优化模型与MATLAB优化工具箱24613.pptx

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1、数学建模讲座（数学建模讲座（2004年年7月月8月月 江西）江西）优化模型与优化模型与MATLAB优化工具箱优化工具箱谢金星谢金星清华大学数学科学系清华大学数学科学系Tel:010-62787812Email: MATLAB优化工具箱简介优化工具箱简介控制参数控制参数主要功能的使用主要功能的使用解非线性方程（组）：特殊的优化问题解非线性方程（组）：特殊的优化问题最小二乘法：特殊的优化问题最小二乘法：特殊的优化问题LP；QP;NLP 建模与求解实例（结合软件使用）建模与求解实例（结合软件使用）优化模型优化模型 实际问题中实际问题中的优化模型的优化模型x决策变量决策变量f(x)目标函数目标函数gi

2、(x)0约束条约束条件件数学规划数学规划线性规划线性规划(LP)二次规划二次规划(QP)非线性规划非线性规划(NLP)纯整数规划纯整数规划(PIP)混合整数规划混合整数规划(MIP)整数规划整数规划(IP)0-1整数规划整数规划一般整数规划一般整数规划连续规划连续规划MATLABMATLAB优化工具箱优化工具箱能求解的优化模型能求解的优化模型优化工具箱优化工具箱3.0(MATLAB7.0R14)连续优化连续优化离散优化离散优化无约束优化无约束优化非线性非线性极小极小fminunc非光滑非光滑(不可不可微微)优化优化fminsearch非线性非线性方方程程(组组)fzerofsolve全局全局优

3、化优化暂缺暂缺非线性非线性最小二乘最小二乘lsqnonlinlsqcurvefit线性规划线性规划linprog纯纯0-1规划规划bintprog一般一般IP(暂缺暂缺)非线性规划非线性规划fminconfminimaxfgoalattainfseminf上下界约束上下界约束fminbndfminconlsqnonlinlsqcurvefit约束线性约束线性最小二乘最小二乘lsqnonneglsqlin约束优化约束优化二次规划二次规划quadprogMATLABMATLAB优化工具箱优化工具箱能求解的优化模型能求解的优化模型xi=0,1MATLABMATLAB优化工具箱优化工具箱能求解的优化模

4、型能求解的优化模型MATLABMATLAB优化工具箱优化工具箱能求解的优化模型能求解的优化模型MATLABMATLAB优化工具箱优化工具箱能求解的优化模型能求解的优化模型需要掌握的几个重要方面需要掌握的几个重要方面问题模型及其输入格式问题模型及其输入格式输出格式及其含义输出格式及其含义选项选项(OPTIONS)函数函数选项的含义选项的含义optimset函数函数optimget函数函数 fzero:fzero:单变量方程单变量方程 f(x)=0 f(x)=0 求根求根(变号点变号点)最简形式最简形式x=fzero(f,x0)可选输入可选输入:“P1,P2,.”是传给是传给f.m的参数的参数(如

5、果需要的话如果需要的话)opt是一个结构变量，控制参数是一个结构变量，控制参数(如精度如精度TolX)输出输出:fv fv是函数值是函数值;ef;ef是停止原因是停止原因(1,0,-1);(1,0,-1);out out是一个结构变量，包含是一个结构变量，包含:iterations(iterations(迭代次数迭代次数),funcCount(),funcCount(函数调用次数函数调用次数),),algorithm(algorithm(所用算法所用算法)一般形式一般形式x,fv,ef,out=fzero(f,x0,opt,P1,P2,.)必须输入必须输入:f f为为f.mf.m的函数名的函数

6、名,x0,x0是迭代初值是迭代初值(或有根区间或有根区间)输出输出:x x是近似变号点是近似变号点(函数不连续时不一定是根函数不连续时不一定是根)演示演示:exampleFzero.mfs fsolve:olve:多变量方程组多变量方程组F(x)=0F(x)=0求解求解输出输出 -与与fzerofzero类似类似,但但out中输出更多：还输出中输出更多：还输出firstorderopt,即结果（即结果（x x点）处梯度向量的范数点）处梯度向量的范数(实际上是实际上是1-1-范数，即分量按绝对值取最大的值范数，即分量按绝对值取最大的值););jac 输出输出x x点所对应的雅可比矩阵点所对应的雅

