小学奥数余数问题完整版教案带解析和答案.pdf

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1、数论问题之 余数问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。三大余数定理：1、余数的加法定理a 与 b 的和除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23+16=39除以 5 的余数等于 4，即两个余数的和 3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余

2、数。例如：23，19 除以 5的余数分别是 3 和 4，所以 23+19=42除以 5 的余数等于 3+4=7除以 5 的余数，即 2.2、余数的乘法定理a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 2316 除以 5 的余数等于 31=3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。例如：23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 2319 除以 5 的余数等于 34 除以 5 的余数，即 2.3.同余定理若两个整数 a、b 被自然数 m除有相同

3、的余数，那么称a、b 对于模 m同余，用式子表示为：ab(mod m)，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a 同余于 b，模 m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数 a，b 除以同一个数 m得到的余数相同，则a，b 的差一定能被 m整除用式子表示为：如果有ab(mod m)，那么一定有 abmk,k 是整数，即 m|(ab)三、弃九法原理而我们在求一个自然数除以9 所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9 的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9 一个 9 的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。所以我们总结出弃九发原理：任何

4、一个整数模9 同余于它的各数位上数字之和。教学目标模块一、带余除法的定义和性质例 1、两数相除，商 4 余 8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于 415，则被除数是 _解答：被除数+除数=415-4-8=403 被除数=4除数+8 除数：（403-8）（4+1）=79 被除数：794+8=324例2、【弃 9 法】20080808除以 9 的余数是多少？解答：20080808的数字和为：2+83=26，中间弃掉 2 个 9，26-18=8，所以余数为 8 模块二、三大余数定理的应用1、【余数的加法定理】4 个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193.规定每两人之

5、间比赛的盘数是他们号码的和除以3 所得的余数请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？解答：4 名运动员号码除以3 的余数分别是：2，0，2，1，根据余数的加法定理则第一名运动员比赛的盘数：2+1+0=3（盘）第二名运动员比赛的盘数：2+2+1=5（盘）第三名运动员比赛的盘数：1+2+0=3（盘）第四名运动员比赛的盘数：0+1+0=1（盘）所以比赛盘数最多的运动员打了5 盘。2、【余数的加法定理】商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31 千克，两个顾客买走了其中的五箱已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2 倍，那么商店剩下的一箱货物重量是 _千克解答：一个顾客买的货物重量是另一

6、个顾客的2 倍，说明这两名顾客买走的总数量是3 的倍数，六箱货物分别除以3 的余数是：0，1，0，1，2，1，因为 0+1+0+1+1=3，刚好是 3 的倍数，商店里面剩下的一箱货物是20 千克的。2【余数的乘法定理】某工厂有 128 名工人生产零件，他们每个月工作23 天，在工作期间每人每天可以生产300 个零件月底将这些零件按17 个一包的规格打包，发现最后一包不够17 个请问：最后一包有多少个零件？解答：1282330017，求余数可以用余数的乘法定理12817 余 9，2317 余 6，30017 余 11，9611=594 69417 余 16，所以最后一包有16 个零件。6、【周期

7、性】（1）20032除以 7 的余数是（）（2）20032除以 7 的余数是（）（3）20032与22003的和除以 7 的余数是 _例题讲解解答：（1）27 余 2，227 余 4，237 余 1，247 余 2，257 余 4.所以是以 3 个为 1 周期，20033 余 2，所以20032除以 7 的余数是 4（2）20037 余 1，根据余数的乘法定理，所以200327 余 1（3）根据余数的加法定理，20032与22003的和除以 7 的余数是 4+1=5 7、【周期性】90 个数排成一排，除了两头的两个数，每个数的3 倍恰好等于它两边两个数的和，已知最左边的几个数是：0，1，3，8

8、，21.那么最右边的一个数除以6 的余数是多少？解答：从左到右除以6 的余数分别为：0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，3.发现是 12个数一循环，所以9012 余 6，所以最右边的数除以6 的余数为 1【巩固】斐波纳契数列：1，1，2，3，5，8，13，21.，这串数的第 2019 个数除以 3 的余数是多少？解答：从左到右除以 3 的余数分别为：1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，10，.发现是 8 个数一循环，所以20198 余 3，所以这串数的第2019 个数除以 3 的余数是 2.7、【同余定理】有一个大于 l 的整数，用它除 300、

9、262、205 得到相同的余数，求这个数解答：把三个数两两相减，300-262=38，262-205=57，38 和 57的大于 1 的公因数有 19，所以这个数就是 19 8、【同余定理】有一个大于 1 的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.解答：把三个数两两相减，59=45=14，101-59=42，14 和 42的大于 1 的公因数有 2，7，14，所以这个数可能是2，7，14.9、【同余定理】一个大于 1 的数去除 290，235，200时，得余数分别为a，2a，5a，则这个自然数是多少？解答：目前不是同余，所以要转化为同余，235-2=233，200-5=195，所以

10、 290，233，195 这三个数同时除以同一个数后同余，所以把这三个数两两相减，290-233=57，233-195=38，57和 38 的大于 1 的公因数有 19，所以这个自然数是19.10【中国剩余定理】100 多名小朋友站成一列，从第一人开始依次按1，2，3，11 的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；如果按 1，2，3，13 的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11.请问：一共有多少名小朋友？解答：总人数 11 余 9，总人数 13 余 11，所以如果给总人数加2，除以 11 时可以整除，除以 13 时也可以整除，则就是11 和 13 的公倍数，【11，13】=143，143

