弯曲应力——材料力学.pptx

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1、5.1 概述概述 在一般情况下,梁的横截面上既有弯矩,又有剪力;因此,横截面上既有正应力,又有剪应力两个概念:横力弯曲,纯弯曲第1页/共76页纯弯曲梁弯曲变形时，横截面上只有弯矩而无剪力（）。横力弯曲梁弯曲变形时，横截面上既有弯矩又有剪力（）。第2页/共76页LaaFFF(+)(-)-FFa(+)M-图纯弯曲纯弯曲横力横力弯曲弯曲横力横力弯曲弯曲第3页/共76页一、纯弯曲时梁横截面上的正应力一、纯弯曲时梁横截面上的正应力5.2 5.2 梁弯曲时横截面上的正应力梁弯曲时横截面上的正应力 正应力分析方法正应力分析方法4.4.4.4.应变分布与应力分布应变分布与应力分布应变分布与应力分布应变分布与应

2、力分布6.6.6.6.正应力表达式正应力表达式正应力表达式正应力表达式3.3.3.3.平面假定与变形协调方程平面假定与变形协调方程平面假定与变形协调方程平面假定与变形协调方程5.5.5.5.应用静力学方程确定待定常数应用静力学方程确定待定常数应用静力学方程确定待定常数应用静力学方程确定待定常数1.1.1.1.外力分析（确定约束反力）外力分析（确定约束反力）外力分析（确定约束反力）外力分析（确定约束反力）2.2.2.2.内力分析（绘剪力图、弯矩图）内力分析（绘剪力图、弯矩图）内力分析（绘剪力图、弯矩图）内力分析（绘剪力图、弯矩图）第4页/共76页1 1、研究对象：、研究对象：等直细长对称截面梁等

3、直细长对称截面梁2 2、前提、前提:(a)(a)小变形小变形在弹性变形范围内，在弹性变形范围内，(b)(b)满足平面弯曲条件，满足平面弯曲条件，（c c）纯纯弯曲。弯曲。3 3、实验观察、实验观察:MM凹边缩短凹边缩短凸边伸长凸边伸长长度保持长度保持不变的纵不变的纵向纤维向纤维横截面上横截面上只有正应只有正应力无剪应力无剪应力力纵向纤维间无挤压作用纵向纤维间无挤压作用弯曲应力弯曲应力/梁弯曲时横截面上的正应力 第5页/共76页中性层中性层杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不 缩短的曲面。缩短的曲面。中性轴中性轴中性层与横截面的交线。中性层与横截面的交线。

4、4 4、平面截面假设、平面截面假设横截面变形后保持为平面，只是横截面变形后保持为平面，只是 绕中性轴旋转了一角度。绕中性轴旋转了一角度。中性轴中性轴中性层中性层弯曲应力弯曲应力/梁弯曲时横截面上的正应力 第6页/共76页5 5、理论分析、理论分析（1 1）变形分布规律）变形分布规律mmnndxaby变形后变形后o o曲率中心，曲率中心，y任意纵向纤维至任意纵向纤维至中性层的距离中性层的距离 中性层中性层 的曲率半径，的曲率半径，纵向纤维纵向纤维ab:变形前变形前 变形后变形后 oba弯曲应力弯曲应力/梁弯曲时横截面上的正应力 第7页/共76页所以纵向纤维所以纵向纤维ab的应变为的应变为:横截面

5、上距中性轴为横截面上距中性轴为y y处的轴向变形规律。处的轴向变形规律。曲率曲率则则曲率曲率则则当当与实验结果相符。与实验结果相符。(a)弯曲应力弯曲应力/梁弯曲时横截面上的正应力 第8页/共76页（2 2）应力分布规律）应力分布规律在线弹性范围内，应用胡克定律在线弹性范围内，应用胡克定律(b)对一定材料，对一定材料，E=C；对一定截面，对一定截面，横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离y y成比例。当当与实验结果相符。与实验结果相符。应力为零的点的连线。应力为零的点的连线。M弯曲应力弯曲应力/梁弯曲时横截面上的正应力 第9页/共76页（3 3）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式）

