数项级数的收敛与发散.pptx

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1、1基本概念基本概念 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数constant term infinite series第一节 数项级数的收敛与发散收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质小结小结 思考题思考题 作业作业 第1页/共32页2为什么要研究无穷级数为什么要研究无穷级数是进行数值计算的有效工具(如计算函数值、出它的威力.在自然科学和工程技术中,也常用无穷无穷级数是数和函数的一种表现形式.因无穷级数中包含有许多非初等函数,故它在积分运算和微分方程求解时,也呈现如谐波分析等.造函数值表）.级数来分析问题,数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第2页/共32页31.级数的定义(常数项)无穷级数一般项

2、如如 以上均为(常)数项级数.(1)一、一、基本基本概念概念数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第3页/共32页4这样,级数(1)对应一个部分和数列:称无穷级数(1)的按通常的加法运算一项一项的加下去,为级数(1)的无穷级数定义式(1)的含义是什么?也算不完,永远那么如何计算?前n项和部分和.2.部分和数列数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第4页/共32页5例认为数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第5页/共32页6例2认为例3无极限认为没有和。数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第6页/共32页7部分和数列可能存在极限,也可能不存在极限.定义定义则称无穷级数并写成3.级数收

3、敛与发散的定义数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第7页/共32页8特别,若则称级数发散到记作总之,常数项级数收敛(发散).(不存在)存在数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第8页/共32页9对收敛收敛级数(1),为级数(1)的余项余项或余和余和.显然有当n充分大时,级数的敛散性它与部分和数列是否有极限是等价的.(1)称差误差误差为数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第9页/共32页10注意：（1）任何一个级数都可以确定一个部分和数列（2）对任意数列都可作出一个级数因此研究级数的敛散性问题即为研究其部分和数列是否有极限的问题数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第10页/共32页

4、11例1 讨论级数的敛散性。解：前n项之和因为所以级数收敛，和为1数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第11页/共32页12例例2而所以,的部分和 级数级数发散.数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第12页/共32页13解解(重要)例例3讨论等比级数(几何级数)的收敛性.数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第13页/共32页14 收敛 发散 发散 发散 综上级数变为数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第14页/共32页15讨论级数的敛散性.解解例例4因为为公比的等比级数,是以故级数收敛.发散.数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第15页/共32页16例5 判定级数的敛散性.

5、例6求级数的和.提示:利用数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第16页/共32页17定理1(柯西准则)级数 收敛数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第17页/共32页18例7 证明:(1)级数 收敛.(2)级数发散(3)级数发散(3)提示:数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第18页/共32页19二、二、收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质性质性质1 1若级数都收敛,且其和分别为则对任意的常数级数也收敛,且和为数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第19页/共32页20都发散.但收敛.例例数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第20页/共32页21收敛级数的必要条件级数的必要条

6、件反之不然！性质2证证因为则所以推论数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第21页/共32页22注 级数收敛的必要条件,必要条件不充分.常用判别级数发散;如如调和级数 也可用它求或验证极限为“0”0”的极限;级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:但级数是否收敛数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第22页/共32页23例例判别下列级数的敛散性级数收敛的必要条件常用判别级数发散.解题思路数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第23页/共32页24解解由于发散数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第24页/共32页25 解解而级数所以这个等比级数发散.由性质2知,由性质1知,发散.因调和级

7、数发散,为公比的等比级数,是以收敛.数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第25页/共32页26为收敛级数,a为非零常数,试判别级数的敛散性.解解因为收敛,故从而故级数发散.级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第26页/共32页27问否！数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第27页/共32页28性质性质3 3 添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性.性质性质4 4设级数收敛,则对其各项任意加括号所得新级数仍收敛于原级数的和.一个级数加括号后所得新级数发散,则注原级数发散.事实上,加括后的级数就应该收敛了.设原来的级数收敛,则根据性质4,收敛 发散

8、一个级数加括号后收敛,原级数敛散性不确定.数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第28页/共32页29常数项级数的基本概念基本审敛法3.按基本性质则级数收敛由定义,2.则级数发散一般项、部分和、收敛、发散及级数的性质三、小结三、小结级数收敛的必要条件记住等比级数(几何级数)的收敛性1.数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第29页/共32页30思考题思考题是非题是非题非非非非是是数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第30页/共32页31作作 业业习题习题10.1(23810.1(238页页)2.(1)3.1.(1)2.(1)数项级数的收敛与发散数项级数的收敛与发散第31页/共32页32感谢您的观看！第32页/共32页