同济大学高等数学第六上 极限运算法则.pptx

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1、1.定义:极限为零的变量称为无穷小.例如,第1页/共32页注意1.称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；2.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;3.零是可以作为无穷小的唯一的数.第2页/共32页2.无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性第3页/共32页意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3.无穷小的运算性质:定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证第4页/共32页注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.第5页/共32页定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证第6页/共32页推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是

2、无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小第7页/共32页二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.第8页/共32页特殊情形：正无穷大，负无穷大注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.第9页/共32页无界，不是无穷大第10页/共32页证第11页/共32页三、无穷小与无穷大的关系定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证第12页/共32页意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.第13页/共32页四、极限运算法则定理证由无穷小运算法则,得第14页/共32页第15页/共32页有界

3、，注此定理对于数列同样成立此定理证明的基本原则：(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数(2)有两个重要的推论第16页/共32页推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2定理的条件：存在商的情形还须加上分母的极限不为0定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立第17页/共32页五、求极限方法举例例1解第18页/共32页小结:第19页/共32页例2解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得第20页/共32页例3解(消去零因子法)第21页/共32页例4解(无穷小因子分出法)第22页/共32页小结:无穷小分出法:以分母

4、中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.第23页/共32页例5解先变形再求极限.第24页/共32页 由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的关系求极限。六、复合函数极限定理 （复合函数极限运算法则变量代换法则）第25页/共32页证由极限定义得第26页/共32页此定理表明：则可作代换极限过程的转化注可得类似的定理第27页/共32页无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:（1）无穷小（大）是变量

5、,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大.六、小结第28页/共32页3.极限的四则运算法则及其推论;4.极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.第29页/共32页思考题1思考题2 在某个过程中，若 有极限，无极限，那么 是否有极限？为什么？第30页/共32页思考题1解答不能保证.例有思考题2解答没有极限假设 有极限，有极限，由极限运算法则可知：必有极限，与已知矛盾，故假设错误第31页/共32页谢谢您的观看！第32页/共32页