专题13 立体几何中的向量方法（教学案）-2018年高考理数二轮复习精品资料（原卷版）.doc

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1、空间向量及其应用一般每年考一道大题，试题一般以多面体为载体，分步设问，既考查综合几何也考查向量几何，诸小问之间有一定梯度，大多模式是：诸小问依次讨论线线垂直与平行线面垂直与平行面面垂直与平行异面直线所成角、线面角、二面角体积的计算强调作图、证明、计算相结合考查的多面体以三棱锥、四棱锥(有一条侧棱与底面垂直的棱锥、正棱锥)、棱柱(有一侧棱或侧面与底面垂直的棱柱，或底面为特殊图形一如正三角形、正方形、矩形、菱形、直角三角形等类型的棱柱)为主1共线向量与共面向量(1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a、b(b0)，ab 的充要条件是存在实数 ，使 ab.(2)共面向量定理：如果两个向量 a、b 不

2、共线，则向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在唯一实数对(x，y)，使 pxayb.2两个向量的数量积向量 a、b 的数量积：ab|a|b|cosa，b 向量的数量积满足如下运算律： (a)b(ab)；abba(交换律)；a(bc)abac(分配律) 3空间向量基本定理如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在唯一有序实数组x，y，z，使pxaybzc.推论：设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的有序实数组x，y，z，使xyz.OPOAOBOC4空间向量平行与垂直的坐标表示设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则 abab

3、a1b1，a2b2，a3b3(R)； abab0a1b1a2b2a3b30.5模、夹角和距离公式(1)设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则|a|，aaa2 1a2 2a2 3cosa，b.ab|a|b|a1b1a2b2a3b3a2 1a2 2a2 3 b2 1b2 2b2 3(2)距离公式设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|.ABx1x22y1y22z1z22(3)平面的法向量如果表示向量 a 的有向线段所在的直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作 a.如果 a，那么向量 a 叫做平面 的法向量6空间角的类型与范围(1)异面直线所成的角 ：0 ；

4、2(2)直线与平面所成的角 ：0 ；2(3)二面角 ：0.7用向量求空间角与距离的方法(1)求空间角：设直线 l1、l2的方向向量分别为 a、b，平面 、 的法向量分别为 n、m.异面直线 l1与 l2所成的角为 ，则 cos.|ab|a|b|直线 l1与平面 所成的角为 ，则 sin.|an|a|n|平面 与平面 所成的二面角为 ，则|cos|.|nm|n|m|(2)求空间距离直线到平面的距离，两平行平面间的距离均可转化为点到平面的距离点 P 到平面 的距离：d(其中 n 为 的法向量，M 为 内任一点)|PMn|n|设 n 与异面直线 a，b 都垂直，A 是直线 a 上任一点，B 是直线

5、B 上任一点，则异面直线 a、b 的距离 d.|ABn|n|考点一考点一 向量法证明平行与垂直向量法证明平行与垂直例 1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，E，F 分别是 PC，PD 的中点，PAAB1，BC2.(1)求证：EF平面 PAB；(2)求证：平面 PAD平面 PDC.【方法规律】 利用空间向量证明平行与垂直的步骤 (1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系； (2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素； (3)通过空间向量的运算研究平行、垂直关系； (4)根据运算结果解释相关问题

6、【变式探究】在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，点 E 在线段 BB1上，且EB11，D，F，G 分别为 CC1，C1B1，C1A1的中点. 求证：(1)B1D平面 ABD；(2)平面 EGF平面 ABD.考点二、考点二、 向量法求空间角向量法求空间角例 2、(2017全国卷)如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBC AD，BADABC90，E 是 PD 的中点12(1)证明：直线 CE平面 PAB；(2)点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45，求二面角 M-AB-D 的余弦值【方法技巧】

7、(1)利用空间向量求空间角的一般步骤建立恰当的空间直角坐标系求出相关点的坐标，写出相交向量的坐标结合公式进行论证、计算转化为几何结论【变式探究】(2017北京卷)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD平面ABCD，点 M 在线段 PB 上，PD平面 MAC，PAPD，AB4.6(1)求证：M 为 PB 的中点；(2)求二面角 B-PD-A 的大小；(3)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值考点三考点三 探索性问题探索性问题要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形等)是否存在或某一结论是否成立 “是否存在”的问题的命题形式有两种情况：如果存在，找出

8、一个来；如果不存在，需要说明理由，这类问题常用“肯定顺推”的方法例 、(2016北京)如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面3ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.5(1)求证：PD平面 PAB；(2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值；(3)在棱 PA 上是否存在点 M，使得 BM平面 PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由AMAP【方法技巧方法技巧】空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无须进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断；解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐

9、标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题【变式探究】如图所示，已知正三棱柱 ABCA1B1C1中，AB2，AA1，点 D 为 AC 的中点，点3E 的线段 AA1上(1)当 AEEA112 时，求证：DEBC1；(2)是否存在点 E，使二面角 D-BE-A 等于 60？若存在，求 AE 的长；若不存在，请说明理由1.【2017 课标 1，理 18】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB/CD，且.90BAPCDP （1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，求二面角 A-PB-C 的余弦值.90APD2.【2017

10、 山东，理 17】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是的中点.DF（）设P是上的一点，且APBE，求CBP的大小；CE （）当3AB ，2AD ，求二面角EAGC的大小.3.【2017 北京，理 16】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD平面ABCD，点 M 在线段 PB 上，PD/平面 MAC，PA=PD=，AB=46（I）求证：M 为 PB 的中点；（II）求二面角 B-PD-A 的大小；（III）求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值4.【2017 天津，理 17】如图，在三棱锥

