高中数学经典错题深度剖析及针对训练-数列综合.pdf

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1、 【标题 01】混淆了数列和数列的“” na 212,nnaa-n【习题 01】已知数列满足，且, na11a 212a 23( 1) 22( 1)10nnnnaa . nN（1）求的值及数列的通项公式； 3456,a a a ana（2）设()，求数列的前项和. 212nnnbaanN nbnnS【经典错解】 （1）由已知得 3456113,5,.48aaaa当为奇数时，所以数列的奇数项组成一个等差数列， n22nnaa所以 222111( )1 (22)22321 222nnnaannnan-= +-=-=-=-当为偶数时，所以数列的偶数项组成一个等比数列， n212nnaa所以 2222

2、2112211111( )( )( )( )22222nnnnnnaaa-=因此，数列an的通项公式为 ()()n-12=21122nnnkkNank kN（）*-=（2）下略. 【详细正解】 （1）由已知得 3456113,5,.48aaaa当为奇数时，所以数列的奇数项组成一个等差数列， n22nnaa21na-21na-令 211121(1)2222121nnnnnabbbnannanan-=+-=+-=-=-=所以 222111( )1 (22)22321 222nnnaannnan-= +-=-=-=-当为偶数时，所以数列的偶数项组成一个等比数列， n212nnaa2na2na 111

3、22221211111112222222nnnnnnnnnnnabbbaa- = 因此，数列的通项公式为 na()()n2=21122nnnkkNank kN（）*-=（2）因为，则 212nnnbaa ， 2311111113 ( )5 ( )(23) ( )(21) ( )22222nnnSnn ， 23411111111 ( )3 ( )5 ( )(23) ( )(21) ( )222222nnnSnn 两式错位相减得 234111111112 ( )2 ( )2 ( )2 ( )(21) ( )2222222nnnSn 11112( )1142(21) ( )12212nnn131(2

4、3)( )22nn 13(23)( )2nnSn 【习题 01 针对训练】定义：项数为偶数的数列，若奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，则称该数列为“对偶数列” （1）若项数为项的“对偶数列” ，前项为，求该数列的通项公式及项的和； 20 na411,1,3,220（2）设项数为（）的“对偶数列” 前项为，试求该数列前 （，2mmN na411,1,3,2n12nm）项的和； nNnS（3）求证：等差数列 为“对偶数列”当且仅当数列为非零常数数列 na(0)na na 【标题 02】放缩不等式求和时没有分类讨论 【习题 02】设数列的前项和为.已知,. nannS11a 2121233nnSa

5、nnn*nN(1) 求的值；(2) 求数列的通项公式；(3) 证明:对一切正整数,有. 2a nan1211174naaa【经典错解】(1) 解： ，. 2121233nnSannnnN 当时， 又， 1n 112212221233aSaa 11a 24a（2）解： ，. 2121233nnSannnnN 321112122333nnnn nnSnannnna当时， 2n 111213nnnn nSna由 ，得 112211nnnnSSnanan n 1222nnnaSS1211nnnananan n 数列是以首项为，公差为 的等差数列. 111nnaannnan111a1 21 11,2nn

6、annannn 当时，上式显然成立. 1n 2*,nannN（3）证明：由（2）知， 2*,nannN 221111 ,11nnnnnn 2221211111111111121 32 4211naaannnnn 1 111 111 1111111112 132 242 3522211nnnn 1 111111111112 132435211nnnn 1 11117111712 1214214nnnn 原不等式亦成立. 综上，对一切正整数，有. n1211174naaa【详细正解】 （1）同上；（2）同上； （3）证明：由（2）知， 当时，原不等式成立. 2*,nannN1n 11714a 当时

7、, ,原不等式亦成立. 2n 121117144aa 当时, 3n 221111 ,11nnnnnn 2221211111111111121 32 4211naaannnnn 1 111 111 1111111112 132 242 3522211nnnn 1 111111111112 132435211nnnn 1 11117111712 1214214nnnn 当时,，原不等式亦成立. 综上，对一切正整数，有.学科.网 3n n1211174naaa 【习题 02 针对训练】已知数列满足，令. （）求证：是等比数列； （）记数列的前 n项和为，求； （）求证：. 12111111122 3

8、16nnaaa【标题 03】对等比数列的判断方法没有理解透彻 【习题 03】设数列满足，的前项和为，数列满足 na12nnaan(n2nN )且 nannS nb 2nnban（l）若，求;（2）试判断数列是否为等比数列？请说明理由； 11a 4S nb（3）若，且试比较与的大小，并证明你的结论 13a , ,m n pN2mnpmnSS2pS【经典错解】 （1），且， 12nnaan(n2nN )且11a ， . 22 124a 32 4311a 42 11426a 442S （2）， 2nnban11+n+1 +2=2(1)(1)22(2)2nnnnnbaannanb（）所以数列是以为首项

