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1、 【标题 01】平行向量单位向量的概念理解不透彻忽略了一些特殊情况 【习题 01】给出下列命题: (1)向量与向量是共线向量,不是平行向量; AB BA (2)若向量与向量都是单位向量,则;来源:Z,xx,k.Com abab=(3)若,则四点构成平行四边形; ABDC= , ,A B C D(4)为实数,若,则与共线.其中错误的命题的序号是 . ,l mablm=ab【经典错解】 (1) (2) 【习题 01 针对训练】下列命题正确的是( ) A. 若与共线,与共线,则与也共线. abbcacB. 任意两个相等的非零向量的起点和终点是一个平行四边形的四个顶点. C. 向量与不共线,则与都是非
2、零向量. ababD. 有相同起点的两个非零向量不平行. 【标题 02】把“钝角”当作了真命题 cos,0,a ba b 上【习题 02】已知直线上一点的横坐标为,则使向量与的夹角为钝2yxPa( 1,1)A (3,3)BPA PB 角的充要条件是 . 【经典错解】由题意知点的坐标为(,2) ,=(1,12) ,=(3,32) PaaPA aaPB aa由向量与的夹角为钝角,得:=(1,12)(3,32)=(1) (3PA PB PA PB aaaaa)+(12) (32)=,则向量与的夹角为钝角的充要条件aaa25100aa02aPA PB 是. 02a 【习题 02 针对训练】已知和是两个
3、互相垂直的单位向量,且 与 的夹角ij2aijbij ab为锐角,则实数的取值范围是 . 【标题 03】向量加法和减法的三角形法则运用错误 【习题 03】在中,错误的式子是( ) ABCDA. B. ADABBD ADABDB C. D. ACBCABACABAD【经典错解】 .ADABDBA 因为,所以选择【详细正解】根据平行四边形法则知,错误的为.在向量的加法运算中,第一个向量的终点和第二个向B量的起点相同时,可得第一个向量的起点指向第二个的终点,如,在向量的减法运算中,ACBCAB两向量的起点相同,则由第二个向量的终点指向第一个的起点,如,对于选项,利用平ADABBD D行四边形法则结合
4、图像可得. ACABAD 【习题 03 针对训练】如图,空间四边形中,.点 在 上,且OABCOA aOB bOCcMOA,为的中点,则等于() 2OMMANBCMN A. B. 12a23b12c23a12b12cC. D. 12a12b23c23a23b12c 【标题 04】把向量平行的充要条件记成了 12120 x xy y-=【习题 04】已知,且,则 . (1,2)a (2 , 3)bxabx 【经典错解】根据有,所以 ab12120 x xy y-=1 22 ( 3)03xx-=【详细正解】根据有,可知,得 ab01221yxyx022)3(1x43x【深度剖析】 (1)经典错解错
5、在把向量平行的充要条件记成了.(2)12120 x xy y-=|a b, 12210 x yx y不是,可以记为“斜乘相减等于零”.,可以记为“竖乘相加等于12120 x xy y-=12120abx xy y+=零”.这两个公式是向量运算里经常要用到的,大家要区分并记牢. 【习题04 针对训练】已知a=(-3,2) ,b=(-1,0) ,向量与垂直,则实数的值ab2ab为 【标题 05】求模时没有开方 【习题 05】已知与均为单位向量,它们的夹角为,那么等于 . ab60|3 |ab【经典错解】,所以. 2221|3 |691 9672abaa bb-=-+= + -= |3 | 7ab【
6、详细正解】,所以. 2221|3 |691 9672abaa bb-=-+= + -= |3 |7ab 【习题 05 针对训练】若向量,则的最大值为( ) cos ,sina3, 1b 2abA. B. C. D. 42 222 【标题 06】对在上的投影的概念和公式理解不透彻 ab【习题 06】已知ea, 4为单位向量,当ea,的夹角为32时,a在e上的投影为( ) A.2 B. 2 C. 32 D.32 【经典错解】,所以a在e上的投影为,所以选择. 2cos,4 1 cos23a ea eaa eaa ee 2A【详细正解】a在e上的投影为,所以选择. 2cos,4 1 cos23a e
7、a eaa eaa ee B【深度剖析】 (1)经典错解错在对在上的投影的概念和公式理解不透彻.(2)在上的投影为abab,由于,所以在上的投影可以是正数,也可以是负数,也|cos,aa b | 0, 1cos,1aa b- ab可以是零.有的同学把在上的投影和射影混淆了,一个线段在另外一个线段上的射影是一个非负数.经典ab错解就是错在这里,它算出一个负值后,想象投影应该是一个非负数,所以最后取了一个正数.(3)数学是一门很严谨的自然科学,要从概念出发,利用公式进行推理,不能光凭想象. 【习题 06 针对训练】已知,则向量在向量方向上的投影是_ | | | 6 6a a | | | 3 3b
