平面向量的数量积25481.pptx

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1、平面向量的数量积平面向量的数量积254812.4 平面向量的数量积及运算律问题情境:sF 一个物体在力F 的作用下产生了位移s，那么力F 所做的功应当怎样计算？其中力F 和位移s 是向量，是F 与s 的夹角，而功是数量.如果把功W看成是两个向量F 与s 的某种运算结果,那么这个结果是一个数量,它不仅与长度有关,还与两个向量的夹角有关.显然,这是一种新的运算.第1页/共12页平面向量的数量积的定义（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定 已知两个非零向量a 和b，它们的夹角为，我们把数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b，即规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0

2、（2）a b不能写成ab，ab 表示向量的另一种运算 点号“”不能省略.2.4 平面向量的数量积及运算律第2页/共12页思考1：对于两个非零向量a与b，设其夹角为，那么acos的几何意义如何？abOABA1思考2：对于两个非零向量a与b，设其夹角为，acos叫做向量a在b方向上的投影.那么该投影一定是正数吗？向量b在a方向上的投影是什么？不一定；bcos.|a|cos第3页/共12页思考3：根据投影的概念，数量积ab=a|bcos的几何意义如何？数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影bcos的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影acos的乘积，第4页/共12页向量的夹角OABba若 ，a

3、与b 同向OABba若 ，a 与b 反向OABab若 ，a 与b 垂直，记作 两个非零向量a 和b，作 ，则 叫做向量a 和b 的夹角OABab2.4 平面向量的数量积及运算律第5页/共12页例题讲解例1已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为，求a b2.4 平面向量的数量积及运算律(1)(2)a/b(3)a b(3)当a b时,a b=|a|b|cos900=0解:(1)a b=|a|b|cos(2)当a/b时,则=00或1800当=1800，ab=|a|b|cos1800=-|a|b|=-6当=00，ab=|a|b|cos00=|a|b|=6第6页/共12页讨论总结性质：2.4 平面向

4、量的数量积及运算律 （1）当a 与b 同向时，a b=|a|b|，当a 与b 反向时，a b=-|a|b|特别地（4）|a b|a|b|（2）ab a b=0(判断两向量垂直的依据)（3）(用于求两个向量的夹角）注意第7页/共12页数量积的运算律（2）（1）（3）想一想：向量的数量积满足结合律吗？2.4 平面向量的数量积及运算律对于非零向量a，b，c，(ab)c有意义吗？(ab)c与a(bc)相等吗？为什么？(ab)ca(bc)第8页/共12页例题讲解2、求证：2.4 平面向量的数量积及运算律第9页/共12页（1）（3）（4）若 ，则对于任一非零 有（2）（5）若 ，则 至少有一个为（6）对于任意向量 都有（7）是两个单位向量，则（8）若 ，则练习：2.4 平面向量的数量积及运算律第10页/共12页平面向量的数量积的定义重要性质运算律小结：2.4 平面向量的数量积及运算律第11页/共12页