9、，为公比的等比数列. nb13a 2（3）事实上，由（2）知，当时，则 2mnPSSS13a 10b 2nan 是以为首项，为公差的等差数列， na311(5)2nSn n ，且， , ,m n pN2mnp 112(5)(5(522mnPSSSp pm mn n）22215(2 )22(2)42pmnpmn . 222211(m n)22()044mnmn 2mnPSSS【详细正解】 （1）同上； （2）， 2nnban11+n+1 +2=2(1)(1)22(2)2nnnnnbaannanb（）又，当时，此时不是等比数列， 113ba13a 10b nb当时，则 13a 10b 12()nn

10、bnNb故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列.（3）同上 13a nb13a 2【深度剖析】 （1）经典错解错在对等比数列的判断方法没有理解透彻.（2）要判断一个数列是等比数 na列，需要证明和，但是错解只证明了，忽略了对1(0,)nnaq qnNa*+=10a 1(0,)nnaq qnNa*+=首项是否为零的讨论，所以是错的.所以今后要判断一个数列是等比数列，一般先求的值，如果不是1nnaa+同一常数，数列不是等比数列，如果，然后求出它的首项，看它的首项是否na1(0,)nnaq qnNa*+=为零，如果首项不为零，就是一个等比数列，否则也不是. 【习题 03 针对训练】设数列的前项和为

11、，且. nannS23nnSan()nN（1）证明数列为等比数列;（2）求的前项和. 3na nSnnT 【标题 04】逻辑不严谨忽略了等式的性质 【习题 04】求和. 12321xxnxn【经典错解】令， 则 Sxxnxnn12321xSxxxnxnxnnn231231 ()两式相减得来源:Z_xx_k.Com 21(1)1nnnx Sxxxnx 21(1)1nnnxnxSxx【详细正解】若，则；若， 则. x 0Sn1x 1Sn nn() 12 若，且时 令 x 0 x 1Sxxnxnn12321 则 xSxxxnxnxnnn231231 () 两式相减得 21(1)1nnnx Sxxxn

12、x 21(1)1nnnxnxSxx 【习题 04 针对训练】设数列满足, 0,b na111= ,(2)22nnnnbaab anan（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数 n,. na1112nnnba 【标题 05】弄错了数列的首项 【习题 05】已知数列满足，. na121,2aa12,*2nnnaaanN（1）令，证明：是等比数列；（2）求的通项公式. 1nnnbaa nb na【经典错解】 （1）.当时， 1211baa2n 11111222nnnnnnnnnaaaabaaab 是首项为，公比为的等比数列. nb11a =12（2）由（1）可得，下面的略. 11111 (

13、)()22nnnb 111()2nnnaa 【详细正解】 （1） 1211baa当时， 2n 11111222nnnnnnnnnaaaabaaab 是首项为，公比为的等比数列. nb1211baa=-=12（2）由（1）可得， ， ， 11()2nnb 111()2nnnaa 0211()2aa 1321()2aa ， 211()(2)2nnnaan 00211111521()()()()(2)222332nnnaan 当时，也符合， 1n 1521()332nna 【习题 05 针对训练】在数列中， na11a 122nnnaa（1）设证明：数列是等差数列；（2）求数列的前项和 12nnna

14、b nb nannS 【标题 06】等比数列求和弄错了数列的项数 【习题 06】已知数列的前项和，数列 满足，且 nan2nnSa nb11b 3718bb（）.（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前112nnnbbb2n na nbnnnabc ncn项和. nT【经典错解】 （1）由题意知，当时，-得2nnSa2n 112nnSa，即，又，故数列是以 为首项，11nnnnnaSSaa121nnaa1112aSa11a na121为公比的等比数列，所以，由（）知，数列是等差数列，设其公差121nna112nnnbbb2n nb为 ，则，故， d9)(21735bbb12) 1(241

15、15ndnbbbbdn，综上，数列和的通项公式分别为. na nb12211nbannn，（2），来源:学科网 12) 12(nnnnnabc 12nnTccc12102) 12(252321nn nnnnnT2) 12(2)32(23212121-得， nnnnT2) 12()222(21121 . 下面略. 2(1 2 )1 2(21) 21 2nnnTn-= +-【详细正解】 （1）同上 （2）， 12) 12(nnnnnabc 12nnTccc12102) 12(252321nn nnnnnT2) 12(2)32(23212121-得，, nnnnT2) 12()222(2112112

