数理统计的基本概念.pptx

《数理统计的基本概念.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数理统计的基本概念.pptx（42页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计 数理数理数理数理统计统计是以概率论的理论为基础、通过试验所得是以概率论的理论为基础、通过试验所得 数据来研究随机现象的一门数学分支，应用广泛，内容数据来研究随机现象的一门数学分支，应用广泛，内容 丰富。丰富。简 介 我我我我们仅们仅介介介介绍绍其有关参数估其有关参数估其有关参数估其有关参数估计计与参数假与参数假与参数假与参数假设检验设检验等基本等基本等基本等基本 内容。内容。概率概率概率概率论论是数理是数理是数理是数理统计统计的理的理的理的理论论基基基基础础,数理数理数理数理统计统计是概率是概率是概率是概率论论的的的的

2、重要应用。重要应用。第1页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计11、随机样本、随机样本 定义定义1 1 1 1 在数理在数理在数理在数理统计统计中，将所研究中，将所研究中，将所研究中，将所研究对对象的全体称象的全体称象的全体称象的全体称为为总总 体体(母体母体母体母体),),),),其中每个其中每个其中每个其中每个对对象称象称象称象称为为个体个体。由于通常关注的是研究由于通常关注的是研究由于通常关注的是研究由于通常关注的是研究对对象的某些个数量指象的某些个数量指象的某些个数量指象的某些个数量指标标,因此因此因此因此 也称这些数量指标取值的全体为总

3、体也称这些数量指标取值的全体为总体,其中每个元素称为其中每个元素称为 个体个体.一、总体与个体一、总体与个体一、总体与个体一、总体与个体一、总体与个体一、总体与个体 例如例如例如例如,检验检验灯泡厂生灯泡厂生灯泡厂生灯泡厂生产产的灯泡寿命的灯泡寿命的灯泡寿命的灯泡寿命:受受受受检检的全体灯泡就的全体灯泡就的全体灯泡就的全体灯泡就 是总体是总体,每个灯泡就是个体。也可理解：全体灯泡寿命数每个灯泡就是个体。也可理解：全体灯泡寿命数 值构成总体，每个灯泡的寿命数值为一个体。值构成总体，每个灯泡的寿命数值为一个体。第2页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统

4、计 又如又如又如又如,调查调查工大男生身高情况：工大全体男生就是工大男生身高情况：工大全体男生就是工大男生身高情况：工大全体男生就是工大男生身高情况：工大全体男生就是总总 体，每个工大男生就是一个个体。也可理解：全体工大男体，每个工大男生就是一个个体。也可理解：全体工大男 生身高数值构成总体，每个工大男生身高数值就是一个个生身高数值构成总体，每个工大男生身高数值就是一个个 体。体。灯泡的寿命灯泡的寿命灯泡的寿命灯泡的寿命检验检验是一个是一个是一个是一个破坏性试验破坏性试验,即当得知一个灯即当得知一个灯即当得知一个灯即当得知一个灯 泡寿命时泡寿命时,该灯泡的使用价值也就消失了该灯泡的使用价值也就

5、消失了.因此因此,不可能抽不可能抽 检每个灯泡检每个灯泡!可以逐一可以逐一可以逐一可以逐一测测量每个工大男生的身高量每个工大男生的身高量每个工大男生的身高量每个工大男生的身高,但但但但工作量大工作量大.而我而我而我而我 们仅需对工大男生身高情况有个大致了解们仅需对工大男生身高情况有个大致了解,因此因此,不必要抽不必要抽 测每个工大男生测每个工大男生!第3页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计 做法做法做法做法 从总体中随机地抽取若干个体从总体中随机地抽取若干个体(灯泡、工大男灯泡、工大男 生生),),),),测试其所需数据测试其所需数据(寿命、身

6、高寿命、身高),),),),最后对所得数据通过最后对所得数据通过 整理加工和分析来推断总体整理加工和分析来推断总体(这批灯泡寿命、工大男生身这批灯泡寿命、工大男生身 高高)的分布情况的分布情况,从而了解整体情况从而了解整体情况.一般一般一般一般,我我我我们们所研究的所研究的所研究的所研究的总总体的某体的某体的某体的某项项数量指数量指数量指数量指标标X X X X是一个随是一个随是一个随是一个随 机变量机变量,其取值在客观上有一定的分布其取值在客观上有一定的分布.因此因此,对总体的研对总体的研 究究,就是对相应的随机变量就是对相应的随机变量X X X X的研究。的研究。今后今后今后今后,我我我我

