微分方程的相关基本知识电路用.pptx

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1、1第一节第一节 微分方程的基本概微分方程的基本概念念 在工程技术，力学与物理学等自然科学以及经济学与管理学等各个领域中，经常需要确定变量间的函数关系.在很多情况下，必须建立不仅包含这些函数本身，而且还包含着这些函数的导数或微分的方程或方程组才有可能确定这些函数关系，这样的方程就是微分方程.在本章中将要介绍微分方程的一些基本概念，还要学习最重要的几类一阶微分方程与二阶常系数线性微分方程的解法以及它们的简单应用.第1页/共63页2定义 含有自变量，自变量的未知函数以及未知函数的若干阶导数或微分的函数方程称为微分方程.定义 出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或微分的阶数，称为微分方程的阶.未知函

2、数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.在本书中只讨论常微分方程，如下例：一阶二阶一阶第2页/共63页3定义 使方程成为恒等式的函数称微分方程的解.微分方程的解的分类：(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解:不含任意常数的解.定解条件:用来确定任意常数的条件.第3页/共63页4初始条件:规定微分方程中的未知函数及其若干阶导数在某一点处的取值。过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.第4页/共63页5解第5页/共63页6第二

3、节第二节 一阶常系数线性微分方程的解一阶常系数线性微分方程的解法法第6页/共63页7一、可分离变量的方程一、可分离变量的方程为微分方程的通解.两边积分,为可分离变量的方程.称则第7页/共63页8解例1第8页/共63页9解例2分离变量，两边积分通解为 所求特解为第9页/共63页10二、齐次微分方程二、齐次微分方程的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换代入原式得1.定义两边积分即得通解.注意：须将u代回.第10页/共63页11例3解此题不能分离变量,是齐次方程,第11页/共63页12例4解第12页/共63页13第13页/共63页14三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准

4、形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.例如线性的;非线性的.第14页/共63页15齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法使用分离变量法第15页/共63页162.线性非齐次方程常数变易法：作变换积分得所以原方程的通解为:第16页/共63页17解例5通解为 第17页/共63页18齐次线性方程1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；3、方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解是(2)的解；4、方程(2)的任意两个解之差是(1)的解.线性方程解的性质线性方程解的性质非齐次线性方程那么方程(2)的通解为第18页/共63

5、页19那么方程(2)的通解为对应齐次方程的通解非齐次方程特解第19页/共63页20的特解,线性方程解的线性方程解的叠加性质叠加性质和的一个特解.第20页/共63页21电路中的一阶微分方程应用电路中的一阶微分方程应用第21页/共63页22第22页/共63页23第23页/共63页24第24页/共63页25第三节第三节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程的解法的解法第25页/共63页26二阶常系数二阶常系数齐次齐次线性方程解的性质线性方程解的性质回顾一阶齐次线性方程1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；第26页/共63页27一、二阶

6、常系数一、二阶常系数齐次齐次线性方程解的性线性方程解的性质质1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解；2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；也是(2)的解.(称线性无关),则上式为(2)的通解.定理1(2)第27页/共63页28二、二阶常系数二、二阶常系数齐次齐次线性方程的线性方程的解法解法 代数方程(3)称为微分方程(2)的特征方程,它的根称为特征根(或特征值).(3)(2)第28页/共63页29故它们线性无关,因此(2)的通解为(3)情形1 第29页/共63页30情形2 需要求另一个特解第30页/共63页31情形3 可以证明,是(2)的解，且线性无关，所以方程(2)的通解为

7、 第31页/共63页32小结 特征根的情况通解的表达式 实根实根复根第32页/共63页33解特征方程为故所求通解为例1例2解特征方程为解得故所求通解为特征根为第33页/共63页34解特征方程为故通解为例3特征根为第34页/共63页35电路中的二阶微分方程应用电路中的二阶微分方程应用第35页/共63页36第36页/共63页37第37页/共63页38对应齐次方程三、二阶常系数三、二阶常系数非齐次非齐次线性方程解的性质及求解线性方程解的性质及求解法法(1)(2)1、方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解是(1)的解；2、方程(1)的任意两个解之差是(2)的解.定理2那么方程(1)的通解为第

8、38页/共63页39问题归结为求方程(1)的一个特解.只讨论 f(x)的两种类型.用待定系数法求解.对应齐次方程三、二阶常系数三、二阶常系数非齐次非齐次线性方程解的性质及求解线性方程解的性质及求解法法(1)(2)那么方程(1)的通解为定理2第39页/共63页40则第40页/共63页41情形1 若 r 不是特征根,即情形2 若 r 是特征方程的单根,即第41页/共63页42情形3 若 r 是特征方程的二重根,即第42页/共63页43综上讨论设特解为其中第43页/共63页44解对应齐次方程通解特征方程特征根例4代入原方程,得 第44页/共63页45解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程，原方程通

9、解为例5得第45页/共63页46解对应齐次方程通解特征方程特征根例6代入方程,得第46页/共63页47解对应齐次方程通解特征方程特征根例6注意：现即即得这样比代入原方程要简便得多。第47页/共63页48解例7对应齐次方程通解特征方程特征根第48页/共63页49此时原方程的通解为 第49页/共63页50可以证明,方程(1)具有如下形式的特解:第50页/共63页51解例8所求通解为 对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得 第51页/共63页52解例9所求通解为 对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得 第52页/共63页53定理3(非齐次线性方程的叠加原理)和的特解,的一个特解,第53页/共63页54例10解代入得第54页/共63页55解代入得原方程通解为例10第55页/共63页56解例11是对应齐次方程的通解,但没有原方程的特解,故(B)也不对；二阶非齐次线性微分方程 第56页/共63页57第57页/共63页58解例12求导，原方程改写为再求导，第58页/共63页59对应齐次方程通解特征方程特征根代入得 第59页/共63页60初始条件:第60页/共63页61电路中的二阶微分方程应用电路中的二阶微分方程应用第61页/共63页62第62页/共63页63感谢您的观看！第63页/共63页