建筑力学第4章教学课件.ppt

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1、建筑力学第4章教学课件 建 筑 力 学CONTENTS目 录构件截面的静距与形心惯性距、惯性半径和极惯性距平行移轴公式及其计算4.14.24.3第4章 构件截面的几何性质PART4.1构件截面的静矩与形心 设任意形状的截面图形如图4-1所示，其面积为A。y轴和z轴为截面所在平面内选取的坐标轴。在坐标（z，y）处取一微面积dA，微面积与其到坐标轴距离的乘积YdA，称为微面积对z轴的静矩；ZdA称为微面积对y轴的静矩。整个图形上微面积dA与它到z轴（或y轴）距离乘积的总和称为截面对z轴（或y轴）的静矩。即Sz=A ydA，Sy=A zdA4.1.1 截面的静矩与形心的关系图图4-1 4-1 任意形

2、状的截面图形任意形状的截面图形 截面的静矩是对某一坐标轴而言的，同一截面图形对不同轴的静矩不同。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能为零。静矩的量纲单位为m3或mm3。图形几何形状的中心称为形心，形心到坐标轴的距离称为形心坐标。所有过形心的坐标轴均可称为形心轴。4.1.1 截面的静矩与形心的关系 如图4-1所示，C为截面的形心，其坐标为（z C，y C），在静力学中，利用合力矩定理建立了截面形心的计算公式，将截面视为均质薄板，其重心与形心重合，可以用求薄板重心的方法求截面的形心坐标。则截面形心的坐标计算公式为 即截面对某一坐标轴的静矩等于截面面积乘以形心坐标。若截面对于某轴的静矩等于零，则该轴

3、一定为形心轴；反之，截面对形心轴的静矩必为零。4.1.1 截面的静矩与形心的关系4.1.2 组合图形的形心位置坐标 由若干个简单图形（如矩形、圆形等）组合而成的图形称为组合图形。由静矩的定义可知，组合截面对某轴的静矩等于各组成部分的简单图形对同一轴静矩的代数和，即 （4-4）式中，Ai、yCi、zCi 分别为各简单图形的面积和形心坐标；n为组合图形中简单图形的个数。将式（4-4）代入式（4-3），得组合截面形心坐标的计算公式为4.1.2 组合图形的形心位置坐标【例例4-14-1】图图4-2 4-2【例例4-14-1】图图4.1.2 组合图形的形心位置坐标【例例4-24-2】图图4-3 4-3【

4、例例4-24-2】图图4.1.2 组合图形的形心位置坐标【例例4-24-2】4.1.2 组合图形的形心位置坐标【例例4-24-2】4.1.2 组合图形的形心位置坐标PART4.2惯性矩、惯性半径、惯性积和极惯性矩4.2.1 构件截面的惯性矩及其计算 设面积为A的任意形状截面及其平面内的坐标系，如图4-4所示。在坐标为（z，y）处取微面积dA，dA与其两个坐标平方的乘积，即 dIz=y2dA，dIy=z2dA 分别称为该微面积dA对z轴和y轴的惯性矩，其积分分别为Iz=Ay2dA，Iy=Az2dA（4-6）Iz、Iy分别称为整个截面对z轴和y轴的惯性矩。图图4-4 4-4 惯性矩惯性矩惯性矩是对

5、坐标轴而言的，同一截面对于不同的坐标轴有不同的惯性矩，由式（4-6）可知，惯性矩恒为正值，其量纲单位为m4或mm4。简单图形的惯性矩可直接由式（4-6）通过积分求得。4.2.1 构件截面的惯性矩及其计算【例例4-34-3】图图4-5 4-5 【例例4-34-3】图图(a)(a)矩形截面钢材矩形截面钢材(b)(b)矩形截面尺寸矩形截面尺寸4.2.1 构件截面的惯性矩及其计算【例例4-34-3】4.2.1 构件截面的惯性矩及其计算【例例4-44-4】4.2.1 构件截面的惯性矩及其计算 因为圆形截面的每一个直径轴都是对称轴，所以它对每一个直径轴的惯性矩均为 。当一个平面图形由若干个简单图形组成时，

6、根据惯性矩的定义，可先算出每一个简单图形对同一个轴的惯性矩，然后求其总和，即可得出整个图形对于同一个轴的惯性矩。其计算式为 （4-7）4.2.1 构件截面的惯性矩及其计算 例如，对图4-7（a）所示的空心圆钢材，在计算截面对其形心轴的惯性矩时，可以把空心圆看成是由直径为D的实心圆减去直径为d的圆得到的，如图4-7（b）所示。由式（4-7）即可求得图图4-7 4-7 空心圆钢材及其截面空心圆钢材及其截面(a)(a)空心圆钢材空心圆钢材(b)(b)空心圆截面空心圆截面4.2.1 构件截面的惯性矩及其计算4.2.1 构件截面的惯性矩及其计算4.2.1 构件截面的惯性矩及其计算4.2.1 构件截面的惯

