专题10 数列求和及其应用（教学案）-2018年高考理数二轮复习精品资料（原卷版）.doc

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1、高考对本节内容的考查仍将以常用方法求和为主，尤其是错位相减法及裂项求和，题型延续解答题的形式预测 2018 高考对数列求和仍是考查的重点数列的应用以及数列与函数等的综合的命题趋势较强，复习时应予以关注1数列求和的方法技巧(1)公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式求和(2)错位相减法这种方法主要用于求数列anbn的前 n 项和，其中an、bn分别是等差数列和等比数列(3)倒序相加法这是在推导等差数列前 n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成

2、两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和(5)分组转化求和法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并2数列的综合问题(1)等差数列与等比数列的综合(2)数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的综合(3)增长率、分期付款、利润成本效益的增减等实际应用问题数列的实际应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决.【误区警示】1应用

3、错位相减法求和时，注意项的对应2正确区分等差与等比数列模型，正确区分实际问题中的量是通项还是前 n 项和考点一数列求和考点一数列求和例 1、25.【2017 江苏，19】 对于给定的正整数,若数列满足kna1111n kn knnn kn kaaaaaa 对任意正整数总成立，则称数列是“数列”.2nka()n nkna( )P k（1）证明：等差数列是“数列”;na(3)P（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列.na(2)P(3)Pna【变式探究】(2016浙江卷)设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S24，an12Sn1，nN*.(1)求通项公式 an；(2)求数列|a

4、nn2|的前 n 项和【举一反三】 若 An和 Bn分别表示数列an和bn的前 n 项的和，对任意正整数 n，an2(n1)，3AnBn4n. (1)求数列bn的通项公式；(2)记 cn，求cn的前 n 项和 Sn.2AnBn【变式探究】(2016山东卷)已知数列an的前 n 项和 Sn3n28n，bn是等差数列，且 anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令 cn，求数列cn的前 n 项和 Tn.（an1）n1（bn2）n考点二、数列和函数、不等式的交汇考点二、数列和函数、不等式的交汇例 4、(2016四川卷)已知数列an的首项为 1，Sn为数列an的前 n 项和，Sn1qSn1，

5、其中q0，nN*.(1)若 2a2，a3，a22 成等差数列，求数列an的通项公式；(2)设双曲线 x21 的离心率为 en，且 e2 ，证明：e1e2en.5 34n3n3n1【变式探究】已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2n22n.(1)求数列an的通项公式；(2)若点(bn，an)在函数 ylog2x 的图象上，求数列bn的前 n 项和 Tn.1.【2017 天津，理 18】已知为等差数列，前 n 项和为，是首项为 2 的等比数列，na()nSnNnb且公比大于 0，,，.2312bb3412baa11411Sb（）求和的通项公式；nanb（）求数列的前 n 项和.221nna

6、 b()nN2.【2017 江苏，19】 对于给定的正整数,若数列满足kna1111n kn knnn kn kaaaaaa 对任意正整数总成立，则称数列是“数列”.2nka()n nkna( )P k（1）证明：等差数列是“数列”;na(3)P（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列.na(2)P(3)Pna3.【2017 山东，理 19】已知xn是各项均为正数的等比数列，且 x1+x2=3，x3-x2=2（）求数列xn的通项公式；（）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点 P1(x1, 1)，P2(x2, 2)Pn+1(xn+1, n+1)得到折线 P1 P2Pn+

7、1，求由该折线与直线 y=0，所围成的区域的面积nT.11nxx xx,1.【2016 高考天津理数】已知 na是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的,bnnN是na和1na的等差中项.()设22* 1,nnncbbnN，求证： nc是等差数列；()设 2 2* 1 1,1,nn nn kad TbnN，求证：2 111.2nkkTd2.【2016 高考新课标 3 理数】已知数列na的前 n 项和1nnSa ，其中0（I）证明na是等比数列，并求其通项公式；（II）若531 32S ，求来源:学科网3.【2016 高考浙江理数】设数列 na满足112n naa，n（I）证明：1 122n

