应的截面投影平衡方程，平衡方程数与基本未知量的数目彼此相等，因而可解出全部基本未知量。16.6 直接利用平衡条件建立位移法方程【例例16-316-3】图图16-13 16-13 【例【例16-316-3】图】图16.6 直接利用平衡条件建立位移法方程【解】(1)判断结构的未知量个数。在图16-13所示的刚架中，四个结点中只有C结点是独立的，其余三个都不独立；三个杆件中只有AC、BD有侧移且都等于。因此图16-13(a)所示刚架的未知量是刚结点C的转角C和CD两结点的线位移两个独立的未知量。16.6 直接利用平衡条件建立位移法方程16.6 直接利用平衡条件建立位移法方程(4)联立求解式，可解出C和。将所得C、值代入杆端内力方程，可算出各杆端的弯矩、剪力值。根据求出的各杆端弯矩、剪力值即可作出刚架的弯矩、剪力图。THANKS