微分中值定理与导数的应用课件.pptx

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1、1 微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。1.预备定理费马(Fermat)定理 费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。第一节第一节 微分中值定微分中值定理理第1页/共112页2第2页/共112页3几何解释:第3页/共112页4证明:第4页/共112页5几何解释:2.2.罗尔罗尔(Rolle)定理定理xO yCx abyf(x)AB 如果连续光滑的曲线 yf(x)在端点 A、B 处的纵坐标相等。那么，在曲线弧上至少有一点 C(x,f(x)，曲线

2、在 C点的切线平行于 x 轴。如果函数yf(x)满足条件：(1)在闭区间a,b上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)f(a)f(b)，则至少存在一点x(a,b)，使得f(x)0。第5页/共112页6证由费马引理,第6页/共112页7注意：f(x)不满足条件(1)f(x)不满足条件(3)f(x)不满足条件(2)BxO yAabxO yABabcxO yABab 如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。第7页/共112页8例1验证第8页/共112页9 例2 不求导数，判断函数f(x)(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个零点，以及其所在范围。解 f(1)f(2)f(3

3、)0，f(x)在1,2，2,3上满足罗尔定理的三个条件。在(1,2)内至少存在一点 x1，使 f(x1)0，x1是 f(x)的一个零点。在(2,3)内至少存在一点 x2，使f(x2)0，x2也是f(x)的一个零点。f(x)是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1,2)及(2,3)内。第9页/共112页10 如果函数f(x)满足：(1)在闭区间a,b上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点x(a,b)内，使得几何意义：C2h xO yABaby=f(x)C1x 3.3.拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定中值定理理第10页/共112页11证明作辅助函数 第11页/共112

4、页12例3第12页/共112页13拉格朗日中值公式又称有限增量公式.或特别地,或拉格朗日中值公式另外的表达方式：第13页/共112页14推论1证明第14页/共112页15推论2证明第15页/共112页16例4证由推论1知,第16页/共112页17例5利用拉格朗日定理可证明不等式.证第17页/共112页18例6证由上式得第18页/共112页19例7证类似可证：特别，第19页/共112页204.4.柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理 设函数f(x)及g(x)满足条件：(1)在闭区间a,b上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)在(a,b)内任何一点处g(x)均不为零，则至少存在一点x(

5、a，b)内，使得如果取g(x)x，那么柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理.说明：证略.第20页/共112页21练习练习：P154 习题4.11.(1)3.4.(1)(2)5.6.(3)8.第21页/共112页22第二节第二节 洛必达法则洛必达法则 在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量或同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不存在，这种极限称为不定式，记为洛必达法则是求函数极限的一种重要方法.及第22页/共112页23定理(洛必达法则)(证略)某去心邻域内有定义且可导,且满足下列条件：第23页/共112页24说明：5.洛必达法则可多次使用。只能说此时使用洛必达法则失败,需另想它法；第24

6、页/共112页25例1用用“洛必达法则洛必达法则”求极限求极限例题例题练习:比较:因式分解，第25页/共112页26例2比较:第26页/共112页27练习:或解等价无穷小替换第27页/共112页28例3第28页/共112页29例4及时分离非零因子 第29页/共112页30例5例6第30页/共112页31例6或解：及时分离非零因子 第31页/共112页32例7解洛必达法则失效。练习不能使用洛必达法则。解极限不存在第32页/共112页33例8解法:化为 或 型不定式。步骤:其它不定式：第33页/共112页34例9步骤:第34页/共112页35步骤:例10对数恒等式第35页/共112页36例11或解

7、(重要极限法)：第36页/共112页37例12解第37页/共112页38练习解第38页/共112页39解例13 这是数列极限,不能直接使用洛必达法则,要先化为函数极限.第39页/共112页40或解例13第40页/共112页41小结小结洛必达法则第41页/共112页423.若 不存在时,不能断定原极限是否存在,此时法则失效,改用其它方法.洛必达法则并不能解决一切不定式的极限问题.应用洛必达法则应注意的几个问题:1.应用洛必达法则时要分别求分子及分母的导数,切忌不要把函数当做整个分式来求导.2.洛必达法则可以累次使用,但必须注意,每次使用前需确定它是否为不定式.4.使用洛必达法则时,要灵活结合其它