8、 naa，n；（II）若3 2nna，n，证明：2na ，n4.【2016 年高考北京理数】 （本小题 13 分）设数列 A：1a ，2a ,Na (N ).如果对小于n(2nN)的每个正整数k都有ka na ，则称n是数列 A 的一个“G 时刻”.记“)(AG是数列 A 的所有“G 时刻”组成的集合.（1）对数列 A：-2，2，-1，1，3，写出)(AG的所有元素；（2）证明：若数列 A 中存在na使得na1a，则)(AG ；（3）证明：若数列 A 满足na-1na1（n=2,3, ,N）,则)(AG的元素个数不小于Na -1a.5.【2016 年高考四川理数】 （本小题满分 12 分）已知

9、数列na 的首项为 1，nS 为数列na的前 n 项和，11nnSqS ，其中 q0，*nN .（）若2322,2a a a 成等差数列，求na的通项公式；（）设双曲线2 2 21nyxa 的离心率为ne ，且25 3e ，证明：12143 3nnnneee .1=n naq-6.【2016 高考上海理数】 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分.若无穷数列na满足：只要*( ,)pqaap qN，必有11pqaa，则称na具有性质P.（1）若na具有性质P，且12451,2,3,2aaaa，67821aaa，求

10、3a；（2）若无穷数列 nb是等差数列，无穷数列 nc是公比为正数的等比数列，151bc，5181bc，nnnabc判断na是否具有性质P，并说明理由；（3）设 nb是无穷数列，已知* 1sin()nnnaba nN.求证：“对任意1,naa都具有性质P”的充要条件为“ nb是常数列”.7.【2016 高考新课标 2 理数】nS为等差数列 na的前n项和，且17=128.aS ，记= lgnnba，其中 x表示不超过x的最大整数，如0.9 =0 lg99 =1，（）求111101bbb，；（）求数列 nb的前 1 000 项和8.【2016 高考山东理数】 （本小题满分 12 分）已知数列 n

11、a 的前 n 项和 Sn=3n2+8n， nb是等差数列，且1.nnnabb （）求数列 nb的通项公式；（）令1(1).(2)n n nn nacb求数列 nc的前 n 项和 Tn.9.【2016 高考江苏卷】 （本小题满分 16 分）记1,2,100U ，.对数列 * nanN和U的子集 T，若T ,定义0TS ;若12, ,kTt tt ，定义12+ kTtttSaaa.例如：= 1,3,66T时，1366+TSaaa.现设 * nanN是公比为 3 的等比数列，且当= 2,4T时，=30TS.（1）求数列 na的通项公式；（2）对任意正整数1100kk，若1,2,kT ，求证：1TkS

12、a；（3）设,CDCU DU SS,求证：2CCDDSSS.13nna10.【2016 高考山东理数】 （本小题满分 12 分）已知数列 na 的前 n 项和 Sn=3n2+8n， nb是等差数列，且1.nnnabb （）求数列 nb的通项公式；（）令1(1).(2)n n nn nacb求数列 nc的前 n 项和 Tn.【2015 江苏高考，11】数列na满足11a，且11naann（*Nn） ，则数列1na的前 10 项和为 20 11【2015 高考天津，理 18】 （本小题满分 13 分）已知数列na满足212()*,1,2nnaqa qqnNaa为实数，且1，且233445,aa a

13、a aa+成等差数列.(I)求q的值和na的通项公式；(II)设*2221log,n n nabnNa，求数列nb的前n项和.【2015 高考四川，理 16】设数列na的前n项和12nnSaa，且123,1,a aa成等差数列.（1）求数列na的通项公式；（2）记数列1na的前 n 项和nT，求得1|1|1000nT 成立的 n 的最小值.123,1,a aa【2015 高考新课标 1，理 17】nS为数列na的前n项和.已知na0，2 nnaa=43nS .（）求na的通项公式；（）设11n nnba a ,求数列nb的前n项和.【2015 江苏高考，20】 （本小题满分 16 分）设123