16、(1 2)1 2(21) 21 2nnnTn-= +-即， 32)32(2) 12()22(21nnnnnnT32)32(nnnT【深度剖析】 （1）经典错解错在等比数列求和时弄错了数列的项数.（2）经典错解没有认真观察，凭经验得到数列有项，实际上这个数列有项，所以在观察数列有多少项时，一定既要观121222n-+n1n察首项，也要观察末项，要瞻前顾后，这才是科学的严谨的.（3）数列的首项、项数、末项等是很容易错的基本量，所以在解答数列题时，在这些地方要谨慎细心. 【习题 06 针对训练】已知数列的前项和与通项满足. nannSna1122nnSa（1）求数列的通项公式； na（2）设，求；

17、31212111( )log,()().(),.nnnnf xx bf af af aTbbb2014T（3）若，求的前项和. ()nnncaf a ncnnU 【标题 07】不一定能说明是使得成立的最大自然数 40060S40060nS 【习题 07】若数列是等差数列，首项，则使前项和na10a 200320040aa200320040aan成立的最大自然数是（） 0nS n A 4005B 4006C 4007D 4008【经典错解】， 10a 200320040aa200320040aa首项大于零的递减的等差数列， ,故选. 400614006200320044006()2003()02

18、Saaaa=+=+B【详细正解】， 10a 200320040aa200320040aa首项大于零的递减的等差数列，, 200320040,0aa，故选. 4007140072004200440074007()24007022Saaaa=+=-【习题 04 针对训练解析】(1)由可得 1122nnnnbaaan1211,nnnnab ab当时,则数列是以为首项为公差的等差数列, 2b 111,2nnnnaanna1112a12,2nnna从而 2.na 当时 2b 11211(),22nnnnabb ab,则数列是以为首项.为公比的等比数列. 12nnab11122(2)abbb2b 1122

19、12(2)( )( ) ,2(2)22nnnnnnnnnbbaabbbbbbb综上 2,(2).(2)(0,2)2nnnnbanbbbbb（2）当 b=2 时，从而原不等式成立. 11112,2,22nnnnnnbbaa+1+1,当时，要证 b2112nnnba+1,111(2)(2),2222nnnnnnnnnnbbbnbbbbb1+1即证+即证 1232211,22222nnnnnnnnbbbbbb1+即证 1232112223122221,2222nnnnnnnnnnbbbbbbbbbn而上式左边 1212112322221)()()()2222nnnnnnnnbbbbbbbb=( 12

20、1211232222122222222nnnnnnnnbbbbnbbbb所以当时，原不等式也成立，从而原不等式成立. b2 -得. 1222222121210 nnnnnnnS【习题 06 针对训练答案】 （1）；（2）；（3）. 1( )3nna 201440282015T 133 131( )( )44 323nnnUn 【习题 06 针对训练解析】 （1）在中，令，可得 1122nnSa1n 1111111223aSaa当时， 2n 11111111()22223nnnnnnnaSSaaaa数列是以为首项，为公比的等比数列， na13131( )3nna （2）由（1）及， 3( )lo

21、gf xx331()loglog ( )3nnf axn ，故， 12(1)()().()1232nnn nbf af af an 1112()1nbnn 又， 121111111112.2(1)()()2(1)223111nnnTbbbnnnn 201440282015T （3）由（2）及， ()nnncaf a1()( )3nncn ， 12121111 ( )2 ( )( ) 333nnnUcccn 可得：， 1323111111 ( )2 ( )( )3333nnUn -：， 12112111111 11( )( )( )( )( )( )3333322 33nnnnnUnn ， 13

22、3 131( )( )44 323nnnUn 【习题 07 针对训练答案】 B ，即，综上，；来源:Z,xx,k.Com 121 nan121nan121nan*Nn，则 )121121(21) 12)(12(1nnnnbn)1211 (21nSn（2）由得， 21nS21nS所以，因为是单调递增数列，所以当时取得最小值为，因此 min)21(nSnS1nnS3165【习题 09 针对训练答案】 123nna【习题 09 针对训练解析】由题得 23421324312 ,2 ,2 ,2nnnaaaaaaaa所以. 12341114(1 2)222224,231 2nnnnnnaaa【习题 10 针对训练答案】 （1）利用等差数列定义证明即可；（2 ）；(3) 21nnTn10m 来源:Zxxk.Com