高二数学教案.doc

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1、高二数学高二数学本讲进度本讲进度10.5随机事件的概率本讲主要内容本讲主要内容1、概率的定义2、等可能事件的概率的求解学习指导学习指导1、随机事件的概率（1）几个概念1随机试验：事先无法准确预知试验结果而在同一条件下能重复进行的试验。2基本事件：随机试验的每一个可能的结果称为试验的一个基本事件。3必然事件：在一定条件下必然要发生的事件不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件4频率：同一试验重复进行了 n 次，其中事件 A 发生了 m 次，则 m/n 就是该次试验中事件 A 发生的频率。（2）概率的定义：在大量重复进行同一试验时，随机事件 A 发生

2、的频率 m/n 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件的概率。用符号 P(A)表示。显然 0P(A)1当 P(A)=0 时，A 为不可能事件当 P(A)=1 时，A 为必然事件概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小。在实际工作中一个事件的概率往是无法精确求得的，当试验次数 n 适当大时，我们就以频率 m/n 作为它的近似值。频率 m/n 的大小是不能完全确定的，这反映了随机偶然性的一面。但只要试验次数 n 充分的大，m/n就几乎接近一个常数 p。这里 p 是客观存在的数，与所做的若干次具体试验无关，这又反映了随机事件必然性的一面。2、等可能事件的概率（1）定义：如果一次试验中

3、可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性相等，那么每一个基本事件的概率都是 1/n。如果某个事件 A 包含的结果有 m 个，那么事件 A 的概率为 P(A)=m/n.这个定义包含四层含义：随机事件 E 中仅含有有限个（n 个）基本事件；基本事件出现的可能性相等；事件 A 中包含 m 个基本事件；P(A)=mmA试验中基本事件的总数中基本事件数事件。（2）从集合角度看。把一次试验中，等可能出现的 n 个结果组成一个集合 I，则此 n 个结果就是 I的 n 个元素，包含其中 m 个结果的事件 A 就对应于 I 的含有 m 个元素的子集 A，于是事件 A 的频率就等于子集 A 中元素个数

4、card(A)与集合 I 的元素个数 card(I)的比值，即：P(A)=nm)I(card)A(card（3）计算等可能事件的概率的步骤：第一步：计算该次事件共可能有多少种结果出现，即基本事件的总数 n（card(I)）。第二步：计算其中要求的事件 A 包含多少种结果，即事件 A 包含的基本事件的个数 m（card(A)）。第三步：利用公式 P(A)=nm计算结果。（4）计算等可能事件的概率常用到工具“排列”、“组合”，因此特别要注意排列与组合使用的场合。典型例题典型例题例 1、某鱼池中共有 n 条鱼，从中捕得 t 条，加了标志后放回池中。经过一段时间后再从池中捕出 m条鱼，问其中恰有 s

5、条标志鱼的概率是多少？（nms，nts）解题思路分析：从 n 条鱼中捕得 m 条，共有 Cnm种可能结果，这就是基本事件的总数。在捕得的 m 条中恰有 s 条标志鱼，这 s 条是从 t 条中捕得的，则另外捕得的 m-s 条非标志鱼是从 n-t条非标志鱼中捕得的，故捕得的 m 条鱼恰有 s 条标志鱼的捕法有tmtnstCC，这是随机事件中的基本事件数 所求概率 P=mntmtnstCCC例 2、一个口袋内有 7 个白球和 3 个黑球，分别求下列事件的概率：（1）事件 D1：从中摸出一个放回后再摸一个，两回摸出的球是一白一黑；（2）事件 D2：从袋中摸出一个黑球，放回后再摸出一个是白球；（3）事件

6、 D3：从袋中摸出两个球，一个黑的，一个白的；（4）事件 D4：从袋中摸出两个球，先摸出的是黑的，后摸出的是白的；（5）事件 D5：从袋中摸出两个球，后一个是白球。解题思路分析：（1）基本事件的总数是 1010；D1包括“先摸黑球后摸白球”及“先摸白球后摸黑球”，摸出白球及黑球分别有 7 种和 3 种可能，所以 D1发生共有 273 种可能。P(D1)=42.01010372（2）事件 D2与事件 D1不同，它确定了先摸黑球再摸白球的顺序。P(D2)=21.0101037（3）事件 D3说明摸出两个球不放回，且不考虑次序，因此基本事件总数是 C102，事件 D3包含的基本事件个数是 C71C3

