高考理科数学一轮概率随机变量及其分布.doc

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1、第十一篇 概率、随机变量及其分布A第 1 讲 随机事件的概率最新考纲1了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别2了解两个互斥事件的概率加法公式.知 识 梳 理1频率与概率(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)为nAn事件 A 出现的频率(2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作 P(A)，称为事件 A 的概率，简称为 A 的概率2事件的关系与运算定义符号

2、表示包含关系如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B 包含事件A(或称事件 A 包含于事件 B)BA(或 AB)相等关系若 BA 且 ABAB并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件)AB(或 AB)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件)AB(或 AB)互斥事件若 AB 为不可能事件，则称事件 A 与事件 B 互斥AB对立事件若 AB 为不可能事件，AB 为必然事件，那么称事件 A 与事件B 互为对立事件ABP(AB)

3、P(A)P(B)13.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0P(A)1.(2)必然事件的概率 P(E)1.(3)不可能事件的概率 P(F)0.(4)互斥事件概率的加法公式如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B)若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)1P(B)辨 析 感 悟1对随机事件概念的理解(1)“物体在只受重力的作用下会自由下落”是必然事件()(2)“方程 x22x80 有两个实根”是不可能事件()(3)(2014广州调研 C 项)“下周六会下雨”是随机事件()2对互斥事件与对立事件的理解(4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件()(5)

4、(2014郑州调研 B 项)从 40 张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从 110各 10 张)中，任取一张， “抽取黑桃”与“抽取方块”是对立事件()3对频率与概率的理解(6)(教材练习改编)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值()(7)(教材习题改编)集合 A2,3，B1,2,3，从 A，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于 4 的概率为 .()13(8)(2014临沂调研改编)甲、乙二人下棋，甲获胜的概率是 0.3，甲不输的概率为 0.8，则甲、乙二人下成和棋的概率为 0.5.()感悟提升两个区别 一是“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事

5、件不一定是对立事件， “互斥”是“对立”的必要不充分条件，如(5)中为互斥事件二是“频率”与“概率”：频率与概率有本质的区别，不可混为一谈频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率.学生用书第 179 页考点一 事件的关系与运算【例 1】 一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷 1 次，设事件 A 表示向上的一面出现奇数点，事件 B 表示向上的一面出现的点数不超过 3，事件 C 表示向上的一面出现的点数不小于 4，则( )AA 与

6、B 是互斥而非对立事件BA 与 B 是对立事件CB 与 C 是互斥而非对立事件DB 与 C 是对立事件解析 根据互斥与对立的定义作答，AB出现点数 1 或 3，事件 A，B 不互斥更不对立；BC，BC( 为必然事件)，故事件 B，C 是对立事件答案 D规律方法 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系【训练 1】 对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹设 A两次都击中飞机，B两次都没击中飞机，C恰有一次击中飞机，D至少有一次击中飞机，其中彼

7、此互斥的事件是_，互为对立事件的是_解析 设 I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为AB，AC，BC，BD.故 A 与 B，A 与 C，B 与 C，B 与 D 为彼此互斥事件，而 BD，BDI，故 B 与 D 互为对立事件答案 A 与 B，A 与 C，B 与 C，B 与 D B 与 D考点二 随机事件的概率与频率【例 2】 某小型超市发现每天营业额 Y(单位：万元)与当天进超市顾客人数 X有关据统计，当 X700 时，Y4.6；当 X 每增加 10，Y 增加 0.05.已知近 20天 X 的值为：1 400，1 100，1 900,1 600,1 400,1 600,2 200,1 1

8、00,1 600,1 600，1 900，1 400,1 100,1 600,2 200,1 400,1 600,1 600，1 900，700.(1)完成如下的频率分布表：近 20 天每天进超市顾客人数频率分布表人数7001 1001 4001 6001 9002 200频率120420(2)假定今天进超市顾客人数与近 20 天进超市顾客人数的分布规律相同，并将频率视为概率，求今天营业额低于 10.6 万元高于 4.6 万元的概率解 (1)在所给数据中，进超市顾客人数为 1 100 的有 3 个，为 1 600 的有 7 个，为 1 900 的有 3 个，为 2 200 的有 2 个故近 2

