高中数学经典错题深度剖析及针对训练-三角恒等变换.pdf

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1、 【标题 01】没有挖掘角的隐含条件导致扩大了角的范围 【习题 01】已知 ，则角是第 象限的角. 43sincos2525 【经典错解】 所以填“一、二”. 24sin2sincos0.2225是第一、二象限的角【详细正解】 所以是第二象限的2247sin2sincos0cos2cos102225225 角，故填“二”.学科网 【习题 01 针对训练】若是的一个内角，且，则的值为（ ） ABC1sincos8 sincosA B C D 32325252 【标题 02】三角函数选的不够合理解题方向不当 【习题 02】已知， （ ） ,(0,)2 510sin,cos,=510则A. B. C

2、. D. 或 434444【经典错解】 002222 5102 53 10sincos,(0,)cossin5102510 ， 故选. 2 5105 3 102cos()coscossinsin51051024 D【详细正解】 002222 5102 53 10sincos,(0,)cossin5102510 ， 故选. 5102 5 3 102sin()sincoscossin5105102 4 A 【习题 02 针对训练】已知， . ,(0,)2 510sin,sin,+ =510 则 【标题 03】对三角函数的隐含条件挖掘不够导致出现增解 【习题 03】已知则= . 10,sincos,

3、2apaa+=cos2a【经典错解】把三角方程平方得 131 2sincossin2044aaaap+=-022ap，所以填. 237cos21 ()44a=- -=74【详细正解】把三角方程平方来源:学科网 131 2sincos2sincos044aaaaap+=- ， 故填. 322pap237cos21 ()44a=- -=-74-【深度剖析】 （1）经典错解错在对三角函数的隐含条件挖掘不够导致出现增解. （2）三角函数的化简求值时，如果出现多值，就要注意挖掘已知中的隐含条件，以免增解. （3）在同一个直角坐标系中作出正弦和余弦函数的图像观察得：当时，；当时，；当02sincos032

4、4sincos0时，. 34sincos0【习题 03 针对训练】若是关于的方程（是常数）的两根，求sin ,cosx250 xxaa(0, )的值 cos2 【标题 0 4】解三角方程观察三角函数的图像不到位导致漏解 【习题 04】方程的解集为 . 2sin2x 【经典错解】由正弦函数的图像可知方程的解集为. |2,4x xkkz【详细正解】由正弦函数的图像可知方程的解集为. 3 |22,44x xkkkz或 【习题 04 针对训练】已知函数44( )cos2sin cossinf xxxxx. （1）若x是某三角形的一个内角，且2( )2f x ，求角x的大小；（2）当0,2x时，求( )

5、f x的最小值及取得最小值时x的集合. 【标题 05】没有发现已知中的的隐含范围所以导致出现增解 , 【习题 05】已知均为锐角，且，则= . , 210cos5,cos510【经典错解】因为为锐角， 2225cos5,sin1 (5)555因为为锐角， 210103cossin1 ()10101010所以 2105 3 102cos()coscossinsin55105102因为，所以=. 00022222 4【详细正解】 （前面同上）所以=. 4因为均为锐角，且 , 210cos5,cos510coscos 所以=. 故填. 00244 【习题 05 针对训练】若，则（ ） 31sinco

6、s), 0(aaa且a2cosA. B. C. D. 917917917317 【标题 06】在求角时忽略了隐含的角的范围 【习题 06】已知 ，且 ，求 的值. ,(0, ) 11tan()tan27 2【经典错解】 所以 1242tan2()1314tan(2)tan2() 41371411()37 002200 所以 35222,.444 或【详细正解】 所以 1242tan2()1314tan(2)tan2() 41371411()37 1330tan1tan744 113127tantan()=10114341(27 ）所以 30222244 【习题 06 针对训练】 ）在平面直角坐

7、标系中，以轴为始边,锐角的终边与单位圆在第一象限交于xoyox点，且点的纵坐标为，锐角的终边与射线 （）重合 AA101070 xy0 x （1）求的值； （2）求的值 tantan和2 【标题 07】三角函数的周期公式中的理解错误 w【习题 07】已知函数的最小正周期为，求的值. ( )4cossin()(0)4f xwxwxww【经典错解】 2( )4cossin()4cos(sincos)42f xwxwxwxwxwx21cos22 2sincos2 2cos2sin2 22sin2wxwxwxwxwxwx 2cos222sin(2)24wxwx因为的最小正周期为，且0，从而有，故2.