11、-2=141（人），所以一共有 141 名小朋友。11、【中国剩余定理】有 5000 多根牙签，按以下6 种规格分成小包：如果10根一包，最后还剩 9 根；如果 9 根一包，最后还剩 8 根；如果依次以 8、7、6、5 根为一包，最后分别剩7、6、5、4 根原来一共有牙签多少根？解答：总数如果加上1，则就是 10，9，8，7，6，5 的公倍数，【10，9，8，7，6，5】=2520，但是总数在 5000 以上，所以 2520 要扩倍，25202=5040，但是还要减去加上的一根，所以一共有牙签的数量为：5040-1-5039（根）12、【中国剩余定理】刘叔叔养了 400 多只兔子，如果每3 只

12、兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2 只；如果每 5 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有4 只；如果每 7 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5 只请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？解答：总数 3 余 2，总数 5 余 4，总数 7 余 5，先满足前 2 个条件：给总数加上1 后是 3和 5 的公倍数，【3，5】=15，所以总数最小为：15-1=14，所以总数可以表示为14+15k，经过尝试，当k=5 时，也满足第3 个条件，所以总数最小为：89+【3，5，7】k=89+105k，要满足有 400 多只，所以 k 只能取 3，89+1053=404（只）13、【中国剩余定理

13、】一个大于 10 的数，除以 3 余 1，除以 5 余 2，除以 11余 4，满足条件的最小的自然数是多少？解答：除以 3 余 1，除以 5 余 2，除以 11 余 4 满足第一个条件的数为：4，7，10.满足第二个条件的数为:7，12，17，22.所以满足前 2 个条件的数可以表示为7+【3，5】k=7+15k,经过尝试，当 k=2，时也满足第三个条件，所以最小的自然数为：7+152=37。14、【中国剩余定理】有三个连续的自然数，它们从小到大依次是5、7、9 的倍数，这三个连续自然数最小是多少？解答：设这三个连续的自然数为a，a+1，a+2，所以 a 是 5 的倍数，a+1 是 7 的倍数

14、，a+2是9 的倍数，所以可以得到:a 5 余 0，a7 余 6，a9 余 7，满足第一个条件的数为：5，10，15，20，25.满足第二个条件的数为:6,13,20,25.所以满足前2 个条件的数可以表示为20+【7，5】k=20+35k,经过尝试,当 k=4，时也满足第三个条件，所以最小的自然数为20+354=160，这三个连续的自然数为160，161，162 作业：1、两数相除，商 15 余 6，被除数、除数、商数、余数四数之和等于 139，则被除数是 _答案：111 2、一年有 365 天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234 个，年终将这些零件按19 个一包的规格打包，最后一包不够1

15、9 个请问：最后一包有多少个零件？答案：15个3、自然数12222267个的个位数字是多少？答案：7 4、20181818除以 9 的余数是多少？除以8 和 25 的余数分别是多少？答案：20181818除以 9 的余数是 2，除以 8 的余数是 2，除以 25 的余数是 18 5、有一个大于 1 的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.答案：这个数可能是2.7，14 6、一个大于 1 的数去除 290，235，200时，得余数分别为a，2a，5a，则这个自然数是多少？答案：这个自然数是19 7、【外冲】买来 118 个乒乓球，67 个乒乓球拍和 33 个乒乓球网，如果将这三种物

16、品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同请问学校共有多少个班？答案：学校有 17 个班级8、刘叔叔养了接近300 只兔子，如果每 3 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；如果每 5 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有4 只；如果每 7 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5 只请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？答案：299 只9、2008222008除以 7 的余数是多少？答案：余数为 3 10、名小学生分别带着14 元、17 元、18 元、21 元、26 元、37 元钱，一起到新华书店购买成语大词典一看定价才发现有5 个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3 人的钱

17、凑在一起恰好可买 2 本，丁、戊 2 人的钱凑在一起恰好可买1 本这种成语大词典的定价是_元答案:32 元11、有三个连续的自然数，它们从小到大依次是5、7、9 的倍数，这三个连续自然数最小是多少？答案：这三个自然数分别为：160，161，162 12、一个三位数被 5 除余 3，被 6 除余 4，被 7 除余 5，这样的三位数中最小的一个是多少，最大的一个是多少？答案：最小是 208，最大是 838 13、2019 个数排成一排，除了两头的两个数，每个数的3 倍恰好等于它两边两个数的和，已知最右边的几个数是：0，1，3，8，21.一个数除以 6 的余数是多少？答案：余数是 3 14、如图，在

18、一个圆孔上有几十个孔（不到100 个），小明像跳棋那样从A孔除法沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈后能够跳回A孔，他先试着每隔2 个孔跳一步，结果只能跳到 B孔，他又试着每隔 4 个孔跳一步，也只能够跳道B孔，最后他每隔 6 个孔跳一步，正好回到 A孔，问：这个圆圈上共有多少个孔？答案：91个15、把自然数 A所有的因数两两求和，又得到若干个自然数，在这些自然数中，最小的是3，最大的是 2250，求 A 答案：1500 16、【外冲】把 462 名学生分成人数相等的若干组参加课外活动小组，每组人数在12 到 20人之间，求每组人数及分成的组数。答案：每组人数14 人，共 33 组17、【外冲】老师在黑板上写出了两个数：1980 和 231，叫同学们上来依次做同样的操作：擦掉较大的数，写上两个数的差。经过若干次操作以后，黑板上剩下了两个相同的数，这个相同的数是多少？答案：这个相同的数为33 18、大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长54 厘米，爸爸每步长72 厘米。由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下 60 个脚印。求圆形花圃的周长。答案：2160 厘米19、两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，试求这两个数的差。答案：两个数的差可能是：59-51=40，或者 57-53=20