7、可比矩阵输入输入 -与与fzerofzero类似类似,但但 opt中控制参数更多中控制参数更多 (如如MaxFunEvals,MaxIterMaxFunEvals,MaxIter等等)最简形式最简形式x=fsolve(f,x0)一般形式一般形式x,fv,ef,out,jac=fsolve(f,x0,opt,P1,P2,.)注注:solve函数也可求解函数也可求解(符号工具箱符号工具箱)演示演示:exampleFsolve.m;exampleSolve.mfminunc:无约束优化无约束优化基本用法：基本用法：x=fminunc(fun,x0)x=fminunc(fun,x0,options,P

8、1,P2,.)fun.m f(x)的的m文件名文件名x0初始点初始点;x最优解最优解P1,P2,传给传给fun的参数的参数中间输入项缺省用中间输入项缺省用占据位置占据位置function y=fun071(x,a,b)y=x(1)2/a+x(2)2/b;x0=1,1;a=2;b=2;x=fminunc(fun071,x0,a,b)X=(0,0)examp071.m控制参数设定控制参数设定/获取获取:optimset;optimget:optimset;optimgetOptimset /显示控制参数显示控制参数opt=optimset /控制参数设为控制参数设为(即缺省值即缺省值)optims

9、et optfun /显示显示optfun的控制参数的控制参数opt=optimset(optfun)/optfun控制参数缺省值控制参数缺省值Opt=optimset(par1,val1,par2,val2,.)Opt=optimset(oldopts,par1,val1,.)opt=optimset(oldopts,newopts)val=optimget(opt,par1,par2,)val=optimget(opt,par1,par2,default)Diagnostics on|off/是否显示诊断信息是否显示诊断信息Display off|iter|final|notify/显示信

10、息的级别显示信息的级别GradObj on|off/是否采用分析梯度是否采用分析梯度Jacobian on|off /采用分析采用分析Jacob阵（用于约束优化中）阵（用于约束优化中）LargeScale on|off/是否采用是否采用大规模算法大规模算法MaxFunEvals 最大函数调用次数最大函数调用次数MaxIter 最大迭代次数最大迭代次数TolCon 约束的控制精度（用于约束优化中）约束的控制精度（用于约束优化中）TolFun 函数值的控制精度函数值的控制精度TolX 解的控制精度解的控制精度主要主要控制参数（对大控制参数（对大/中规模算法均有效）中规模算法均有效）最一般的输出形式

11、最一般的输出形式x,f,exitflag,out,grad,hess=fminunc(.)f 目标函数值目标函数值exitflag 0收敛收敛,0达到函数或迭代次数达到函数或迭代次数,1 g=.%gradient of the function if nargout 2 H=.%Hessianendnlcon.m给出约束,GradConstr=on时还给出梯度,形式为例：例：求求min(Rosenbrock)s.t.Examp084.mfunction c1,c2,GC1,GC2=nlcon(x)c1=.%nonlinear inequalities at xc2=.%nonlinear eq

12、ualities at xif nargout 2 GC1=.%gradients of c1 GC2=.%gradients of c2end非线性规划非线性规划例例加工奶制品的生产计划加工奶制品的生产计划1桶牛奶 3公斤A1 12小时 8小时 4公斤A2 或获利24元/公斤 获利16元/公斤 50桶牛奶桶牛奶时间时间480小时小时 至多加工至多加工100公斤公斤A1制订生产计划，使每天获利最大制订生产计划，使每天获利最大 35元可买到元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少?可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元可聘用临时工人，付出的工资最多是每小

13、时几元?A1的获利增加到的获利增加到30元元/公斤，应否改变生产计划？公斤，应否改变生产计划？每天：每天：1桶牛奶 3公斤A1 12小时 8小时 4公斤A2 或获利24元/公斤 获利16元/公斤 x1桶牛奶生产桶牛奶生产A1x2桶牛奶生产桶牛奶生产A2获利获利243x1获利获利164 x2原料供应原料供应 劳动时间劳动时间 加工能力加工能力 决策变量决策变量 目标函数目标函数 每天获利每天获利约束条件约束条件非负约束非负约束 线性线性规划规划模型模型(LP)时间时间480小时小时 至多加工至多加工100公斤公斤A150桶牛奶桶牛奶每天每天milk01LP.m原油生产计划原油生产计划原油类别原油