6、由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式z(中性轴中性轴)y(对称轴对称轴)xMMdAdA由由 得得=0将将(b)(b)式代入，得式代入，得因此z z轴通过截面形心，即中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面。(c)弯曲应力弯曲应力/梁弯曲时横截面上的正应力 第10页/共76页静力平衡条件 自动满足。自动满足。考虑平衡条件 y y、z z轴为截面的形心主惯性轴轴为截面的形心主惯性轴(d)zyxMdAdA弯曲应力弯曲应力/梁弯曲时横截面上的正应力 第11页/共76页 对于实心截面，若截面无对称轴，要使梁产生平面弯曲，对于实心截面，若截面无对称轴，要使梁产生平面弯曲，亦必须满足亦必须满足 。即。即y

7、 y、z z轴为截面的形心主惯性轴。所以轴为截面的形心主惯性轴。所以只要外力作用在形心主惯性平面内同样可产生平面弯曲。只要外力作用在形心主惯性平面内同样可产生平面弯曲。中性轴的特点：中性轴的特点：平面弯曲时梁横截面上的中性轴一定是形心主轴，它与外力作用面垂直，即中平面弯曲时梁横截面上的中性轴一定是形心主轴，它与外力作用面垂直，即中性轴是与外力作用面相垂直的形心主轴。性轴是与外力作用面相垂直的形心主轴。zyxMdAdA弯曲应力弯曲应力/梁弯曲时横截面上的正应力 第12页/共76页考虑平衡条件考虑平衡条件为截面对中性轴的惯性矩。为截面对中性轴的惯性矩。(e)zyxMdAdA弯曲应力弯曲应力/梁弯曲

8、时横截面上的正应力 第13页/共76页可得挠曲轴的曲率方程：可得挠曲轴的曲率方程：为常数，挠为常数，挠曲曲轴轴是一条圆弧线是一条圆弧线抗弯刚度。抗弯刚度。正应力的计算公式为横截面上最大正应力为弯曲应力弯曲应力/梁弯曲时横截面上的正应力 第14页/共76页截面的截面的抗弯截面系数抗弯截面系数，反映了截面，反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响。的几何形状、尺寸对强度的影响。矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面系数：zz竖放：bhhb平放：若若hb,则则 。弯曲应力弯曲应力/梁弯曲时横截面上的正应力 第15页/共76页zddzD弯曲应力弯曲应力/梁弯曲时横截面上的正应力 第16页/共76页弯曲

9、应力例题弯曲应力例题例例6-1 6-1 简支梁简支梁求：求：（1 1）1 11 1截面上截面上1 1、2 2两点的两点的正应力；正应力；（2 2）此截面上的最大正应力；）此截面上的最大正应力；（3 3）全梁的最大正应力；）全梁的最大正应力；（4 4）已知）已知 E E=200 GPa=200 GPa，求，求1 11 1截面的曲率半径。截面的曲率半径。q=60kN/mAB1m2m1112120180zy30弯曲应力弯曲应力/梁弯曲时横截面上的正应力 第17页/共76页Mx+M1Mmax2 求应力解：1 画 M 图求有关弯矩12120180zy30q=60kN/mAB1m2m11弯曲应力弯曲应力/

10、梁弯曲时横截面上的正应力 第18页/共76页3 求曲率半径弯曲应力弯曲应力/梁弯曲时横截面上的正应力 第19页/共76页纯弯曲的结果可推广到如下横力弯曲的梁：(b)(b)对对R/h5的曲率梁，可使用直梁公式。的曲率梁，可使用直梁公式。非纯弯曲时的挠曲轴的曲率方程为：正应力计算公式为(a)(a)横力弯曲的细长梁，即梁的跨高比横力弯曲的细长梁，即梁的跨高比:L/h5时，时，其误差不大；其误差不大；hR二、二、横力横力弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力曲率梁弯曲应力弯曲应力/梁弯曲时横截面上的正应力 第20页/共76页 注意：（1 1）在计算正应力前，必须弄清楚所要求的是哪个截面上的正