8、b 1 12 2a a b b a a b b 【标题 07】向量的夹角的概念理解错误 【习题 07】在边长为 1 的等边ABC 中, . AB BC = 【经典错解】 01| | cos602AB BCABBC= 【详细正解】 01| | cos1202AB BCABBC=- 【习题 07 针对训练】已知正的边长为 1,则 ABCAB BCBC CACA AB 【标题 08】对向量的夹角的范围没有记清 【习题 08】已知向量满足:与垂直,且,则的夹角, a b 2ab54ab| 1,| 1abab与为 . 【经典错解】由已知得().()=0,故,则,故与2ab54ab12a b cosa b
9、a bab 12ab的夹角为和. 353p【详细正解】由已知得().()=0,故,则,又因为2ab54ab12a b cosa ba bab 12,故与的夹角为. 0, a b ab3【深度剖析】 (1)经典错解错在对向量的夹角的范围没有记清.(2)两个向量的夹角的范围是q0, qp,不是,所以本题只有一个答案. 0,2 qp【习题 08 针对训练】已知,为坐标原点. )0 , 2(A)2 , 0(B)sin,(cosCO(1),求的值; 31BCAC2sin(1)若,且,求与的夹角. 7|OCOA)0 ,(OBOC 【标题 09】把向量的运算和乘法公式类比出现错误 【习题 09】对于非零向量
10、,下列命题正确的是( ) ba,A. B. 是| 0ba00ab或ba/ab上上上上上|aC . D. ba2)(bababacbca【经典错解】类比乘法性质,所以选择. 000a bab =上A【详细正解】对于选项, , ,故错A0|cos,00=0a ba ba bab 或 =,=2a b 或pA误;对于 B,所以错误. ab上上上上上| |cos|aa是q=B对于,所以错误,排除法选.故选. D|cos|cos;a cb ca cb cab 不能推出DCC 【习题 09 针对训练】已知两不共线向量则下列说法不正确的是 cos, sin,cos, sin,ab() A B 1abababC
11、与的夹角等于 D与在方向上的投影相等 ababab 【标题 10】没有认真审题忽略了“方向相同”这个条件 【习题 10】已知点, ,则与向量同方向的单位向量是 . 1(2,)2A1 3( , )2 2BAB 【经典错解】 1 313( , )(2,)(,2)2 222AB 设所求的向量为,所以 所以填. ( , )x y223315534420-255xxxyyxyy=-=+=-=上3 434(, ),( ,)5 555-【详细正解】方法一:, 1 313( , )(2,)(,2)2 222AB 设所求的向量为,所以但是向量和向量方向相( , )x y223315534420-255xxxyy
12、xyy=-=+=-=上34( ,)55-AB反,所以舍去,故填 3 4(, )5 5-方法二: , 1 313( , )(2,)(,2)2 222AB 2235|()222AB 与向量同方向的单位向量= AB 233 4(,2)(, )525 5|ABAB 【习题 10 针对训练】若,则与方向相反的单位向量是 (6, 8)a a 【标题 11】对平面向量基本定理和基底没有理解清楚 【习题 11】下面说法中,正确的是() 一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底; 一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底; 零向量不可作为基底中的向量; 对于平面内的任一
13、向量和一组基底,使成立的实数对一定是唯一的 a12,e e 12aee A B C D 【经典错解】四个命题都是正确的,故选. D【详细正解】根据平面向量基本定理知: 一个平面内任何一对不平行的向量都可作为表示该平面所有向量的基底,故错误; 一个平面内有无数多对不平行向量都可作为表示该平面内所有向量的基底,故正确; 零向量不可作为基底中的向量,因为零向量和任何向量都共线,故正确; 对于平面内的任一向量和一组基底,使成立的实数对一定是唯一的,根据平面向a12,e e 12aee 量基本定理可知正确故选. B 【习题 11 针对训练】如果是平面内所有向量的一组基底,那么下列命题中正确的12,e e
14、 是 .(把所有正确命题的序号都填上) 若存在实数,使得,则; 12, 1 1220ee 120平面内任一向量 都可以表示为,其中; a1 122aee 12,R 不一定在平面内,其中; 1 122aee 12,R 对于平面内任一向量,使的实数有无数对. a1 122aee 12, 【标题 12】对于向量的相关概念公式法则理解不透彻 【习题 12】对任意向量,下列命题中正确的是. , a b _ A若满足,且与同向,则 B , a b | |ababab| |ababC D | | |a bab | |abab【经典错解】选. A【详细正解】对于选项,由于向量不能比较大小,故不正确;对于选项,
15、根据三角形法则,AB;对于选项,所以选项错误;对于| |ababC| |cos| |cos| |a ba ba bab C选项,根据三角形法则,选项正确. DD【深度剖析】 (1)经典错解错在对于向量的相关概念公式法则理解不透彻. (2) |ab ,和是与向量有关的介个重要结论,可以理解的记住. |ab| |abab| |a bab 【习题 12 针对训练】下列命题中,正确的命题有. _ ; ; | |abab| |abab ; | |abab| |abab 【标题 13】平行向量的概念和性质理解错误 【习题 13】下列各命题中,真命题是. _ A若,则 B若,则 | |abab/ /ab/
