同济大学 高等数学上D全微分.pptx

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1、一一、全微分的定义、全微分的定义 定义:如果函数 z=f (x,y)在定义域 D 的内点(x,y)可表示成其中 A,B 不依赖于 x,y,仅与 x,y 有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域 D 内各点都可微,则称函数 f(x,y)在点(x,y)可微，机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量则称此函数在D 内可微.第1页/共25页(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义由微分定义:得函数在该点连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即第2页/共25页定理定理1 1(必要条件必要

2、条件)若函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数同样可证证:由全增量公式必存在,且有得到对 x 的偏增量因此有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共25页反例:函数易知 但因此,函数在点(0,0)不可微.注意:定理1 的逆定理不成立.偏导数存在函数 不一定可微 !即:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共25页定理定理2(充分条充分条件件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共25页所以函数在点可微.机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意到,故有第6页/共25页推广推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性

3、问题.例如,三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,记作故有下述叠加原理称为偏微分.的全微分为于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共25页例例1.计算函计算函数数在点(2,1)处的全微分.解:例2.计算函数的全微分.解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共25页可知当*二、全微分在数值计算中的应二、全微分在数值计算中的应用用1.近似计算由全微分定义较小时,及有近似等式:机动 目录 上页 下页 返回 结束(可用于近似计算;误差分析)(可用于近似计算)第9页/共25页半径由 20cm 增大解:已知即受压后圆柱体体积减少了 例例3.有一圆柱体受压后发生形变有一圆柱体受压后发生形

4、变,到 20.05cm,则 高度由100cm 减少到 99cm,体积的近似改变量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 求此圆柱体第10页/共25页例例4.4.计算计算的近似值.解:设,则取则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共25页分别表示 x,y,z 的绝对误差界,2.误差估计误差估计利用令z 的绝对误差界约为z 的相对误差界约为机动 目录 上页 下页 返回 结束 则第12页/共25页特别注意特别注意类似可以推广到三元及三元以上的情形.乘除后的结果相对误差变大很小的数不能做除数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共25页例例5.利用公利用公式式求计算面积时的绝对误差与相

5、对误差.解：故绝对误差约为又所以 S 的相对误差约为计算三角形面积.现测得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共25页例例6 6.在直流电路中在直流电路中,测得电压 U=24 伏,解:由欧姆定律可知(欧)所以 R 的相对误差约为0.3 +0.5 R 的绝对误差约为0.8 0.3;定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差.相对误差为 测得电流 I=6安,相对误差为 0.5 ,=0.032(欧)=0.8 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求用欧姆第15页/共25页内容小结内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16

6、页/共25页3.微分应用微分应用 近似计算 估计误差绝对误差相对误差机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共25页思考与练习思考与练习1.P72 题 1(总习题八)函数在可微的充分条件是()的某邻域内存在;时是无穷小量;时是无穷小量.2.选择题机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共25页 答案:也可写作:当 x=2,y=1,x=0.01,y=0.03 时 z=0.02,d z=0.03 3.P73 题题 7机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共25页4.设设解:利用轮换对称性,可得机动 目录 上页 下页 返回 结束(L.P245 例2)注意:x,y,z 具有 轮换对

7、称性 第20页/共25页答案答案:作业 P24 1(3),(4);3;5;8;10 5.已已知知第四节 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共25页在点(0,0)可微.备用题备用题在点(0,0)连续且偏导数存在,续,证:1)因故函数在点(0,0)连续;但偏导数在点(0,0)不连 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明函数所以第22页/共25页同理极限不存在,在点(0,0)不连续;同理,在点(0,0)也不连续.2)3)题目 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共25页4)下面证明可微:说明:此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.令则题目 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共25页谢谢您的观看！第25页/共25页