9、0 天每天进超市顾客人数频率分布表为人数7001 1001 4001 6001 9002 200频率120320420720320220(2)由已知可得 Y4.60.05X1.1，X7001012004.60 就去打球，若 X0 就去唱歌，若 X的概率是_5解析 由 e ，得 b2a，当 a1 时，b3,4,5,6 四种情况；当 a2 时，1b2a25b5,6 两种情况，总共有 6 种情况又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，b)共有 36种结果所求事件的概率 P .63616答案 16三、解答题9甲、乙两校各有 3 名教师报名支教，其中甲校 2 男 1 女，乙校 1 男 2 女(1)若从甲校和乙

10、校报名的教师中各任选 1 名，求选出的 2 名教师性别相同的概率；(2)若从报名的 6 名教师中任选 2 名，求选出的 2 名老师来自同一学校的概率解 (1)从甲、乙两校报名的教师中各选 1 名，共有 nC C 9 种选法1 31 3记“2 名教师性别相同”为事件 A，则事件 A 包含基本事件总数mC 1C 14，P(A) .1 21 2mn49(2)从报名的 6 人中任选 2 名，有 nC 15 种选法2 6记“选出的 2 名老师来自同一学校”为事件 B，则事件 B 包含基本事件总数m2C 6.2 3选出 2 名教师来自同一学校的概率 P(B) .6152510(2014郑州质检)某地区有小

11、学 21 所，中学 14 所，大学 7 所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析，求抽到小学、中学各一所的概率解 (1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为 63；2121147从中学中抽取的学校数目为 62；1421147从大学中抽取的学校数目为 61.721147故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1.(2)记“抽到小学、中学各一所”为事件 A，则事件 A 共有基本事件 mC C 6(种)抽法，1 31 2又从 6 所学校任

12、抽取 2 所有 nC 15 种抽法2 6因此，所求事件的概率 P .mn61525能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n，记向量 a(m，n)与向量b(1，1)的夹角为 .则 的概率是( )(0，2A. B. C. D.5121271256解析 cos ，mnm2n2 2(0，2mn 满足条件，mn 的概率为 .63616mn 的概率为 .1256512的概率为 .(0，216512712答案 C2(2014合肥模拟)有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都

13、不相邻的概率是( )A. B. C. D.15253545解析 第一步先排语文书有 A 2(种)排法第二步排物理书，分成两类一类2 2是物理书放在语文书之间，有 1 种排法，这时数学书可从 4 个空中选两个进行排列，有 A 12(种)排法；一类是物理书不放在语文书之间有 2 种排法，再选一本2 4数学书放在语文书之间有 2 种排法，另一本有 3 种排法因此同一科目的书都不相邻共有 2(12223)48(种)排法，而 5 本书全排列共有 A 120(种)，5 5所以同一科目的书都不相邻的概率是 .4812025答案 B二、填空题3某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他

14、三门艺术课各 1 节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔 1 节艺术课的概率为_(用数字作答)解析 法一 6 节课的全排列为 A 种，相邻两节文化课之间至少间隔 1 节艺术6 6课的排法是：先排三节文化课，再利用插空法排艺术课，即为(A C A A 2A A3 3 2 3 2 2 2 23 3)种，由古典概型概率公式得 P(A) .3 3A3 3C2 3A2 2A2 22A3 3A3 3A6 615法二 6 节课的全排列为 A 种，先排三节艺术课有 A 种不同方法，同时产生四6 63 3个空，再利用插空法排文化课共有 A 种不同方法，故由古典概型概率公式得3 4P(A) .A3 3A3 4

15、A6 615答案 15三、解答题4现有 8 名 2012 年伦敦奥运会志愿者，其中志愿者 A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，组成一个小组(1)求 A1被选中的概率；(2)求 B1和 C1不全被选中的概率解 (1)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，其一切可能的结果组成的基本事件共有 C C C 18 个，1 3 1 3 1 2由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的记“A1恰被选中”为事件 M，则 M 发生共有 C C 6 个基本事件1 3 1 2因而 P(M) .61