16、/bc/ /ac C长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量 D单位向量都相等 【经典错解】由平行的传递性得选 B【详细正解】对于选项,显然是错误的;对于选项,当 时,满足,但是AB0b / /ab/ /bc;对于选项,单位向量不一定相等,因为它们可能方向不同.故选. ac不一定和平行DC【深度剖析】(1)经典错解错在平行向量的概念和性质理解错误. (2)判断向量的有关命题时,注意向量的两个要素(方向和大小). 【习题 13 针对训练】下列说法正确的是( ) A共线向量的方向相同 B零向量是 0C长度相等的向量叫做相等向量 D共线向量是在一条直线上的向量来源:Zxxk.Com 来源:学科网 Z
17、XXK 【标题 14】把“”看成了“” | 2| 2ab| 2| 2ab【习题 14】已知,且向量在上的投影为,则. | 2| 2abab1(2 )_ab b【经典错解】由题得 1|cos1cos2a 2221(2 )2|cos2|2 2 ()2 2102ab ba bba bb 【详细正解】由题得 1|cos1cos2a 221(2 )2|cos2|2 () 132ab ba bba bb 【习题 14 针对训练】若向量满足,则的值为 . ba,| 2| 2|3baab|32 |ab 【标题 15】数量积的公式和运算理解不透彻 【习题 15】下列命题正确的是. _ A若,则或 B 0a b
18、0a0ba bb a C若,则 D a cb c (0)cab()()a b ca b c 【经典错解】类比实数的运算性质得选. A【详细正解】对于选项, A0|cos,00=0,=2a ba ba baba bp = 上上A所以是错误的. ,|cos,.B a ba bb aB 对于选项所以选项是正确的 对于选项, 对于选项 ,向量的数量积不C|cos|cos;a cb ca cb cab 不能推出D满足结合律,所以是错误的. 故选. A 【习题 15 针对训练】对于非零向量,下列命题正确的是( ) ba,A. B. 是| 0ba00ab或ba/ab上上上上上|aC . D. ba2)(ba
19、babacbca来源:学科网 高中数学经典错题深度剖析及针对训练 第 12 讲:平面向量参考答案 【习题 01 针对训练答案】 C【习题 01 针对训练解析】因为零向量与任何向量都是共线向量,所以正确.故选. CC 【习题 04 针对训练答案】 17【习题 04 针对训练解析】因为所以由向量与垂直ab( 31,2 ), 2ab( 1,2), ab2ab得: 13140,.7 【习题 05 针对训练答案】 A【习题 05 针对训练解析】由题意可知,而 1a 2b 3cossina b 222abab因此2244443cossin44 sin3cos88sin83aa bb 2ab的最大值为,故选
20、. 884A【习题 06 针对训练答案】 4【习题 06 针对训练解析】向量在向量方向上的投影是(是,的夹角) ,abacosabacos=-4. bba【习题 07 针对训练答案】 32【习题 07 针对 训练解析】由题意得题中三组向量的夹角皆为所以120 , 31 1 cos1201 1 cos1201 1 cos120.2AB BCBC CACA AB 又, )2 , 0(OB)23,21(OC, 23230|,cosOCOBOCOBOCOB. 65,OCOB【习题 09 针对训练答案】 C【习题 09 针对训练解析】,故正确;cos, sin,cos, sin,1ababA故正确;在方
21、向上的投影为 221 10 ,ababab ,ababBaab同理可得在方向上的投影也为故正确对于,两向量cos,a ba baa baa babb bab,a b DC的夹角范围为而可以是任意角,故错误综上所述选 0 ,CC【习题 10 针对训练答案】 3 4(, )5 5-【习题 10 针对训练解析】与方向相反的单位向量为 ,故填 a(6, 8)3 4(, )105 5|aa 3 4(, )5 5-【习题 11 针对训练答案】 【习题 11 针对训练解析】根据平面向量基本定理可以知道正确. 对于命题,一定在1 122aee 平面内.对于命题,对于平面内任一向量,使的实数有且只有一对.故填a1 122aee 12, . 【习题 12 针对训练答案】 【习题 14 针对训练答案】 13【习题 14 针对训练解析】 22|3231423ababa ba b 故填. 1a b 22|32 |94129 16 1213ababa b 13【习题 15 针对训练答案】 C【习题 15 针对训练解析】对于选项,,A0|cos,00=0a ba ba bab 或 =,=2a b 或p ,故错误;对于,所以错误;对于, ABab上上上上上| |cos|aa是q=BDa cb c 所以错误,排除法选.故选. |cos|cos;a cb cab不能推出DCC 来源:学科网
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