11、应力，从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩；以及所求的是该截面上哪一点的正应力，并确定该点到中性轴的距离。（2 2）要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性分布的规律，在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处正应力最大。弯曲应力弯曲应力/梁弯曲时横截面上的正应力 第21页/共76页（4 4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩 的计算式。（3 3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力的正 负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来 确定。弯曲应力弯曲应力/梁弯曲时横截面上的正应力 第22页/共76页5.3 5.3 弯曲时梁弯曲时梁横截面上的横截面上的的剪应力的剪应力s 在有剪应力

12、存在的情形下，弯曲正应在有剪应力存在的情形下，弯曲正应力公式依然成立力公式依然成立假假 设设 在横力在横力弯曲时弯曲时,梁的横截面上有剪力梁的横截面上有剪力;因此因此,横截面上有剪应力横截面上有剪应力第23页/共76页s 剪应力方向与剪力的方向相同，并剪应力方向与剪力的方向相同，并沿截面宽度方向切应力均匀分布沿截面宽度方向切应力均匀分布在上述前提下，可由平衡直接确定横截面上的在上述前提下，可由平衡直接确定横截面上的切应力，而无须切应力，而无须全面应用全面应用“平衡，变形协调和平衡，变形协调和物性关系物性关系”。弯曲应力弯曲应力/弯曲时横截面上的剪应力（一）矩形截面假假 设设第24页/共76页L

13、ABF(+)(-)bh分析方法（截面法）：1 1、沿 mm,nn 截面截开，取微段dxdx。mmnndxmmnnMM+dMmmnnkl(+)弯曲应力弯曲应力/弯曲时横截面上的剪应力第25页/共76页mnkl2 2、沿 kl 截面截开，根据剪应力的互等定理：dx很小，在很小，在 kl 面上可认为面上可认为 均布。均布。3、列平衡方程，由 ：即弯曲应力弯曲应力/弯曲时横截面上的剪应力第26页/共76页而代入得：弯曲应力弯曲应力/弯曲时横截面上的剪应力第27页/共76页（儒拉夫斯基公式）式中符号意义：截面上距中性轴y处的剪应力 ：y以外面积对中性轴的静矩 ：整个截面对中性轴的惯性矩b：y处的宽度bh

14、zy 对于矩形：c弯曲应力弯曲应力/弯曲时横截面上的剪应力第28页/共76页而而因此矩形截面梁横截面上的因此矩形截面梁横截面上的剪应力的大小沿着梁的高度按剪应力的大小沿着梁的高度按抛物线规律分布。抛物线规律分布。并且并且剪应力沿梁高分布规律弯曲应力弯曲应力/弯曲时横截面上的剪应力第29页/共76页实心截面梁的弯曲切应力误差分析h hb b精确解精确解 =FQ Sz*bIz h/bh/b 1.01.02/12/11.041.041/11/11.121.121/21/21.571.571/41/42.302.30弯曲应力弯曲应力/弯曲时横截面上的剪应力第30页/共76页（二）工字形截面梁的弯曲切应

15、力翼缘翼缘1、腹板、腹板z腹板腹板式中(y)：截面上距中性轴y处的剪应力 ：y处横线一侧的部分面积 对中性轴的静矩 ：整个截面对中性轴的惯性矩：y处的宽度 y弯曲应力弯曲应力/弯曲时横截面上的剪应力第31页/共76页腹板上的剪应力呈抛物线变化，腹板部分的剪应力合力占总剪力的腹板上的剪应力呈抛物线变化，腹板部分的剪应力合力占总剪力的9597%。弯曲应力弯曲应力/弯曲时横截面上的剪应力第32页/共76页2、翼缘、翼缘翼缘部分的水平剪应力沿翼缘宽翼缘部分的水平剪应力沿翼缘宽度按直线规律变化，并与腹板部分度按直线规律变化，并与腹板部分的竖向剪力形成的竖向剪力形成“剪应力流剪应力流”。翼缘部分的剪应力强