14、4,a a a a是各项为正数且公差为 d(0)d 的等差数列（1）证明：31242 ,2 ,2 ,2aaaa依次成等比数列；（2）是否存在1,a d，使得234 1234,a aaa依次成等比数列，并说明理由；（3）是否存在1,a d及正整数, n k，使得knknknnaaaa3 42 321,依次成等比数列，并说明理由.【2015 高考浙江，理 20】已知数列 na满足1a=1 2且1na=na-2 na（n*N）（1）证明：112nna a（n*N） ；（2）设数列 2 na的前n项和为nS，证明11 2(2)2(1)nS nnn（n*N）.【2015 高考山东，理 18】设数列 na

15、的前 n 项和为nS.已知233n nS .（I）求 na的通项公式；（II）若数列 nb满足，求 nb的前 n 项和nT.【2015 高考安徽，理 18】设*nN，nx是曲线221nyx在点(1 2)，处的切线与 x 轴交点的横坐标.（）求数列nx的通项公式；（）记222 1321nnTx xx，证明1 4nTn.1 4nTn.1. 【2014 高考湖南理第 20 题】已知数列 na满足111,n nnaaap,*nN.(1)若 na为递增数列,且123,2,3aaa成等差数列,求P的值;(2)若1 2p ,且21na是递增数列, 2na是递减数列,求数列 na的通项公式. 2. 【2014

16、 高考江西理第 17 题】已知首项都是 1 的两个数列（） ，满足.（1）令，求数列的通项公式；（2）若13nnb，求数列的前 n 项和3. 【2014 高考全国 1 第 17 题】已知数列 na的前n项和为nS，11a ，0na ，11nnna aS，其中为常数，（I）证明：2nnaa；（II）是否存在，使得 na为等差数列？并说明理由.4. 【2014 高考全国 2 第 17 题】已知数列 na满足1a=1，131nnaa.（）证明1 2na 是等比数列，并求 na的通项公式；（）证明：123111 2naaa +.5. 【2014 高考山东卷第 19 题】已知等差数列na的公差为 2，前

17、n项和为nS，且124,S SS成等比数列.（）求数列na的通项公式；（）令114( 1)nn nnnba a ，求数列 nb的前n项和nT.6. 【2014 高考上海理科第 23 题】已知数列na满足1113,*,13nnnaaa nNa.（1）若2342,9aax a，求x的取值范围；（2）若na是公比为q等比数列，12nnSaaa，113,*,3nnnSSS nN求q的取值范围；（3）若12,ka aa成等差数列，且121000kaaa，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列12,ka aa的公差. 7. 【2014 高考上海理科第 8 题】设无穷等比数列na的公比为 q，若)(l

18、im431 aaa n，则 q= .8. 【2014 高考四川第 16 题】设等差数列na的公差为d，点(,)nna b在函数( )2xf x 的图象上（*nN）.（1）若12a ，点87(,4)ab在函数( )f x的图象上，求数列na的前n项和nS；（2）若11a ，函数( )f x的图象在点22(,)a b处的切线在x轴上的截距为12ln2，求数列nna b的前n 项和nT.9 【2014 高考天津第 19 题】已知q和n均为给定的大于 1 的自然数设集合0,1,2,1,qM =-，集合1 12,1,2,n niAx xxx qx qxM in-+=+ （）当2q =，3n=时，用列举法

19、表示集合A；（）设, s tA，11 2n nsaa qa q-=+，11 2n ntbb qb q-=+，其中,1, 2 ,.iiabMin=证明：若nnab，则st10. 【2014高考浙江理第19题】已知数列 na和 nb满足 Nnaaanbn221.若 na为等比数列，且.6, 2231bba（1）求na与nb；（2）设Nnbacnnn11。记数列 nc的前n项和为nS.（i）求nS；（ii）求正整数k，使得对任意Nn，均有nkSS 11. 【2014 高考重庆理科第 22 题】设2 111,22(*)nnnaaaab nN（）若1b ，求23,a a及数列na的通项公式；（）若1b ，问：是否存在实数c使得221nnaca对所有*nN成立？证明你的结论.