7、1。P(D3)=47.0157CCC2101317（4）与事件 D1相比，D4不要考虑摸出两球的先后次序。P(D4)=23.0307CCC2101317（5）基本事件总数是 A102，事件 D5包含“先摸出白球，后又摸出白球”及“先摸出黑球，后又摸出白球”，根据分类计数原理，D5中包含基本事件数为 C71C61+C31C71 P(D5)=2.0107ACCCC21017131617评注：1、注意“放回抽样”与“不放回抽样”的区别，本例是放回抽样，都是不放回抽样。2、特别注意何时用排列，何时用组合。例 3、在 100 毫升水中共有 3 个大肠菌（1）从中任抽 1 毫升水化验，求某个指定的大肠菌恰

8、好落在这 1 毫升水中的概率；（2）每次抽一毫升，连续抽 3 次，求每次恰有一个大肠菌的概率。解题思路分析：（1）将 100 毫升水等分成 100 份，对于某个确定的大肠菌来说，它落入这每份水中的可能性相同，都是 1/100，这也就是恰好落入被抽的那一毫升水中的概率。（2）3 个肠菌落入这 100 份水中的所有情况相当于把 3 个球随机的放入 100 个盒子的情况，共有 100100100 种可能，即基本事件总数是 1003个。在抽取的三份中每份恰有一个大肠菌的情形相当于这 3 个大肠菌在这三份水中的一种排列，共有 3！种可能情况：P(A)=000006.0100!33评注：在充分审题的基础上

9、，构造排列组合的模型，便于认清题目的本质，从而顺利找到解题思路。例 4、甲乙两人街头约会，约定谁先到后须等待 10 分种，这时若另一个人还没来就可离开。现在甲是 1 点半到达的，假设乙在 1 点到 2 点内到达，且乙在 1 点到 2 点之间任何时刻到达是等可能的，求甲乙能会面的概率。解题思路分析：设事件 A1：“乙在 1 点到 1 点 20 分内到达”事件 A2：“乙在 1 点 20 分到 1 点 40 分内到达”事件 A3：“乙在 1 点 40 分到 2 点内到达”则 A1、A2、A3是等可能的基本事件，它包含必然事件“乙在 1 点到 2 点内到达”的各种可能。显然，在 A1、A3情况下甲乙

10、不能见面；在 A2发生的情况下甲乙能见面，所以甲乙见面的概率是 1/3。评注：随机试验的基本事件可以有多种分法，其原则是：基本事件构成的集合的交集为空集；所有基本事件构成的集合的并集为必然事件；所研究的随机事件都能用这些基本事件中的一部分组合而成；基本事件的总数是有限个，是等可能的。例 5、以集合 A=2，4，6，7，8，11，12，13中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，求这种分数是可约分数的概率。解题思路分析：试验的基本事件是所取两数构成分数，由于两数是任取的，所以这些分数是等可能的。基本事件的总数为 A82因奇数 7，11，13 皆为质数，相互之间不可约，所以可约分数的情形是分子、

11、分母同为偶数，共有A52个 P=145AA2825例 6、在一个袋子里，放有均匀的 n 个白球和 m 个黑球，若逐一地全部取出，问第一个上和最后一个取出的都是白球的概率是多少？解题思路分析：每次取出一个球是任意的，所以取完后各种结果是等可能的。基本事件的总数相当于把 n+m 个球进行全排列的个数，有(m+n)!种。“第一个和最后一个都是白球”相当于将“n 个白球与 m 个黑球排成一列，两端恰为白球”，其可能结果为(m+n-2)!P=)!nm()!2nm(例 7、今有强弱不同的十支球队，若把它们均分为两组进行比赛，分别计算：（1）两个最强的队被分在不同组内的概率；（2）两个最强的队恰在同一组内的

12、概率。解题思路分析：（1）10 支球队均分为两组有51055510C21!2CC种分法。两支强队分开的方法有48224448CA!2CC种 P=95C21C51048（3）两强队在同一组的分法为 C83C55=C83种 P=94C21C51038例 8、有 12 个外观完全相同的盆子，其中 3 只盆子中没有放球，3 只盆子中各放了 1 个球，3 只盆子中各放了 2 个球，3 只盆子中各放了 3 个球，随机打开两个盆子，求：（1）这两个盆子都不空的概率；（2）这两个盆子中球数和恰等于 5 的概率；（3）这两个盆子中球数和为多少时概率最大？解题思路分析：打开盆子的结果是等可能事件。基本事件总数是