16、度计算时一翼缘部分的剪应力强度计算时一般不予考虑。般不予考虑。腹板与翼缘交界处的应力较复杂，在连接处的转角腹板与翼缘交界处的应力较复杂，在连接处的转角上发生应力集中，为了避免这一点，以圆弧连接，使上发生应力集中，为了避免这一点，以圆弧连接，使这里的剪应力实际值接近以腹板剪应力公式所得到的这里的剪应力实际值接近以腹板剪应力公式所得到的结果。结果。弯曲应力弯曲应力/弯曲时横截面上的剪应力第33页/共76页(1)(1)边缘各点的切应力与圆周相切；边缘各点的切应力与圆周相切；(2)(2)y轴上各点轴上各点的切应力沿的切应力沿y轴。轴。假假 设设(1)(1)AB弦上各点的切应力作用线通过同一点弦上各点的

17、切应力作用线通过同一点 p；(2)(2)AB弦上各点的切应力沿弦上各点的切应力沿 y轴的分量轴的分量 y相等。相等。所以，对所以，对y可用矩形截面梁的公式可用矩形截面梁的公式（三）其它形状截面梁的弯曲切应力圆截面切应力特点弯曲应力弯曲应力/弯曲时横截面上的剪应力第34页/共76页 max=43FQA弯曲应力弯曲应力/弯曲时横截面上的剪应力第35页/共76页 max=2.0FQA圆环截面zy弯曲应力弯曲应力/弯曲时横截面上的剪应力第36页/共76页5.4 5.4 薄壁梁横截面上的切应力流与弯曲中心薄壁梁横截面上的切应力有以下特点薄壁梁横截面上的切应力有以下特点:(1)(1)切应力方向切应力方向必

18、平行于截面周必平行于截面周边的切线方向边的切线方向,并形成并形成切应力流。切应力流。(2)(2)切应力切应力沿沿壁壁厚均匀分布。厚均匀分布。第37页/共76页弯弯曲中心曲中心定义：定义：梁横截面上弯曲切应力向某一点梁横截面上弯曲切应力向某一点A A简化时，若主矢简化时，若主矢不为零主矩为零（既合力作用点），则点不为零主矩为零（既合力作用点），则点A A称为称为弯弯曲中心。曲中心。弯曲中心与材料性质和载荷无关，是弯曲中心与材料性质和载荷无关，是截面的几何截面的几何性性质之一。质之一。切应力流与弯曲中心第38页/共76页 弯曲中心Pxeyz向C点简化主矢Q主矩 M=Q1h+Qeh弯曲切应力流CeQ

19、1QQ2C主矢Q主矩M主矢Q主矩 M=Q1hQe0向A点简化AeQ1Q2Q切应力流与弯曲中心第39页/共76页 如何确定弯曲中心的位置弯心处，主矩 M=Q1hQe 0切应力流与弯曲中心腹板与翼缘处切应力仍可应用公式:第40页/共76页 根据切应力流确定弯心位置 思考题：思考题：图示截面梁有无弯曲中心？若有，在何处？答案见书p101页表6-1。切应力流与弯曲中心第41页/共76页5.5 5.5 梁的抗弯强度条件梁的抗弯强度条件第42页/共76页 一 弯曲正应力强度条件：可解决三方面问题：（1 1）强度校核，即已知 检验梁是否安全；（2 2）设计截面，即已知 可由 确定 截面的尺寸；（3 3）求许