16、813(2)用 N 表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则其对立事件 表示“B1，C1全N被选中”这一事件，由于 包含(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)3 个N结果，事件 有 3 个基本事件组成，所以 P( ) ，由对立事件的概率公式NN31816得 P(N)1P( )1 .N1656学生用书第 185 页第 3 讲 几何概型最新考纲1了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率2了解几何概型的意义.知 识 梳 理几何概型(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型(2)特点：无限性

17、：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；等可能性：每个结果的发生具有等可能性(3)公式：P(A).构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积辨 析 感 悟1对几何概型的理解(1)(教材习题改编)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形()(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关()2几何概型的计算(4)从区间1,10内任取一个数，取到 1 的概率是 P .()19(5)(2013福建卷改编)利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 a，

18、则事件“3a10”发生的概率为 .()13感悟提升1一个区别 “几何概型”与“古典概型”的区别：基本事件的个数前者是无限的，后者是有限的2一点提醒 几何概型的试验中，事件 A 的概率 P(A)只与子区域 A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与 A 的位置和形状无关，如(3).学生用书第 186 页考点一 与长度、角度有关的几何概型【例 1】 (1)(2013湖北卷)在区间2,4上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|m 的概率为 ，则 m_.56(2)如图，在ABC 中，B60，C45，高 AD，在BAC 内作3射线 AM 交 BC 于点 M，则 BM0，称 P(B|A)为在PABPA

19、事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率(2)若 B，C 是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2.事件的相互独立性设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)P(A)P(B)，则称事件 A 与事件 B 相互独立若事件 A，B 相互独立，则 P(B|A)P(B)；事件 A 与 ， 与 B， 与 都相互独BAAB立3独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验，若用 Ai(i1,2，n)表示第 i 次试验结果，则P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(A3)P(An)(2)二项分布在 n 次独立重复试验中，用 X 表

20、示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则 P(Xk)C pk(1p)nk(k0,1,2，n)，此时称随机变量k nX 服从二项分布，记为 XB(n，p)，并称 p 为成功概率4正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数 a，b(a4)的值解 随机变量 XN(3,1)，正态曲线关于直线 x3 对称，由 P(2X4)0.682 6，得 P(X4) 1P(2X4) (10.682 6)0.158 7.1212考点四 独立重复试验与二项分布【例 4】 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率

21、为 .甲、乙、16丙三位同学每人购买了一瓶该饮料(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；(2)求中奖人数 X 的分布列审题路线 (1)甲、乙、丙各购买一瓶饮料是否中奖，相互独立，由相互独立事件同时发生的概率乘法公式，第(1)问可求；(2)依题意随机变量 X 服从二项分布，不难求出分布列解 (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A，B，C，且相互独立，那么 A，B相互独立C又 P(A)P(B)P(C) ，16P(A )P(A)P( )P( ) 2，B CBC16(56)25216即甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为.25216(2)X 的可能取值为 0,1,2,3，且 XB，(3，16)P(Xk)C

22、k3k(k0,1,2,3)k 3(16)(56)则 P(X0)C ，0 35363125216P(X1)，C1 352632572P(X2)，C2 3563572P(X3)，C3 3631216所以中奖人数 X 的分布列为X0123P12521625725721216规律方法 (1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的(2)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，

23、然后求概率【训练 4】 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和 B，系统 A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率分别为和 p.110(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求 p 的值；4950(2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 X，求 X 的概率分布列及数学期望 E(X)解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C，那么1P( )1p，解得 p .C110495015(2)由题意，P(X0)C3，0 3(110)11 000P(X1)C2，1 3(110)(1110)271 000P(X2)C 2，2 3110(111

24、0)2431 000P(X3)C3.3 3(1110)7291 000所以，随机变量 X 的概率分布列为X0123P11 000271 0002431 0007291 000故随机变量 X 的数学期望为E(X)0123.11 000271 0002431 0007291 00027101相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为 P(AB)P(A)P(B)互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为 P(AB)P(A)P(B)2在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次可看做是 C 个互斥事件的和，k n其中每一个事件都可看做是 k