8、方法,如等价无穷小替换、凑重要极限、分离非零因子、恒等变形、换元等.第42页/共112页43练习练习：P161 习题4.21.双号 3.选做第43页/共112页44第三节第三节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法第44页/共112页45函数的单调性与导数符号的关系观察与思考：函数单调增加函数单调减少 函数的单调性与导数的符号有什么关系？第45页/共112页46 函数单调增加时导数大于零，函数单调减少时导数小于零。函数的单调性与导数符号的关系观察结果：函数单调减少函数单调增加第46页/共112页47定理第47页/共112页48证应用拉格朗日定理,得第48页

9、/共112页49例1解例2解第49页/共112页50例3解第50页/共112页51例4解第51页/共112页52也可用列表的方式，例4解第52页/共112页53 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点方法:注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,称驻点第53页/共112页54例5证可利用函数的单调性证明不等式第54页/共112页55例6证综上所述，第55页/共112页56由连续函数的零点存在定理知，利用函数的单调性讨论方程的根例7证第56页/共112页57小结小结单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函

10、数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.第57页/共112页58问题:如何研究曲线的弯曲方向?二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点NABM第58页/共112页59观察与思考：函数曲线除了有上升和下降外，还有什么特点？第59页/共112页60 定义一 如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是上凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是下凹的。曲线凹向的定义凹的凸的第60页/共112页61曲线凹向的定义凹的凸的第61页/共112页62图形上任意弧段位于所张弦的上方：下凹图形上任意弧段位于所张弦的下方：上凹第62页

11、/共112页63定义二第63页/共112页64观察与思考：曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？拐点凹的凸的当曲线是上凹的时，f(x)单调增加。当曲线是下凹的时，f(x)单调减少。曲线凹向的判定曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点。第64页/共112页65定理第65页/共112页66例8解x yO第66页/共112页67例9解上凹下凹上凹拐点拐点第67页/共112页68例10解拐点的求法：1.找出二阶导数为零的点或不可导点；2.若它两边的二阶导数值异号,则为拐点,若同号则不是拐点.第68页/共112页69例11解第69页/共112页70练习练习：P168 习题4.32.(2)(3)(4)3

12、.(1)4.(2)(4)7.10.选做第70页/共112页71一、函数的极值及其求法第四节第四节 函数的极值与最值及其应函数的极值与最值及其应用用第71页/共112页72定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.注：极值是局部性的概念,极大值不一定比极小值大.第72页/共112页73定理1(必要条件)由费马引理可知，导数等于零的点称为驻点.对可导函数来讲,极值点必为驻点,但驻点只是极值点的必要条件,不是充分条件.另一方面,不可导点也可能是极值点,x yOx yO第73页/共112页74 这就是说,极值点要么是驻点,要么是不可导点,两者必居其一.我们把驻点和孤立的不可导点

13、统称为极值嫌疑点.下面给出两个充分条件,用来判别这些嫌疑点是否为极值点.第74页/共112页75定理2(极值存在的第一充分条件)一阶导数变号法第75页/共112页76例1解列表讨论极大值极小值第76页/共112页77例2解第77页/共112页78定理3(极值存在的第二充分条件)称为“二阶导数非零法”(1)记忆:几何直观；说明：(2)此法只适用于驻点,不能用于判断不可导点；第78页/共112页79例3解第79页/共112页80(1)确定函数的定义域；(4)用极值的第一或第二充分条件判定.注意 第二充分条件只能判定驻点的情形.求极值的步骤:(3)求定义域内部的极值嫌疑点(即驻点或 一阶导数不存在的