7、们们称称称称X X X X的分布函数和数字特征分的分布函数和数字特征分的分布函数和数字特征分的分布函数和数字特征分别为总别为总体的体的体的体的 分布函数和数字特征分布函数和数字特征,并不再区分总体与相应的随机变量并不再区分总体与相应的随机变量 X.X.X.X.对总对总体的称呼体的称呼体的称呼体的称呼:总体总体,总体总体X X X X与与总体总体F F F F.第4页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计 例如例如例如例如,当当当当XN(,XN(,2 2)时时,称称称称总总体体体体X X为为正正正正态总态总体体体体.正正正正态态 总总体体体体有以下三

8、种有以下三种有以下三种有以下三种类类型型型型:未知未知未知未知,但但但但 2 2已知已知已知已知;2 2未知未知未知未知,但但但但 已知已知已知已知;,2 2均未知均未知均未知均未知.第5页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计 数理统计的基本任务就是通过对从总体中抽取的 一部分个体(称为总体的样本)进行观察,根据所记录的 数据(样本值)经整理与加工,以推断总体的某些性质.“从总体中抽取一个个体”就是对总体进行一次观 察(试验),并记录其数据结果.在相同条件下对总体X进行n次独立、重复的观察,将n次试验结果依次记为 ,则称之为来自 总体X的容量为n

9、的一个简单随机样本;n次试验完成后 所得样本的一组观察值 称为样本值.二、样本与样本值二、样本与样本值二、样本与样本值二、样本与样本值二、样本与样本值二、样本与样本值第6页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计定义2 显然,若X的分布函数为F(x),则 的联合 分布函数为 定义定义2 2 2 2 设总设总体体体体X X X X的分布函数的分布函数的分布函数的分布函数为为F,F,F,F,若若若若X X X X1 1 1 1，X X X X2 2 2 2，X X X Xn n n n 是相互独立且具有相同分布函数是相互独立且具有相同分布函数F F F

10、F的的n n n n个随机变量个随机变量,则称则称 之是来自总体之是来自总体F(F(F(F(分布函数分布函数F,F,F,F,总体总体X)X)X)X)的容量为的容量为n n n n的的(简单随简单随 机机)样本样本,其其其其观观察察察察值值 称称称称为为样本值样本值。特别的,若X的概率密度为f(x),则 的联合 概率密度为第7页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计 若X的概率分布为p(x),则 的联合概率分 布为第8页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计 样本来自总体样本来自总体,必然携带有反映总体性

11、质的各种信必然携带有反映总体性质的各种信 息。息。后面介绍的内容仅限于有关总体参数的估计与推断，后面介绍的内容仅限于有关总体参数的估计与推断，称为称为参数估计参数估计与参数与参数假设检验假设检验。三、数理统计的基本任务三、数理统计的基本任务三、数理统计的基本任务三、数理统计的基本任务三、数理统计的基本任务三、数理统计的基本任务 数理统计的基本任务就是通过对样本的研究来对总数理统计的基本任务就是通过对样本的研究来对总 体的未知参数或分布类型作出体的未知参数或分布类型作出估计估计，对有关总体的假设，对有关总体的假设 作出作出推断推断。第9页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论

12、与数理统计概率论与数理统计总 体 X样本X1,X2,Xn样本值x1,x2,xn随机抽样 获得样本完成试验 获得数据整理加工 统计推断统计 工作第10页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计22、抽样分布、抽样分布一、统计量一、统计量一、统计量一、统计量一、统计量一、统计量 样样本是本是本是本是进进行行行行统计统计推断的依据。但在推断的依据。但在推断的依据。但在推断的依据。但在实际应实际应用用用用时时，一，一，一，一 般不是直接使用样本本身，而是对样本进行整理和加工般不是直接使用样本本身，而是对样本进行整理和加工,即即针对具体问题构造适当的函数针对具