14、类别 买入价买入价(元元/桶桶)买入量买入量(桶桶/天天)辛烷值辛烷值(%)硫含量硫含量(%)A455000120.5B35500062.0C25500083.0汽油类别汽油类别卖出价卖出价(元元/桶桶)需求量需求量(桶桶/天天)辛烷值辛烷值(%)硫含量硫含量(%)甲甲703000101.0乙乙60200082.0丙丙50100061.01:1 加工费:4元/桶 能力:=14000桶/天I:安排生产计划，在满足需求的条件下使利润最大 决策变量：目标：甲甲(3000)乙乙(2000)丙丙(1000)A/45X1X2X3B/35X4X5X6C/25X7X8X9约束：总利润最大 需求限制；原料限制；

15、含量限制；非负限制 含量限制非负限制 原料限制需求限制约束总盈利：总盈利：126000元 c=454545353535252525;a1=100100100;010010010;001001001;a2=111000000;000111000;000000111;-1200-600-800;0-1200-600-80;00-1200-600-8;0.500200300;00.50020030;0 00.5002003;b1=3000 20001000;b2=5000 50005000-30000-16000-6000300040001000;v1=zeros(1,9);x f=linprog(

16、c,a2,b2,a1,b1,v1)z=356000-f甲甲(3000)乙乙(2000)丙丙(1000)A/452400800800B/35000C/256001200200II:通过广告增加销售(1元广告费：增加10桶销售)决策变量：目标：甲甲(3000+)乙乙(2000+)丙丙(1000+)A/45X1X2X3B/35X4X5X6C/25广告广告销售销售X7X103000+10X10X8X112000+10X11X9X121000+10X12约束：总利润最大需求限制；原料限制；产量限制；含量限制；非负限制 含量限制非负限制 产量限制原料限制需求限制约束总盈利：总盈利：287750元 c=49

17、 49 49 39 39 39 29 2929-699-599-499;a1=1 0 0 100100 -100 0;0 1 0 010010 0 -10 0;0 0 1 001001 00 -10;a2=1110000 0 0 0 0 0;0001110 0 0 0 0 0;0000001 1 1 0 0 0;-1200-600-8 0 0 1000 0;0-1200-600 -8 0080 0;00-1200-60 0-800 60;0.5002003 0 0-100 0;00.500200 3 00-20 0;000.50020 0 300 -10 000000 0 001 1 1;b1

18、=300020001000;b2=500050005000-30000-16000-6000 3000 4000 1000800;v1=zeros(1,12);x f=linprog(c,a2,b2,a1,b1,v1)z=380000-f甲甲(3000)乙乙(2000)丙丙(1000)A/452121.82185.3692.9B/35695.54036.8267.6C/25广告广告182.703277.9750 39.40外汇兑换外汇兑换假设假设：每天每种货币最多只兑换他种货币一次：每天每种货币最多只兑换他种货币一次要求要求：安排兑换方案，：安排兑换方案，按美元计算的按美元计算的价值最大价值最

19、大美元美元英镑英镑马克马克日元日元现有量现有量(108)需求量需求量(108)美元美元1.589281.743138.386英镑英镑1.69712.9579234.713马克马克.57372.33808179.34681日元日元.007233.00426.01261010美元美元英镑英镑 马克马克日元日元现有量现有量(108)需求量需求量(108)美元美元X1X2X3X486英镑英镑X5X6X7X813马克马克X9X10X11X1281日元日元X13X14X15X16010(开始没有日元，可不考虑x13x16)需求限制决策变量：目 标：资源限制非负限制 约束x1x12按美元计算的价值最大s=1

20、0.58928 1.743138.3;1.69712.9579234.7;0.573720.33808 179.346;0.0072330.00426 0.01261;s2=(s(2,1)+1/s(1,2)/2;s3=(s(3,1)+1/s(1,3)/2;s4=(s(4,1)+1/s(1,4)/2;c1=1s(1,2)*s2s(1,3)*s3s(1,4)*s4;c2=s(2,1)s2s(2,3)*s3s(2,4)*s4;c3=s(3,1)s(3,2)*s2s3s(3,4)*s4;c4=s(4,1)s(4,2)*s2s(4,3)*s3s4;c=-c1c2c3c4;Ae=ones(1,4),zer