25、 个 A 事件与(nk)个 事件同时发生，只是发生的A次序不同，其发生的概率都是 pk(1p)nk.因此 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率为 C pk(1p)nk.k n3若 X 服从正态分布，即 XN(，2)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为 1. 学生用书第 194 页易错辨析 11对二项分布理解不准致误【典例】 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有 6 个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 .13(1)设 X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求 X 的分布列；(2)设 Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求

26、 Y 的分布列解 (1)将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为 ，且每次试验结13果是相互独立的，故 XB.(6，13)所以 X 的分布列为 P(Xk)Ck6k，k0,1,2,3,4,5,6.k 6(13) (23)(2)由于 Y 表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然 Y 是随机变量，其取值为 0,1,2,3,4,5,6.其中：Yk(k0,1,2,3,4,5)表示前 k 个路口没有遇上红灯，但在第 k1 个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算P(Yk)k (k0,1,2,3,4,5)，(23)13而Y6表示一路没有遇上红灯故其概率为 P(Y6)6，(23)因此 Y 的

27、分布列为：Y0123456P1329427881162433272964729易错警示 由于这名学生在各个交通岗遇到红灯的事件相互独立，可以利用二项分布解决，二项分布模型的建立是易错点；另外，对“首次停车前经过的路口数 Y”理解不当，将“没有遇上红灯的概率也当成 ” 13防范措施 独立重复试验中的概率公式 Pn(k)C pk(1p)nk表示的是 n 次独k n立重复试验中事件 A 发生 k 次的概率，p 与(1p)的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件 A 有 k 次不发生的概率了【自主体验】(2013辽宁卷)现有 10 道题，其中 6 道甲类题，4 道乙类题，张同学从中任

28、取3 道题解答(1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率；(2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题，1 道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是 ，答对每道乙类题的概率都是 ，且各题答对与否相互独立用 X3545表示张同学答对题的个数，求 X 的分布列和数学期望解 (1)设事件 A“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类题” ，则有 “张同A学所取的 3 道题都是甲类题” 因为 P( ) ，所以 P(A)1P( ) .AC3 6C 3 1016A56(2)X 所有的可能取值为 0,1,2,3.P(X0)C 02 ；0 2(35) (25)154125P(X1)C 11 C021 2(35

29、) (25)150 2(35) (25)；4528125P(X2)C 20 C 11 ；2 2(35) (25)151 2(35) (25)4557125P(X3)C 20 .2 2(35) (25)4536125所以 X 的分布列为：X0123P4125281255712536125所以 E(X)01232.4125281255712536125对应学生用书 P373基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1设随机变量 XB，则 P(X3)的值是( )(6，12)A. B. C. D.31651671658解析 P(X3)C33.3 6(12) (112)516答案 B2已知随机变量

30、X 服从正态分布 N(0，2)若 P(X2)0.023，则P(2X2)( )A0.477 B0.628 C0.954 D0.977解析 0，则 P(X2)P(X0.9，(12)(12)1 0131 024故该线路需要增加班次能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1设随机变量 X 服从正态分布 N(，2)，函数 f(x)x24xX 没有零点的概率是 ，则 ( )12A1 B4 C2 D不能确定解析 根据题意函数 f(x)x24xX 没有零点时，164X4，根据正态密度曲线的对称性，当函数 f(x)x24xX 没有零点的概率是 时，4.12答案 B2口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，

31、有放回地每次摸取一个球，定义数列an：anError!如果 Sn为数列an的前 n 项和，那么 S73 的概率为( )AC25 BC255 7(13) (23)2 7(23) (13)CC25 DC255 7(13) (13)3 7(13) (23)解析 S73 即为 7 次摸球中，有 5 次摸到白球，2 次摸到红球，又摸到红球的概率为 ，摸到白球的概率为 .故所求概率为 PC25.23132 7(23) (13)答案 B二、填空题3将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在下落的过程中，将 3 次遇到黑色障碍物，最后落入 A 袋或 B 袋中已知小球每次遇到黑色