13、体问题构造适当的函数统计量统计量,利用利用利用利用这这些函数些函数些函数些函数 来进行统计推断来进行统计推断,揭示总体的统计特性揭示总体的统计特性.定义定义3 3 3 3 设设X X X X1 1 1 1，X X X X2 2 2 2，X X X Xn n n n是来自总体是来自总体X X X X的样本的样本,x,x,x,x1 1 1 1，x x x x2 2 2 2，x x x xn n n n为其样本值为其样本值,则称则称不含任何总体分布中未知参数的不含任何总体分布中未知参数的连续函数连续函数 为为统计量统计量,相相相相应实应实数数数数 称为其观察值。称为其观察值。第11页/共42页河南理

14、工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计常用统计量常用统计量常用统计量有有有:样本均值(修正)样本方差(修正)样本标准差样本k阶原点矩样本k阶中心矩第12页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计说明说明说明说明 (修正)样本方差还可表示为【推导】第13页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计 样本方差 样本均值是样本一阶原点矩；样本方差是样本二阶 中心矩。上述各统计量的观察值为第14页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计 重要结

15、论：样本矩(的连续函数)依概率收敛 于总体矩(的连续函数)矩估计的理论基础。总体k阶(原点)矩 总体的期望就是其一阶矩:总体的方差:第15页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计 定义 性质 重要积分补充知识补充知识补充知识:-:-:-:-:-:-函数函数函数第16页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计 完全由完全由完全由完全由样样本确定的函数就是本确定的函数就是本确定的函数就是本确定的函数就是统计统计量。量。量。量。定义定义 设设X X X X1 1 1 1，X X X X2 2 2 2，X X X

16、 Xn n n n是来自标准正态总体是来自标准正态总体 N(0,1)N(0,1)N(0,1)N(0,1)的的的的样样本本本本,称称称称统计统计量量量量 下面下面下面下面,介介介介绍绍来自来自来自来自正态总体正态总体的几个重要统计量的分布的几个重要统计量的分布.1 1 1、2 22-分布分布分布分布分布分布(卡方分布卡方分布卡方分布卡方分布卡方分布卡方分布)服从自由度为服从自由度为n n n n的的2 2 2 2-分布分布分布分布,记为记为二、抽样分布二、抽样分布二、抽样分布二、抽样分布二、抽样分布二、抽样分布统计量是随机变量，它的分布称为统计量是随机变量，它的分布称为抽样分布抽样分布。第17页

17、/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计 -分布的概率密度为第18页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计 -分布的性质与数字特征 -分布的可加性:-分布的期望与方差为:上分位点(双侧/2分位点)定义定义 点点点点 为为 分布的分布的分布的分布的上上分位点分位点 第19页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计查附表5P.443:双侧分位点查附表5:第20页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计2 2 2、t-t-t

18、-分布分布分布 定义定义 设设 且且且且X X X X与与与与Y Y Y Y独立，独立，独立，独立，则则称称称称 随机变量随机变量服从自由度为服从自由度为n n n n的的t-t-t-t-分布分布分布分布,记为记为 t-t-分布的分布的概率密度概率密度为为第21页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计 t-t-分布的概率密度分布的概率密度性质性质 t-t-分布的概率密度为分布的概率密度为偶函数偶函数，且以，且以标准正态概率标准正态概率 密度密度为其极限为其极限(n(n)。第22页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概

19、率论与数理统计 上分位点(双侧/2分位点)定义定义 点点点点 为为 分布的分布的分布的分布的上上分位点分位点 查附表3P.441:第23页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计双侧/2分位点:显然,第24页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计3 3 3、F-F-F-分布分布分布 定义定义 设设 且且且且X X X X与与与与Y Y Y Y独立，独立，独立，独立，则则 称随机变量称随机变量服从自由度为服从自由度为(n(n(n(n1 1 1 1,n,n,n,n2 2 2 2)的的的的F-F-F-F-分布分

20、布分布分布,记为记为 F-F-分布的分布的概率密度概率密度为为第25页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计 F-F-分布的分布的性质性质由由F F F F分布定义可得：分布定义可得：第26页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计 上上 分位点分位点(双侧双侧/2/2分位点分位点)定义定义 点点点点 为为 分布的分布的分布的分布的上上分位点分位点 查附表5P.447:F分布上分位点有如下性质：第27页/共42页证明证明第28页/共42页第29页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与