21、os(1,12);zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,8);zeros(1,8),ones(1,4),zeros(1,4);zeros(1,12),ones(1,4);A=-1000-s(2,1)000-s(3,1)000-s(4,1)000;0-s(1,2)000-1000-s(3,2)000-s(4,2)00;00-s(1,3)000-s(2,3)000-1000-s(4,3)0;000-s(1,4)000-s(2,4)000-s(3,4)000-1;be=8180;b=-6-3-1-10;v1=zeros(1,16);x,f=linprog(c,A,b,Ae,be,

22、v1)z=-c*x美元美元英镑英镑马克马克日元日元美元美元2.90905.091000英镑英镑 0001.0000马克马克 5.387601.0000 1.6124最大利润为14.2872(亿美元)丁的蛙泳成绩退步到丁的蛙泳成绩退步到115”2；戊的自由泳成绩进；戊的自由泳成绩进步到步到57”5,组成接力队的方案是否应该调整组成接力队的方案是否应该调整？如何选拔队员组成如何选拔队员组成4 4 100100米混合泳接力队米混合泳接力队?例例混合泳接力队的选拔混合泳接力队的选拔甲甲乙乙丙丙丁丁戊戊蝶泳蝶泳106”857”2118”110”107”4仰泳仰泳115”6106”107”8114”211

23、1”蛙泳蛙泳127”106”4124”6109”6123”8自由泳自由泳58”653”59”457”2102”45名候选人的名候选人的百米成绩百米成绩穷举法穷举法：组成接力队的方案共有组成接力队的方案共有5!=120种种。目标目标函数函数若选择队员若选择队员i参加泳姿参加泳姿j 的比赛，记的比赛，记xij=1,否则记否则记xij=0 0-1规划规划 cij(秒秒)队员队员i 第第j 种泳姿的百米成绩种泳姿的百米成绩约束约束条件条件每人最多入选泳姿之一每人最多入选泳姿之一ciji=1i=2i=3i=4i=5j=166.857.2787067.4j=275.66667.874.271j=38766

24、.484.669.683.8j=458.65359.457.262.4每种泳姿有且只有每种泳姿有且只有1 1人人 模型求解模型求解 最最优优解解：x14=x21=x32=x43=1,其它变量为其它变量为0;成成绩绩为为253.2(秒秒)=413”2甲甲乙乙丙丙丁丁戊戊蝶泳蝶泳106”857”2118”110”107”4仰泳仰泳115”6106”107”8114”2111”蛙泳蛙泳127”106”4124”6109”6123”8自由泳自由泳58”653”59”457”2102”4甲甲自由泳、乙自由泳、乙蝶泳、丙蝶泳、丙仰泳、丁仰泳、丁蛙泳蛙泳.丁蛙泳丁蛙泳c43=69.675.2，戊自由泳，戊自

25、由泳c54=62.457.5,方案是否调整？方案是否调整？敏感性分析？敏感性分析？乙乙蝶泳、丙蝶泳、丙仰泳、仰泳、丁丁蛙泳、戊蛙泳、戊自由泳自由泳IP规划一般没有与规划一般没有与LP规划相类似的理论规划相类似的理论最优解：最优解：x21=x32=x43=x51=1,成绩为成绩为417”7c43,c54 的新数据重新输入模型求解的新数据重新输入模型求解 指派指派(Assignment)问题问题：每项任务有且只有一人承担，每项任务有且只有一人承担，每人只能承担一项每人只能承担一项，效益不同，怎样分派使总效益最大，效益不同，怎样分派使总效益最大.讨讨论论甲甲自由泳、乙自由泳、乙蝶泳、蝶泳、丙丙仰泳、

26、丁仰泳、丁蛙泳蛙泳.原原方方案案50万元基金用于投资三种股票万元基金用于投资三种股票A、B、C：A每股年期望收益每股年期望收益5元元(标准差标准差2元元)，目前市价，目前市价20元；元；B每股年期望收益每股年期望收益8元元(标准差标准差6元元)，目前市价，目前市价25元；元；C每股年期望收益每股年期望收益10元元(标准差标准差10元元)，目前市价，目前市价30元；元；股票股票A、B收益的相关系数为收益的相关系数为5/24;股票股票A、C收益的相关系数为收益的相关系数为0.5;股票股票B、C收益的相关系数为收益的相关系数为0.25。例：投资组合问题例：投资组合问题如期望今年得到至少如期望今年得到