11、 P-ABC 中，PA底面 ABC，.点 D，E，N 分别90BAC为棱 PA，PC，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PA=AC=4，AB=2. （）求证：MN平面 BDE；（）求二面角 C-EM-N 的正弦值；（）已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为，求线段 AH 的长.7 215.【2017 江苏，22】 如图， 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，AA1平面 ABCD，且AB=AD=2，AA1=，3.120BAD（1）求异面直线 A1B 与 AC1所成角的余弦值；（2）求二面角 B-A1D-A 的正弦值.1.【2016 高考新课标 1

12、卷】 （本小题满分为 12 分）如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF为正方形,AF=2FD, 90AFD,且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是60（I）证明：平面 ABEF平面 EFDC；（II）求二面角 E-BC-A 的余弦值2.【2016 高考新课标 2 理数】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，5,6ABAC，点,E F分别在,AD CD上，5 4AECF，EF交BD于点H将DEF沿EF折到D EF位置，10OD （）证明：D H平面ABCD；（）求二面角BD AC的正弦值3.【2016 高考天津理数】 （本小题满分 13 分）如图

13、，正方形 ABCD 的中心为 O，四边形 OBEF 为矩形，平面 OBEF平面 ABCD，点 G 为 AB 的中点，AB=BE=2.（I）求证：EG平面 ADF；（II）求二面角 O-EF-C 的正弦值；（III）设 H 为线段 AF 上的点，且 AH=2 3HF，求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值.4.【2016 年高考北京理数】 （本小题 14 分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD 平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，1AB ，2AD ，5ACCD.（1）求证：PD 平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在点M，使得/ /BM

14、平面PCD？若存在，求AM AP的值；若不存在，说明理由.5.【2016 高考浙江理数】(本题满分 15 分)如图,在三棱台ABCDEF中,平面BCFE 平面ABC,=90ACB,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(I)求证：EF平面 ACFD；(II)求二面角 B-AD-F 的平面角的余弦值.6.【2016 年高考四川理数】 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=1 2AD，E 为边 AD 的中点，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90. （）在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 CM平面 PBE，并说明理由；（）

15、若二面角 P-CD-A 的大小为 45，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值.EDCBPA1(2015重庆，19)如图，三棱锥 PABC 中，PC平面 ABC，PC3，ACB .D，E 分别为线段2AB，BC 上的点，且 CDDE，CE2EB2. 2(1)证明：DE平面 PCD；(2)求二面角 APDC 的余弦值2(2015北京，17)如图，在四棱锥 AEFCB 中，AEF 为等边三角形，平面 AEF平面EFCB，EFBC，BC4，EF2a，EBCFCB60，O 为 EF 的中点(1) 求证：AOBE；(2) 求二面角 FAEB 的余弦值；(3)若 BE平面 AOC，求 a 的值3(2

16、015四川，18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设 BC 的中点为 M，GH 的中点为 N.(1)请将字母 F，G，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线 MN平面 BDH；(3)求二面角 AEGM 的余弦值4. 【2014 高考安徽卷第 20 题】如图，四棱柱1111DCBAABCD中，AA1底面ABCD.四边形ABCD为梯形，BCAD/,且BCAD2.过DCA,1三点的平面记为，1BB与的交点为Q.（1）证明：Q为1BB的中点；（2）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；（3）若AA14，2CD，梯形ABCD的面积为 6

17、，求平面与底面ABCD所成二面角大小.5. 【2014 高考北京理第 17 题】如图，正方体MADE的边长为 2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥ABCDEP中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱FD，PC分别交于G，H.（1）求证：FGAB/；（2）若PA 底面ABCDE，且PAAE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.6. 【2014高考湖北理第19题】如图，在棱长为2的正方体1111DCBAABCD中，NMFE,分别是棱1111,DABAADAB的中点，点QP,分别在棱1DD,1BB上移动，且20BQDP.（1）当1时，证明：直线/1BC平面EFPQ；（2）是否存在

18、，使平面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.7. 【2014 高考湖南理第 19 题】如图 6,四棱柱1111ABCDABC D的所有棱长都相等,11111,ACBDO ACB DO,四边形11ACC A和四边形11BDD B为矩形.(1)证明:1OO 底面ABCD;(2)若060CBA,求二面角11COBD的余弦值.8. 【2014高考江西理第19题】如图，四棱锥ABCDP中，ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD.（1）求证：;PDAB （2）若, 2,2,90PCPBBPC问AB为何值时，四棱锥ABCDP的体积最大？并求此时平面PBC与平面D

19、PC夹角的余弦值ABCDP9. 【2014 高考辽宁理第 19 题】如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且2ABBCBD，0120ABCDBC ，E、F 分别为 AC、DC 的中点.（1）求证：EFBC；（2）求二面角EBFC的正弦值.10. 【2014高考全国1第19题】如图，三棱柱111CBAABC 中，侧面CCBB11为菱形，CBAB1.（）证明：1ABAC ;（）若1ACAB，601CBB,BCAB ,求二面角111CBAA的余弦值.AA1BB1CC1（）证明：1ABAC ;（）若1ACAB，601CBB,BCAB ,求二面角111CBAA的余弦值.11. 【2014 高考陕西第 17 题】四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱CADCBD，于点HGF，.（1）证明：四边形EFGH是矩形；（2）求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值.