32、障碍物时，向左、右两边下落的概率都是 ，则小球落入 A12袋中的概率为_解析 记“小球落入 A 袋中”为事件 A， “小球落入 B 袋中”为事件 B，则事件A 的对立事件为 B，若小球落入 B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故 P(B)33 ，从而 P(A)1P(B)1 .(12)(12)141434答案 34三、解答题4(2013山东卷)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率12都是 .假设各局比赛结果相互独立23(1)分别求甲队以 30,31,32 胜利的概率(2)若比赛结果为 30 或

33、 31，则胜利方得 3 分，对方得 0 分；若比赛结果为32，则胜利方得 2 分、对方得 1 分求乙队得分 X 的分布列及数学期望解 (1)记“甲队以 30 胜利”为事件 A1， “甲队以 31 胜利”为事件 A2， “甲队以 32 胜利”为事件 A3，由题意知，各局比赛结果相互独立，故 P(A1)3，(23)827P(A2)C2 ，2 3(23) (123)23827P(A3)C22 .2 4(23) (123)12427所以，甲队以 30 胜利，以 31 胜利的概率都为，以 32 胜利的概率为.827427(2)设“乙队以 32 胜利”为事件 A4，由题意知，各局比赛结果相互独立，所以 P

34、(A4)C22.2 4(123) (23)(112)427由题意知，随机变量 X 的所有可能的取值为 0,1,2,3，根据事件的互斥性得P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2)，1627又 P(X1)P(A3)，427P(X2)P(A4)，427P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2)，327X 的分布列为X0123P1627427427327E(X)0123 .162742742732779学生用书第 195 页第 6 讲 离散型随机变量的均值与方差最新考纲1理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念2能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.知 识 梳 理

35、1离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量 X 的分布列为 P(Xxi)pi，i1,2，n(1)均值：称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量 X 的均值或数学期望(2)方差：称 D(X)(xiE(X)2pi为随机变量 X 的方差，其算术平方根n i1为随机变量 X 的标准差DX2均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b 为常数)3两点分布与二项分布的均值、方差均值方差变量 X 服从两点分布E(X)pD(X)p(1p)XB(n，p)E(X)npD(X)np(1p)辨 析 感 悟1离散型随机变量的均值与方差(1)期望是算术平均数概念的

36、推广，与概率无关()(2)(教材习题改编)在篮球比赛中，罚球命中 1 次得 1 分，不中得 0 分如果某运动员罚球命中的概率为 0.7，那么他罚球 1 次的得分 X 的均值是 0.7，方差是0.21.()2均值与方差的性质(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小()(4)已知 X 的分布列为X101P121316设 Y2X3，则 E(Y)的值为 .()73(5)(2013上海卷改编)设等差数列 x1，x2，x3，x19的公差为 1，若随机变量X 等可能地取值 x1，x2，x3，x19，则方差 D(X)30.()感悟提升1对均

37、值(或数学期望)的理解(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均，如(1)(2)E(X)是一个实数，由 X 的分布列唯一确定，即 X 作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述 X 取值的平均状态(3)公式 E(X)x1p1x2p2xnpn直接给出了 E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加，由此可知，求 E(X)的关键在于写出随机变量的分布列2方差的意义D(X)表示随机变量 X 对 E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明 X 的取值越分散，反之，D(X)越小，X 的取值越集中在 E(X)附近，统计中常用来描述 X 的分散程度，如(5).

38、DX考点一 离散型随机变量的均值与方差【例 1】 (2013浙江卷)设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分(1)当 a3，b2，c1 时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2 个球，记随机变量 X 为取出此 2 球所得分数之和，求 X 的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球，记随机变量 Y 为取出此球所得分数若 E(Y) ，D(Y) ，求 abc.5359审题路线 (1)对取出球的颜色进行分类以确定得分值，进而确定随机变量 X 的取值，计算相应的概率，再列出分布列(2)用