27、至少20%20%的投资回报，应如何投资？的投资回报，应如何投资？投资回报率与风险的关系如何？投资回报率与风险的关系如何？假设：假设：1、基金不一定要用完（不用不计利息或贬值）、基金不一定要用完（不用不计利息或贬值）2、风险通常用收益的方差或标准差衡量、风险通常用收益的方差或标准差衡量决策变量决策变量x1、x2和和 x3分别表示投资分别表示投资A、B、C的数量的数量（国内股票通常以（国内股票通常以“一手一手”（100股）为最小单位出售，股）为最小单位出售，这里以这里以100股为单位，期望收益以百元为单位）股为单位，期望收益以百元为单位）例：投资组合问题例：投资组合问题A、B、C每手每手(百股百股

28、)的收益分别记为的收益分别记为S1,S2和和S3(百元百元)：ES1=5,ES2=8,ES3=10，DS1=4,DS2=36,DS3=100，r12=5/24,r13=-0.5，r23=-0.25 总收益总收益S=x1S1+x2S2+x3S3：是一个随机变量：是一个随机变量投资风险（总收益的方差）为投资风险（总收益的方差）为 例：投资组合问题例：投资组合问题总期望收益为总期望收益为 Z1=ES=x1ES1+x2ES2+x3ES3=5x1+8x2+10 x3总收益总收益S=x1S1+x2S2+x3S3：是一个随机变量：是一个随机变量解得解得x=1.0e+002*（1.3111，0.1529，0.

29、2221）如果一定要整数解，可以四舍五入到（如果一定要整数解，可以四舍五入到（131，15，22）如利用如利用LINGO软件软件,可得整数最优解可得整数最优解(132，15，22)用去资金为用去资金为132 20+15 25+22 30=3675（百元）（百元）期望收益为期望收益为132 5+15 8+22 10=1000（百元）（百元）风险风险(方差方差)为为68116，标准差约为，标准差约为261（百元）（百元）例：投资组合问题例：投资组合问题s.t.5x1+8x2+10 x3 1000 20 x1+25x2+30 x3 5000 x1，x2，x3 0 通过试探发现通过试探发现从从0.00

30、010.1以以0.0001的的步长变化就可以得到步长变化就可以得到很好的近似结果很好的近似结果 例：投资组合问题例：投资组合问题MinZ=Z2-Z1 s.t.20 x1+25x2+30 x3 5000 x1，x2，x3 0 加权加权模型模型投资股票投资股票A、B、C分别分别为为153、35、35（手）（手）例：选址问题例：选址问题某公司有某公司有6个建筑工地，位置坐标为个建筑工地，位置坐标为(ai,bi)(单位：公里单位：公里),水泥日用量水泥日用量di(单位：吨）单位：吨）假设：假设：料场料场和工地之间和工地之间有直线道路有直线道路用例中数据计算，最优解为总吨公里数为总吨公里数为总吨公里数为

31、总吨公里数为136.2136.2线性规划模型线性规划模型决策变量：决策变量：ci j(料场料场j到到工地工地i的的运量）运量）12维维Shili084lin.m选址问题：选址问题：NLPNLP2）改建两个新料场，需要确定新料场位置）改建两个新料场，需要确定新料场位置(xj,yj)和和运量运量cij，在其它条件不变下使总吨公里数最小。，在其它条件不变下使总吨公里数最小。决策变量：决策变量：ci j，(xj,yj)16维维非线性规划模型非线性规划模型结果：结果：总吨公里数总吨公里数为为85.3，但局部最优，但局部最优解问题严重解问题严重Shili084.m:shili084fun.m决策变量：决策

32、变量：ci，(xj,yj)10维维计算方法的改善计算方法的改善局部最优解问题有所改进Shili0841.m:shili0841fun.m+为工地,数字为用量;*为新料场,数字为供应量。0yxVOR2x=629,y=375309.00(1.30)864.3(2.0)飞机x=?,y=?VOR1x=764,y=1393161.20(0.80)VOR3x=1571,y=25945.10(0.60)北DMEx=155,y=987飞机与监控台（图中坐标和测量距离的单位是“公里”）例：飞机精确定位问题例：飞机精确定位问题 飞机精确定位模型飞机精确定位模型不考虑误差因素不考虑误差因素超定方程组，超定方程组，非