13、C122=66（1）“两个盆子都不空”所包含的基本事件数就是从 9 个有球的盆子中打开两个的个数，有 C92=36种 P=116CC21229（2）只能打开 1 个放有 3 个球的盆子和 1 个放有 2 个球的盆子，分两步完成共有 C31C31=9 种 P=223669（3）打开两个盆子中球数和恰为 6 个的方法有 C32=3 种：打开两个盆子中球数和恰为 5 个的方法有 C32C31=9 种打开两个盆子中球数和恰为 4 个的方法有 C32+C31C31=12 种打开两个盆子中球数和恰为 3 个的方法有 C31C31+C31C31=18 种打开两个盆子中球数和恰为 2 个的方法有 C31C31

14、+C32=12 种打开两个盆子中球数和恰为 1 个的方法有 C31C31=9 种打开两个盆子中球数和恰为 0 个的方法有 C32=3 种 打开两个盆子中球数为 3 时概率最大，为133CCCCC21213131313五、同步练习五、同步练习（一）选择题1、从分别写有 A、B、C、D、E 的五张卡片中任取两张，这两张卡片上的字母顺序恰好相邻的概率是A、52B、51C、103D、1072、一个三位数的密码锁，每位上的数字都可在 0 到 9 这十个数字中任选，某人忘记了密码的最后一个号码，那么此人开锁时，在对好前两位数码后，随意拔动最后一个数字恰好能开锁的概率是A、3101B、2101C、101D、

15、110C3、将一部四卷的文集，任意放在书架的同一层上，则卷序自左向右或自右向左恰为 1，2，3，4 的概率是A、81B、121C、161D、2414、停车场可把 12 辆车停放一排，当有 8 辆车已停放后，则所剩 4 个空位恰连在一起的概率为A、812C7B、812C8C、812C9D、812C105、从长度分别为 3，5，7，9，11 的 5 条线段中任取 3 条，这 3 条线段能组成三角形的概率为A、21B、53C、107D、546、把一个体积为 64cm3的立方体木块表现涂上红漆，然后锯成体积为 1cm3的小立方体，从中任取 1块，则取出的这一块至少一面涂红的概率为A、87B、43C、8

16、5D、217、从不超过 30 的正整数中任意选取 2 个正整数，这两个数都是质数的概率是A、293B、299C、103D、31（二）填空题8、在库房存放的零件中，有 n 个一级品，m 个二级品，逐个进行检验时，若已检测过的前 k 个皆为一级品，则检验第 k+1 个时仍得一级品的概率为_。9、若 n 为任意整数，n2的尾数为 1 的概率是_。10、3 个男孩和 4 个女孩坐成一排，男女相间的概率为_。11、某人有 5 把钥匙，其中只有一把能打开房门，不幸的是他忘了哪一把，只好随意试开，则第一次就打开的概率为_，第二次打开的概率为_，第五次打开的概率为_，第五次仍未打开的概率为_。12、将 3 个

17、不同的小球随意放入 4 个不同的盒子内，则 3 个小球恰在 3 个不同盒子内的概率为_。（三）解答题13、甲、乙、丙、丁、戊五人任意排成一排照相，甲恰好排在正中的概率是多少？14、有 5 张卡片，上面分别写有 0，1，2，3，4（1）从中任取 2 张卡片，2 张卡片上的两数之和等于 4 的概率是多少？（2）从中任取两次卡片，每次取 1 张，第 1 次取出卡片，记下数字后放回，再取第 2 次，两次取出的卡片上数的和恰好等于 4 的概率是多少？15、某班组织春游，40 名同学分乘两辆车，每辆车可坐 20 名同学，小王和小李同乘 1 辆车的概率是多少？16、在集合(x，y)|0 x5，且 0y4内任

18、取一个元素，能使代数式12194x3y0 的概率是多少？17、一次考试中有 4 道选择题，每题有 4 个选择项，4 个选择项中有且只有一个答案正确，每道选择题都任选一个选择项填入，求：（1）每题都答错的概率；（2）答对一半题的概率。18、两人相约在 20002100 之间相见，并且先到者必须等迟到者 40 分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在 20 0021 00 各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率。参考答案参考答案（一）选择题1、A2、C3、B4、C5、C6、A7、A（二）填空题8、knmkn9、0.210、35111、41,51，1，012、83（三）解答题13、P=5114、（1）P=51C225（2）P=5125515、4121216、10317、（1）256814344（2）1282743311C42418、98