39、 a，b，c 表示出 Y 取值的概率，列出随机变量 Y 的分布列，求出均值和方差，转化为关于 a，b，c 的方程求解解 (1)由题意得 X2,3,4,5,6.故 P(X2) ，3 36 614P(X3) ，2 3 26 613P(X4)，2 3 12 26 6518P(X5) ，P(X6).2 2 16 6191 16 6136所以 X 的分布列为X23456P141351819136(2)由题意知 Y 的分布列为Y123Paabcbabccabc所以 E(Y) ，aabc2babc3cabc53D(Y)222 .(153)aabc(253)babc(353)cabc59化简得Error!解得

40、Error!故 abc321.学生用书第 196 页规律方法 求解该类问题，首先要理解问题的关键，其次要准确无误地找出随机变量的所有可能取值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算，也就是要过“三关”：阅读理解关；概率计算关；公式应用关，如方差、均值公式要准确理解、记忆【训练 1】 (2014南昌质检)如图，从 A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)这 6 个点中随机选取 3 个点，将这 3 个点及原点 O 两两相连构成一个“立体” ，记该“立体”的体积为随机变量 V(如果选取的 3

41、 个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积 V0)(1)求 V0 的概率；(2)求 V 的分布列及数学期望 E(V)解 (1)从 6 个点中随机选取 3 个点总共有 C 20(种)取法，选取的 3 个点与原3 6点在同一个平面内的取法有 C C 12(种)，因此 V0 的概率为 P(V0)1 3 3 41220.35(2)V 的所有可能取值为 0，16132343又 P(V )，16120P(V )，13C1 3C3 6320P(V )，23C2 3C3 6320P(V )，43120因此 V 的分布列为V016132343P35120320320120由 V 的分布列可得E(V)0 35

42、16120133202332043120.940考点二 与二项分布有关的均值、方差【例 2】 (2013福建卷)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 ，中奖可以获得 2 分；方案乙的中奖率为 ，中奖2325可以获得 3 分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 X，求X3 的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？审题路线 (1)易知 X0,2,3,5，则“X3”与“

43、X5”为对立事件，根据相互独立事件与对立事件公式计算(2)每种方案的得分与中奖次数有关，且中奖次数服从二项分布，运用均值的性质求解解 (1)由已知得，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人中奖与否2325互不影响记“这 2 人的累计得分 X3”的事件为 A，则事件 A 的对立事件为“X5” ，因为 P(X5) ，2325415所以 P(A)1P(X5)，1115即这 2 人的累计得分 X3 的概率为.1115(2)法一 设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为 X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期

44、望为 E(3X2)由已知可得，X1B，X2B，(2，23)(2，25)所以 E(X1)2 ，E(X2)2 ，23432545因此 E(2X1)2E(X1) ，E(3X2)3E(X2).83125因为 E(2X1)E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大法二 设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 Y1，都选择方案乙所获得的累计得分为 Y2，则 Y1，Y2的分布列为：Y1024P194949Y2036P9251225425E(Y1)0 2 4 ，19494983E(Y2)036，9251225425125因为 E(Y1)E(Y2)，所以二人都选择方案甲抽奖，累计得

45、分的数学期望较大规律方法 求离散型随机变量的均值与方差的方法：(1)先求随机变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解(2)若随机变量 XB(n，p)，则可直接使用公式E(X)np，D(X)np(1p)求解【训练 2】 某人投弹命中目标的概率 p0.8.(1)求投弹一次，命中次数 X 的均值和方差；(2)求重复 10 次投弹时命中次数 Y 的均值和方差解 (1)随机变量 X 的分布列为X01P0.20.8因为 X 服从两点分布，故 E(X)p0.8，D(X)p(1p)0.80.20.16.(2)由题意知，命中次数 Y 服从二项分布，即 YB(10,0.8)，E(Y)np100.88，D(Y)n

46、p(1p)100.80.21.6.学生用书第 197 页考点三 均值与方差在决策中的应用【例 3】 某投资公司在 2014 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可能亏损 15%，且这两种情况发生的概率分别为 和 ；7929项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能损失 30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 ， 和.3513115(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；(2)若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资)，问大约在哪一年的年底总资产(利润本金)可以翻一番？(参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1)解 (1)若