33、线性最小二乘！非线性最小二乘！量纲不符！量纲不符！飞机精确定位模型飞机精确定位模型考虑误差因素考虑误差因素Min x;Min y;Max x;Max y.以距离为约束，优化角度误差之和（或平方和）；以距离为约束，优化角度误差之和（或平方和）；或以角度为约束，优化距离误差或以角度为约束，优化距离误差.非线性规划非线性规划误差非均匀分布！误差非均匀分布！仅部分考虑误差仅部分考虑误差!角度与距离的角度与距离的“地位地位”不应不同！不应不同！有人也可能会采用其他目标，如：有人也可能会采用其他目标，如：飞机坐标飞机坐标(978.31，723.98),误差平方和误差平方和0.6685(4)飞机精确定位模型

34、飞机精确定位模型误差一般服从什么分布？误差一般服从什么分布？正态分布！正态分布！不同的量纲如何处理？不同的量纲如何处理？无约束非线性最小二乘模型无约束非线性最小二乘模型归一化处理！归一化处理！角度需要进行预处理，角度需要进行预处理，如利用如利用atan2函数函数,值域值域(-pi,pi)例例 路灯照明路灯照明 道路两侧分别安装路灯，在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时，道路两侧分别安装路灯，在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时，两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？h2P2P1sh1如果如果P2的高度可以在的高度可以在3米到米到9米之间变化，如何使路面

35、上最暗点米之间变化，如何使路面上最暗点的亮度最大？的亮度最大？如果两只路灯的高度均可以在如果两只路灯的高度均可以在3米到米到9米之间变化呢？米之间变化呢？s=20(米米)P1=2,P2=3(千瓦千瓦)h1=5,h2=6(米米)例例 路灯照明路灯照明 建立坐标系如图，两个光源在点建立坐标系如图，两个光源在点Q(x,0)的照度分别为的照度分别为(k是由量纲单位决定的比是由量纲单位决定的比例系数，不妨记例系数，不妨记k=1)点点Q的照度的照度 x x 2 1 O h2P2r1 P1s r2 h1yQ例例 路灯照明路灯照明 为求最暗点和最亮点，先求为求最暗点和最亮点，先求C(x)的驻点的驻点 x x

36、2 1 O h2P2r1 P1s r2 h1y令令C(x)=0：解析解是难以求出，需数值求解：解析解是难以求出，需数值求解Q例例 路灯照明路灯照明 C(x)有有3个驻点个驻点:(9,10)内的是最小点，内的是最小点，0或或20附近的是最大点附近的是最大点例例 路灯照明路灯照明 x00.028489979.3382991419.9766958120C(x)0.081977160.081981040.018243930.084476550.08447468x=9.3383是是C(x)的最小值点，的最小值点，x=19.9767是是C(x)的最大值点的最大值点例例 路灯照明路灯照明 问题：问题：P2=

37、3千瓦路灯的高度在千瓦路灯的高度在39米变化，如何使路面上最暗点米变化，如何使路面上最暗点的照度最大的照度最大?类似地，用类似地，用fzero命令解方程，得到的结果是：命令解方程，得到的结果是：x=9.5032，h2=7.4224，C(x,h2)=0.018556(最暗点的最大照度最暗点的最大照度)=0 =0 例例 路灯照明路灯照明 问题：讨论两只路灯的高度均可以在39米之间变化的情况 实际数据计算，得到x=9.3253,最暗点的照度达到最大的路灯高度 h1=6.5940,h2=7.5482=0 =0 =0 例例 路灯照明路灯照明 讨论讨论1：若若P1=P2,则则x=0.5s(中点中点)，与直觉符合与直觉符合思考：思考：2只以上路灯的情形（如篮球场四周安装照明灯）只以上路灯的情形（如篮球场四周安装照明灯）x x 2 1 O h2P2r1 P1s r2 h1yQ讨论讨论2：（这个角度与路灯的功率和道路宽度均无关（这个角度与路灯的功率和道路宽度均无关）谢谢观看/欢迎下载BY FAITH I MEAN A VISION OF GOOD ONE CHERISHES AND THE ENTHUSIASM THAT PUSHES ONE TO SEEK ITS FULFILLMENT REGARDLESS OF OBSTACLES.BY FAITH I BY FAITH