8、( )f xw2=w【详细正解】 2( )4cossin()4cos(sincos)42f xwxwxwxwxwx21cos22 2sincos2 2cos2sin2 22sin2wxwxwxwxwxwx 2cos222sin(2)24wxwx因为的最小正周期为，且0，从而有，故1. ( )f xw2=2w 【习题 07 针对训练】设函数,且的图象的一个23( )3sinsincos2f xxxx(0)w ( )yf x对称中心到最近的对称轴的距离为,（1）求的值；（2）求在区间上的最大值和最小4w( )f x3 ,2值. 【标题 08】求单调区间时忽略了函数的定义域 【习题 08】设函数 (

9、sincos )sin2( ).sinxxxf xx（1）求( )f x的定义域及最小正周期；（2）求( )f x的单调递增区间 【经典错解】 （1）由sin0 x ，得()xkkZ，故( )f x的定义域为|,.x xR xkkZ (sincos )sin2( )sinxxxf xx2cos (sincos )xxx2sin22cosxx 2sin(2) 14x 函数( )f x的最小正周期2.2T sin2cos21xx（2）函数( )sinf xx的单调递增区间为 2,222kkkzpppp-+由，得 222242kxkkzppppp-+388kxkkzpppp-+函数( )f x的单调

10、递增区间为 3,88kkkzpppp-+【详细正解】 （1）同上. （2）函数( )sinf xx的单调递增区间为 2,222kkkzpppp-+由得. 222242kxkkzppppp-+388kxkkzpppp-+函数( )f x的单调递增区间为 3,88kkkzpppp-+因为( )f x的定义域为|,.x xR xkkZ 函数( )f x的单调递增区间为 3,k ),(k ,88kkkzpppppp-+ 【习题 08 针对训练】已知函数， 22( )2sin() cossincosf xxxxxxR（1）求的值及函数的最小正周期； ( )2f( )f x（2）求函数在上的单调减区间 (

11、 )f x0, 【标题 09】没有挖掘出已知的重要条件 【习题 09】已知函数 2( )2cos cos()3sinsincos6f xxxxxx（1）求 的最小正周期；学！科网 ( )f x（2）把的图象向右平移个单位后，在是增函数，当最小时，求的值 ( )f xm0,2|mm【经典错解】(1) 2( )2cos cos()3sinsincos6f xxxxxx 22cos (cos cossin sin)3sinsincos66xxxxxx 223cossin cos3sinsin cosxxxxxx223(cossin)2sincosxxxx = 3cos2sin22sin(2)3xxx

12、T22（2） ( )2sin(22)3g xxm由得单调递增区间为. 2222232kxmk51,1212mkmk在是增函数，所以当时，函数的增区间是 ( )g x0,20k 5,1212mmpp-+所以 5055512121212122mmmmpppppp-+=+【详细正解】 （1）同上. （2） ( )2sin(22)3g xxm由得单调递增区间为. 2222232kxmk51,1212mkmk在是增函数，而函数的最小正周期恰好是，所以刚好是半个周期，( )g x0,2p0,2p，当最小时，=. 5012mk512mk|mm512 【习题 09 针对训练】已知函数 在区间上为增函数，则正实

13、数的取值范围2sinywx,3 4p p-w是 . 【标题 10】使用韦达定理时漏了 0 【习题 10】已知、 是关于 的方程的两个根，求实数的值. sincosx286210 xkxk k【经典错解】由根与系数的关系，得 23sincos92141221168sincos8kkkk 1029k 或-【详细正解】由根与系数的关系，得 22364 8 (21)0392110sincos1224168921sincos8kkkkkkk 或-把代入 检验得不成立 ，所以.来源:Zxxk.Com 2k 0 109k 【习题 10 针对训练】设是三角形的内角，且和是关于方程 的两个Asin Acos A