21、数理统计概率论与数理统计三、样本均值与样本方差的分布三、样本均值与样本方差的分布三、样本均值与样本方差的分布三、样本均值与样本方差的分布三、样本均值与样本方差的分布三、样本均值与样本方差的分布 设总设总体体体体X X X X有均有均有均有均值值与方差：与方差：与方差：与方差：是来自是来自是来自是来自X(X(X(X(无无无无论论X X X X服从何种分布服从何种分布服从何种分布服从何种分布!)!)!)!)的一个的一个的一个的一个 样本，则总有样本，则总有:特别的特别的,当当 时时,样本均值样本均值 第30页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计 对对

22、于于于于单正态总体单正态总体N(,N(,N(,N(,2 2 2 2)的的的的均值均值与与方差方差有有:定理定理1 1 1 1 设设 是来自正是来自正是来自正是来自正态总态总体体体体N(,N(,N(,N(,2 2 2 2)的的的的 样本样本,则则 、独立独立.注意注意注意注意:即2卡方分布定义第31页/共42页证明证明且两者独立,由 t 分布的定义知定理定理第32页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计 定理定理2 2 2 2 设设X X X X1 1 1 1，X X X X2 2 2 2，X X X Xn n n n与与Y Y Y Y1 1 1 1

23、，Y Y Y Y2 2 2 2，Y Y Y Yn n n n分别是来分别是来 自正态总体自正态总体N(N(N(N(1 1 1 1,2 2 2 2),N(),N(),N(),N(2 2 2 2,2 2 2 2)的的的的样本样本,且这两个样且这两个样 本相互独立本相互独立,又又 分别为两样本的均值与方差分别为两样本的均值与方差,则则其中其中 对对于于于于同方差同方差的的双正态总体双正态总体N(N(N(N(1 1 1 1,2 2 2 2),N(),N(),N(),N(2 2 2 2,2 2 2 2)的的的的 均值差均值差有有:第33页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统

24、计概率论与数理统计 上面介绍的3个重要分布与4个重要公式在数理统计的区间估计与假设检验中有着重要应用，必须牢记!2 2-分布分布t-t-分布分布F-F-分布分布第34页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计 【例例1 1 1 1】在正态总体在正态总体N(12,4)N(12,4)中随机抽取容量为中随机抽取容量为5 5的样本的样本 X X1 1，X X2 2，X X3 3，X X4 4，X X5 5，试求，试求 （1）样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概 率；（2）（3）解正态总体样本均值的分布 (1)因为 所以 于是,第35页/共42页河南理工大

25、学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计 (2).(3).第36页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计解解t-t-分布分布,2 2-分布，分布，F-F-分布。分布。因为因为Xt(n),Xt(n),所以由所以由t-t-分布定义知：存在两个相互独分布定义知：存在两个相互独 立的随机变量立的随机变量 由由Y,ZY,Z的相互独立可得的相互独立可得:Y:Y2 2与与Z Z也相互独立。也相互独立。再由F-分布定义得:使有使有 【例例2 2 2 2】已知已知 ，证明，证明 。由由2 2 2 2-分布定义知：分布定义知：第37页/共42页

26、河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计解因为XiP(),所以E(Xi)=D(Xi)=(i=1,2,n),【例例3 3 3 3】设设X X1 1，X X2 2，X X3 3，X X4 4，X X5 5为来自泊松分布为来自泊松分布 P(P()的一个样本，的一个样本，为其样本均值和（修正）样本为其样本均值和（修正）样本 方差，求方差，求第38页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计例例3-13-1第39页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计解卡方分布及其数字特征。于是,由卡方分布数字特征知：由定理1知:【例4 4】设在总体 中抽取一容量为16的 样本，其中 均为未知。（1）求概率 ；（2）求方差 。第40页/共42页河南理工大学精品课程河南理工大学精品课程 概率论与数理统计概率论与数理统计 (2)因为所以,例例4-4-续续 (1)第41页/共42页谢谢您的观看！第42页/共42页