微分中值定理是极值问题洛必达法则的理论基础.pptx

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1、第一节 导数的应用-中值定理本节课的主要内容：一个引理（费尔马定理），三个定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）。第1页/共58页费马定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理 微分中值定理第2页/共58页一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理 通常称导数为零的点为函数驻点（或称为稳定点，临界点）。引理（费尔马Fermat定理）局部最值（极值点）可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.第3页/共58页费马定理的几何解释 如何证明？第4页/共58页引理（费尔马Fermat定理）证明思路：第5页/共58页证明第6页/共58页保号性第7页/共58页例如,The the

2、orem of Rolle第8页/共58页点击图片任意处播放暂停物理解释:变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.几何解释:第9页/共58页分析：第10页/共58页证明：第11页/共58页第12页/共58页 注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,第13页/共58页例如,第14页/共58页例如,第15页/共58页例1分析134页12第16页/共58页证例1第17页/共58页第18页/共58页练 习证证134页 5第19页/共58页其中,综上所述,第20页/共58页连续可微端点函数值相等例2分析第21页/共58页由罗尔定理,至少存在一点证第22页/共58页分析问题的条件

3、,作出辅助函数是证明的关键.第23页/共58页练 习证证第24页/共58页 对于罗尔定理中的第三个条件对于罗尔定理中的第三个条件 ，很多函数都，很多函数都不满足不满足，这样就限制了罗，这样就限制了罗尔定理的适用范围。要是能取消就好了。尔定理的适用范围。要是能取消就好了。第25页/共58页拉格朗日中值公式二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定中值定理理第26页/共58页几何解释:第27页/共58页分析:第28页/共58页分析:第29页/共58页第30页/共58页证明：第31页/共58页第32页/共58页注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的

4、关系.拉格朗日中值定理又称有限增量定理.微分中值定理拉格朗日中值公式又称有限增量公式.第33页/共58页某一时刻达到它的平均速度.拉格朗日中值定理告诉我们,在 t=a 到t=b 的时间段内,连续运动的物体至少会在第34页/共58页推论注：证明：第35页/共58页第36页/共58页例3证第37页/共58页 练 习证第38页/共58页证由上式得例4第39页/共58页第40页/共58页证 练 习第41页/共58页 对于对于拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理，需要求函数的，需要求函数的导导数，我们知道对于参数方程（尤其是无法数，我们知道对于参数方程（尤其是无法消消参的参数方程）求导比较困难。于是我们，参

5、的参数方程）求导比较困难。于是我们，找到了更一般的找到了更一般的柯西中值定理柯西中值定理。如何用中值定理表述？第42页/共58页三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理第43页/共58页第44页/共58页几何解释:第45页/共58页有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理,就可证明柯西中值定理了.第46页/共58页分析:第47页/共58页第48页/共58页证明：第49页/共58页第50页/共58页例4分析:第51页/共58页证第52页/共58页分析 练 习第53页/共58页证证第54页/共58页第55页/共58页 总结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.第56页/共58页作业作业习题习题3-1 13-1 1、4 4、5 5、7 7、8 8、9 9、1212、1414第57页/共58页感谢您的观看！第58页/共58页