20、可载荷，即已知 可由 确定。梁的抗弯强度条件第43页/共76页L=4mABq=0.5KN/m例例6-2 一简支梁受力如图所示。已知一简支梁受力如图所示。已知 ，空心圆截面，空心圆截面的内外径之比的内外径之比 ，试选择截面直径，试选择截面直径D；若外径；若外径D增加增加一倍，比值一倍，比值 不变，则载荷不变，则载荷 q 可增加到多大？可增加到多大？(+)梁的抗弯强度条件第44页/共76页解：解：由强度条件由强度条件若外径若外径D增加一倍，则增加一倍，则仍由强度条件，得仍由强度条件，得梁的抗弯强度条件第45页/共76页例例6-3 已知已知 材料的材料的 ，由，由M图知：图知：，试校核其强度。，试校

21、核其强度。16281448解：解：（1 1）确定中性轴的位置）确定中性轴的位置（2 2）求）求zCz单位：cm梁的抗弯强度条件第46页/共76页（3）正应力校核）正应力校核所以结构安全。所以结构安全。问题：问题：若材料为铸铁，截面该怎样放置才合理若材料为铸铁，截面该怎样放置才合理？梁的抗弯强度条件第47页/共76页例6-46-4 外伸梁 T形梁截面，用铸铁制成，校核梁的强度。Cy2y12mq=10kN/mADBEP20kN 2m2m2mq=10kN/mADBEP20kN 2m2m弯曲应力弯曲应力/梁弯曲时横截面上的正应力 第48页/共76页解：（1 1）梁的内力分析，找出危险截面q=10kN/

22、mADBEP20kN 5kN 35kN ADBE10kN*m 20kN*m(-)(+)包含反力的全部外载荷 画弯矩图：危险截面：B,D弯曲应力弯曲应力/梁弯曲时横截面上的正应力 第49页/共76页（2 2）找出危险截面上的危险点危险点：a,b,dCy2y1ADBE10kN*m 20kN*m(-)(+)B截面D截面压应力拉应力abed拉应力压应力弯曲应力弯曲应力/梁弯曲时横截面上的正应力 第50页/共76页（3 3）计算危险点应力 校核强度最大压应力：最大压应力：最大拉应力：最大拉应力：梁的强度符合要求B截面D截面压应力拉应力abed拉应力压应力第51页/共76页二 切应力强度条件在进行梁的强度

23、计算时，需注意以下问题：（1 1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应 力的强度条件是次要的。但对于较粗短的梁，当集中力较大 时，截面上的剪力较大而弯矩较小，或是薄壁截面梁时，也 需要校核剪应力强度。梁的抗弯强度条件第52页/共76页例如例如LABF0.9LABFF0.2L0.2L0.6L(+)(-)0.9F0.1F(+)0.09FLF(+)(-)-F0.2FL(+)M-图梁的抗弯强度条件第53页/共76页（2 2）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该处 的剪应力为零；剪应力的最大值发生在中性轴 上，该处的正应力为零。对于横截面上其余各 点，同时存在正应力、剪应力。这些点的

24、强度计 算，应按强度理论进行计算。梁的抗弯强度条件第54页/共76页例例6-5 铸铁梁的截面为铸铁梁的截面为T字形，受力如图。已知材料许用拉应力为字形，受力如图。已知材料许用拉应力为 ，许用压应力为，许用压应力为 ，。试校核梁的。试校核梁的正应力强度和剪应力强度。若将梁的截面倒置，情况又如何？正应力强度和剪应力强度。若将梁的截面倒置，情况又如何？AB2m1m3mP=20KNECDq=10KN/m200mm30200mmycz约束反力：梁的抗弯强度条件第55页/共76页解：（1 1）确定中性轴的位置）确定中性轴的位置最大静矩：最大静矩：200mm30200mmycz梁的抗弯强度条件第56页/共7