14、x2255xax120a根 （1）求的值； （2）求的值 atan A 【标题 11】审题不清忽略了题目中的已知条件导致出现双解 【习题 11】已知，求的值. 32412cos()133sin()5 cos2【经典错解】 332442 3121445cos()sin()124441316913 3333sin()242425 94cos()1255 cos2cos()()cos()cos()sin()sin() 1245333()()13513565 或 cos2cos()()cos()cos()sin()sin() 1245363()()13513565 3363cos26565 或-【详细

15、正解】 332442 310024444 121445cos()sin()113169133333sin()242425 94cos()1255 cos2cos()()cos()cos()sin()sin() 1245333()()13513565 【习题 11 针对训练】已知，且，则024coscossinsin54tan3tan= 高中数学经典错题深度剖析及针对训练 第 19 讲：三角恒等变换参考答案 【习题 01 针对训练答案】 D 5102 53 10sinsin,(0,)coscos5102510 ， 故填 . 2 5 3 105102cos()coscossinsin5105102

16、44【习题 03 针对训练答案】 725-【习题 03 针对训练解析】由题意知， , 1sincos521(sincos )25 即， 即与异号，12412sincos2sincos02525 sincos0， ,则 1sincos53322422cos21 sin 2 ，所以. 22471 ()2525 7cos225 【习题 04 针对训练答案】 （1）524x或1324x；（2）( )f x的最小值为2，此时x的取值集合为38. 【习题 04 针对训练解析】 （1）2222( )(cossin)(cossin)sin2f xxxxxx cos2sin22sin(2)4xxx 由22sin

17、(2)42x ，即1sin(2)42x， 所以2246xk，kZ，或52246xk，kZ 解得524xk，kZ，或1324xk，kZ， 因为0 x， 所以524x，或1324x （2）由（1）知( )2sin(2)4f xx ，因为0,2x， 所以32,444x 所以2( )1f x，所以当且仅当242x，即38x时，( )f x取得最小值2，即( )f x的最小值为2，此时x的取值集合为38. ，因为，所以，故选. 98cossin22sinaaa2223 a9172cos, 02cosaaA【习题 06 针对训练答案】 （1）；（2）. 1 1,3 74【习题 06 针对训练解析】 （1）

18、由条件得 ，为锐角，故 且， 1sin10cos03cos10所以 .因为锐角的终边与射线（）重合，所以 1tan370 xy0 x 1tan7（2）, 1tan31tan711tantan137tan1 11tantan213 7 11tantan()32tan 2tan()11 11tantan()13 2，在上单调递增，且 ， 来源:Zxxk.Com 02xytan)2, 0(4tan1tan40同理， 从而 40432024【习题 07 针对训练答案】 （1）1；（2） 3, 12 【习题 08 针对训练答案】 （1），函数的最小正周期为；（2）函数在上的单( )12f( )f x(

19、)f x0,调减区间为 3 7,88【习题 08 针对训练解析】. ( )f x sin2cos2xx2sin(2)4x（1）.显然，函数的最小正周期为. 2( )2sin(2)212242f( )f x来源:学|科|网 Z|X|X|K （2）令得，. 32 22 242kxk3788kxkkZ又因为，所以.故函数在上的单调减区间为 0,x3 7,88x( )f x0,3 7,88【习题 09 针对训练答案】 3(0, 2【习题 09 针对训练解析】 2222kwxkpppp-+2222kkxwwwwpppp-+（kz） ，所以函数的增区间为 由于函数的图像过原点且是奇函数 22,22kkkz

20、wwwwpppp-+时，增区间为，所以 0k ,22wwpp-23302420wwwwpppp- -所以正实数的取值范围是. w3(0, 225 时，不符合，所以 =1 0 a（2）由，可得 1sincos(1)512sincos(2)25AAaAAa 1sincos(1)512sincos(2)25AAAA 再根据0，0，求得来源:学科网 ZXXK sin Acos A43sin4sincostan55cos3AAAAA 【习题 11 针对训练答案】 724【习题 11 针对训练解析】，且， 024coscossinsin5 4cos()0052222 300sin()25 故填4tansin()3373tan()tan4cos)44241tan3 即（724