7、性矩及其计算4.2.1 构件截面的惯性矩及其计算 1.构件截面的惯性半径4.2.2 构件截面的惯性半径和惯性积 在工程中由于某些计算的需要，将惯性矩表示成截面面积A与某一长度平方的乘积，即式中，iz、iy为截面对z轴和Y轴的惯性半径（m或mm）。若已知图形的截面面积A和惯性矩iz、iy，则惯性半径为 2.构件截面的惯性积4.2.2 构件截面的惯性半径和惯性积 某截面如图4-8所示，在坐标（z，y）处取微面积dA，dA与它到两轴距离的乘积yzdA称为该微面积dA对Z、Y两轴的惯性积，其在整个截面面积的积分为I yz=A yzdA式中，I yz为整个截面对Z、Y两轴的惯性积（m4或mm4），其量纲

8、为长度4。图图4-8 4-8 惯性积惯性积 惯性积是对坐标轴而言的，同一截面对于不同的坐标轴有不同的惯性积，由式（4-12）可知，惯性积可能为正，可能为负，也可能为零。如图4-8所示，若截面具有一个（或一个以上）的对称轴，则对称轴两侧对称微面积的yzdA值大小相等、符号相反，这两个对称位置的微面积对y轴、z轴的惯性积之和为零，推广到整个截面，则整个截面的Iyz=0，即只要y、z两轴中有一个轴是对称轴，则截面对两轴的惯性积必等于零。4.2.2 构件截面的惯性半径和惯性积4.2.3 构件截面的极惯性矩 如图4-8所示的截面，若微面积dA到坐标原点O的距离为，则将其积分，得 I p=A2dA （4-

9、11）式中，I p为整个截面对坐标原点的极惯性矩（m4或mm 4），量纲为长度 4。极惯性矩是对坐标原点而言的，坐标原点取在不同的位置，则极惯性矩也不同，由式（4-13）可知，极惯性矩恒为正值。4.2.3 构件截面的极惯性矩 由图4-8可知2=y2+z2，代入式（4-13），得即 Ip=Iz+Iy （4-12）式（4-12）表明，截面对于任意一对正交坐标轴的惯性矩之和恒等于该截面对坐标原点的极惯性矩。【例例4-54-5】图图4-9 4-9【例例4-54-5】图图4.2.3 构件截面的极惯性矩【例例4-54-5】4.2.3 构件截面的极惯性矩【例例4-64-6】图图4-9 4-9【例例4-54-

10、5】图图4.2.3 构件截面的极惯性矩PART4.3平行移轴公式及其计算 如图4-11所示的面积为A的任意截面，C为截面形心，yC轴和zC轴为形心轴，y轴、z轴分别与yC轴和zC轴平行，两个平行轴间的距离分别为b、a。截面上的微面积dA在相互平行的坐标轴间的坐标关系为y=yC+a，z=zC+b。1.惯性矩的平行移轴公式4.3.1 平行移轴公式图图4-11 4-11 面积面积A A对对y y、z z轴的惯性矩轴的惯性矩 截面对zC、yC轴的惯性矩分别为IzC=A y2CdA，I yC=A z2CdA。截面对z轴的惯性矩为式中，A y2CdA为图形对形心轴ZC的惯性矩IzC；2aA yCdA为图形

11、对形心轴ZC的静矩SzC，因ZC轴为形心轴，故SzC=0；A dA为截面的面积A。则 （4-13）式（4-13）称为惯性矩的平行移轴公式。4.3.1 平行移轴公式 式（4-15）说明，截面对任一轴的惯性矩等于截面对与该轴平行的形心轴的惯性矩加上截面面积与两轴距离平方（或两轴距离的乘积）的乘积。由式（4-15）可知，a2A、b2A恒为正值，所以在截面对所有平行轴的惯性矩中，其对形心轴的惯性矩最小。4.3.1 平行移轴公式 2.惯性积的平行移轴公式4.3.1 平行移轴公式可以证明，截面对任一直角坐标系的惯性积I zy等于该截面对平行形心坐标轴yC与zC的惯性积IzCyC加上其形心C的坐标积zCyC

12、与截面的面积A的乘积，即Izy=IzCyC+zCyCA （4-14）【例例4-74-7】图图4-12 4-12 【例例4-74-7】图图4.3.1 平行移轴公式【例例4-74-7】4.3.1 平行移轴公式4.3.2 组合图形惯性矩的计算4.3.2 组合图形惯性矩的计算确定组合图形的形心位置坐标。通过积分或查表求得各简单图形对自身形心轴的惯性矩。利用平行移轴公式计算出组合图形对其形心轴的惯性矩。计算组合图形惯性矩的步骤如下：【例例4-84-8】4.3.2 组合图形惯性矩的计算图图4-13 4-13【例例4-84-8】图图4.3.2 组合图形惯性矩的计算4.3.2 组合图形惯性矩的计算【例例4-94-9】图图4-14 4-14【例例4-94-9】图图4.3.2 组合图形惯性矩的计算【例例4-94-9】4.3.2 组合图形惯性矩的计算【例例4-94-9】4.3.2 组合图形惯性矩的计算THANKS