25、6页由由 、知：知：AB2m1m3mP=20KNCDq=10KN/m（2 2）绘剪力图、弯矩图）绘剪力图、弯矩图约束反力：(+)(-)(-)20KN10KN10KN(+)(-)10KN.m20KN.m梁的抗弯强度条件第57页/共76页（3）正应力强度校核）正应力强度校核对于A A截面：z200mm30200mmycz梁的抗弯强度条件第58页/共76页对于D D截面：zz200mm30200mmycz梁的抗弯强度条件第59页/共76页 正应力强度足够正应力强度足够。因此因此（4 4）剪应力强度校核在A A截面：剪应力强度足够剪应力强度足够。梁的抗弯强度条件第60页/共76页（5 5）若将梁的截面

26、倒置，则此时强度不足会导致破坏。此时强度不足会导致破坏。yczz梁的抗弯强度条件第61页/共76页5.6 提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施弯曲正应力强度条件：弯曲正应力强度条件：在 一定时，提高弯曲强度的主要途径：（一）、选择合理截面（1 1）矩形截面中性轴附近的材）矩形截面中性轴附近的材 料未充分利用，工字形截料未充分利用，工字形截 面更合理。面更合理。1、根据应力分布的规律选择：z第62页/共76页（2 2）为降低重量，可在中性轴附近开孔）为降低重量，可在中性轴附近开孔 弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施第63页/共76页2、根据抗弯截面系数选择：为了比较各种截面的合理性

27、，以为了比较各种截面的合理性，以 来衡量。来衡量。越大，越大，截面越合理。截面越合理。常见梁截面的 Wz/A 值弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施第64页/共76页3、根据材料特性选择：塑性材料：塑性材料：宜采用中性轴为对称轴的截面。宜采用中性轴为对称轴的截面。脆性材料：脆性材料：宜采用中性轴为非对称轴的截面，宜采用中性轴为非对称轴的截面，例如例如T T字形截面：字形截面：ycz拉边拉边压边压边即使最大拉、压应力同时达到许用应力值。即使最大拉、压应力同时达到许用应力值。弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施第65页/共76页（二）、合理安排载荷和支承的位置，以降低 值。1 1、载荷尽量

28、靠近支座：、载荷尽量靠近支座：LABF0.5L(+)0.25FLLABF0.8L(+)0.16FL弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施第66页/共76页LABF0.9L(+)0.09FLLABF弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施第67页/共76页2 2、将集中力分解为分力或均布力、将集中力分解为分力或均布力 LABF0.5L(+)0.25FL0.25LABF0.5L0.25L0.125FL(+)弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施第68页/共76页3 3、合理安排支座位置及增加支座、合理安排支座位置及增加支座减小跨度，减小减小跨度，减小 。0.025FL(+)0.02FL0.02

29、FLABFL0.125FL(+)ABF0.6L0.2L0.2L弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施第69页/共76页ABF0.5L0.5L(+)(+)增加支座增加支座 弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施第70页/共76页（三）、选用合理结构 1 1、等强度梁、等强度梁 设计思想：按设计思想：按M(x)的变化来设计截面，采用的变化来设计截面，采用 变截面梁变截面梁横截面沿着梁轴线变化的梁。横截面沿着梁轴线变化的梁。弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施第71页/共76页例如例如矩形截面悬臂梁，设矩形截面悬臂梁，设h=const,b=b(x),则则FLxh hb(x)b(x)x=0时时，b=0,但要有足够的面积承受剪力。但要有足够的面积承受剪力。因此因此而而 （沿梁轴线呈线性分布）（沿梁轴线呈线性分布）弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施第72页/共76页2 2、桁架整体桁架受弯构件桁架中单个杆件受轴向拉压弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施第73页/共76页工工程程中中的的桁桁架架结结构构屋屋盖盖弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施第74页/共76页弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施第75页/共76页感谢您的观看。第76页/共76页