14、点)；第80页/共112页81二、函数的最值二、函数的最值极值是局部性的,而最值是全局性的.第81页/共112页82具体求法：第82页/共112页83例4解计算比较得第83页/共112页84 更进一步,若实际问题中有最大(小)值,且有惟一驻点,则不必判断极大还是极小,立即可以断定该驻点即为最大(小)值点.则若为极小值点必为最小值点，若为极大值点必为最大值点；说明:第84页/共112页85 将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？设小正方形的边长为x，则方盒的容积为 例5解axa-2x 第85页/共112页86 将边长为a的正方形铁

15、皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？求导得设小正方形的边长为x，则方盒的容积为 例5解第86页/共112页87 将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？求导得设小正方形的边长为x，则方盒的容积为 解例5第87页/共112页88 要做一个容积为V的圆柱形罐头筒，怎样设计才能使所用材料最省？hr设底半径为r,高为h，总的表面积为例6解即表面积最小.即高与底面直径相等.由实际问题,此时表面积最小.第88页/共112页89三、经济应用举例三、经济应用举例1.平均成本(AC)最低问题 例7设成

16、本函数为 则平均成本为得驻点 此时平均成本和边际成本均为4.一般,当平均成本最低时,平均成本与边际成本相等.第89页/共112页902.最大利润问题 例8利润函数为 解得驻点 第90页/共112页91一般,利润函数为 其中Q为产量,时,利润最大,其中MR和MC分别表示边际收益和边际成本(Marginal revenue,Marginal cost),“生产商为获得最大利润,应将产量调整到边际收益等于边际成本的水平”.这是微观经济学的一个重要结论.第91页/共112页92 3.最优批量库存问题例9解设分x批生产,则生产准备费和库存费之和为 得唯一驻点 第92页/共112页93练习练习：P180

17、习题4.41.(2)(4)(6)2.(3)(6)6.10.13.第93页/共112页94第五节第五节 函数图形的描函数图形的描绘绘一、曲线的渐近线1.水平渐近线例如有两条水平渐近线:xy(平行于x轴的渐近线)第94页/共112页95例如有两条铅直渐近线:2.铅直渐近线(垂直于x轴的渐近线)第95页/共112页963.斜渐近线斜渐近线求法:第96页/共112页97例1解第97页/共112页98第98页/共112页99二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘第一步第二步第三步第四步第五步第99页/共112页100例2解非奇非偶函数.列表不存在拐点极小值点间断点第100页/共112页101 C(-1,-

18、2)，E(2,1)，D(1,6)，作出函数的图形.xO yF(3,-2/9).B(-2,-3)，D曲线有水平渐近线 y -2和铅直渐近线 x 0。ABCDEF不存在拐点极小值点间断点描点:A(-3,-26/9)，第101页/共112页102例3解偶函数,图形关于y轴对称.第102页/共112页103拐点极大值列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:拐点第103页/共112页104第104页/共112页105例4解无奇偶性及周期性.列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:第105页/共112页106拐点极大值极小值无渐近线.补充点:第106页/共112页107小结小结 函数图形的描绘

19、综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.最大值最小值极大值极小值拐点上凹下凹单增单减第107页/共112页108P189 习题 4.51.(3)(4)(5)(7)2.(1)补充：练习练习：第108页/共112页109-2-112-2-112Ox yP189 习题4.5 2(1)第109页/共112页110 解：(1)定义域：(-,-1)(-1,+)。(3)列表y y(-,-2)-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,+)xy间断00极大值-极小值 0 (4)曲线有铅垂渐近线x-1及斜渐近线yx-1。第110页/共112页111xO y-11-1y y(-,-2)-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,+)xy间断00 (6)作出函数的图形。B(0,0)，(5)描点：A(-2,-4)，(4)曲线有铅垂渐近线x-1及斜渐近线yx-1。极大值-极小值 0第111页/共112页112感谢您的观看！第112页/共112页