高中数学经典错题深度剖析及针对训练-导数的应用.pdf
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1、【标题 01】没有理解“0()0fx是0 xx是极值点的必要非充分条件”【习题 01】 3221f xxaxbxax在处有极小值10,则ab.【经典错解】由题得2( )32fxxaxb,所以2(1)320(1)110fabfaba .所以33ab 或411ab ,所以0ab或7ab .【详细正解】由题得2( )32fxxaxb,所以2(1)320(1)110fabfaba .所以33ab 或411ab .当33ab 时,22( )3633(1)0fxxxx,所以函数( )f x是增函数,与题意不相符,所以舍去. 经检验,411ab 时,满足题意. 所以7ab .【习题 01 针对训练】已知函数
2、3( )()f xx xm在2x 处取得极小值,则常数m的值为()A2B8C2 或 8D以上答案都不对【标题 02】求函数的单调性时忽略了函数的定义域的研究【习题 02】已知函数ln( )1xf xx,试判断函数( )f x的单调性.【经典错解】由已知得21ln( )xfxx令( )0fx,得xe因为当xe时,( )0fx;当xe时,( )0fx所以函数( )f x在(, ) e上单调递增,在 ,)e 上单调递减【详细正解】 )函数( )f x的定义域是(0,)由已知21ln( )xfxx令( )0fx,得xe因为当0 xe时,( )0fx;当xe时,( )0fx所以函数( )f x在(0,
3、e上单调递增,在 ,)e 上单调递减【习题 02 针对训练】已知函数Raxxaxf, 1ln)(求)(xf的单调区间.【标题 03】导函数及其单调性的关系理解不到位【习题 03】 设函数6531)(23xaxxxf在区间1.3上是单调减函数, 则实数a的取值范围是 ()A5,B3,C, 3 D5,5【经典错解】根据题意2( )250fxxax在区间1,3上恒成立,所以2( )25fxxax的最大值小于零,因为函数开口向上,故最大值在区间端点处取得,所以, 10,30ff,解得3a ,所以选择C.【详细正解】根据题意2( )250fxxax在区间1,3上恒成立,所以2( )25fxxax的最大值
4、小于或等于零,因为函数开口向上,故最大值在区间端点处取得,所以, 10,30ff,解得3a ,所以选择B.【深度剖析】 (1)经典错解错在导函数及其单调性的关系理解不到位.(2)函数单调递减时,相应的导数值应该小于或等于零(等于零的点为有限个孤立点) ,不能写成导数小于零.错解漏掉了等号.【习题 03 针对训练】已知函数2( )ln,af xxaRx(1)若函数( )f x在2,)上是增函数,求实数a的取值范围;(2)若函数( )f x在1, e上的最小值为3,求实数a的值【标题 04】解题不规范没有严格按照教材的要求求函数的极值【习题 04】设函数3( )125,f xxxxR.(1)求)(
5、xf的单调区间和极值;(2)若关于x的方程axf)(有3个不同实根,求实数a的取值范围.【经典错解】 (1)2( )3123(2)(2)fxxxx令( )0fx 得:122,2xx 所以( )f x的增区间是(, 2) 和(2,),减区间是( 2,2);当2x 时,( )f x取得极大值,极大值( 2)21f ;当2x 时,( )f x取得极小值,极小值(2)11f .(2)由(1)得,作出函数( )f x的草图如图所示:数形结合得实数a的取值范围是( 11,21).【详细正解】 (1)2( )3123(2)(2)fxxxx令( )0fx 得:122,2xx 当x变化时,( ),( )fxf
6、x的变化情况如下表:x(, 2) 2( 2,2)2(2,)( )fx00( )f x增极大减极小增所以( )f x的增区间是(, 2) 和(2,),减区间是( 2,2);当2x 时,( )f x取得极大值,极大值( 2)21f ;当2x 时,( )f x取得极小值,极小值(2)11f .(2)由(1)得,作出函数( )f x的草图如图所示:所以,实数a的取值范围是( 11,21).【习题 04 针对训练】已知函数axaxxf(ln)(R).(1)若曲线)(xfy 在点)1 (, 1 (f处的切线与直线01 yx平行,求a的值;(2)在(1)条件下,求函数)(xf的单调区间和极值; (3)当1a
7、,且1x时,证明:. 1)(xf【标题 05】对于函数的图像分析不透彻推理不严谨碰巧做对了【习题 05】已知函数.ln)(,2)23ln()(xxgxxxf(1)求函数( )f x的单调区间; (2)如果关于x的方程mxxg21)(有实数根,求实数m的取值集合;(3)是否存在正数k,使得关于x的方程)()(xkgxf有两个不相等的实数根?如果存在,求k满足的条件;如果不存在,说明理由.【经典错解】 (1)函数)(xf的定义域是)., 0()0 ,23(对)(xf求导得)23()3)(1(2231)(22xxxxxxxf由31230)(xxxf或,得,由. 30010)(xxxf或,得因此)3)
8、 1,23(,和(是函数)(xf的增区间;( 1,0)和(0,3)是函数)(xf的减区间.(2)因为.21ln21ln21)(xxmmxxmxxg所以实数m的取值范围就是函数xxx21ln)(的值域对.211)()(xxx求导得令0)(20; 0)(220)(xxxxxx时,当时,并且当,得当2x 时)(x取得最大值,且. 12ln)2()(maxx因此函数xxx21ln)(的值域是 12ln,(,即实数m的取值范围是 12ln,(.(3)结论:这样的正数k不存在. 下面采用 反证法来证明:假设存在正数k,使得关于x的方程)()(xkgxf有两个不相等的实数根21xx 和,则.ln2)23ln
9、(,ln2)23ln()()()()(2221112211xkxxxkxxxkgxfxkgxf根据对数函数定义域知21xx 和都是正数.又由(1)可知,当0 x 时,032)233ln()3(f)x(fmin)(1xf=0 x3)23xln(11,)x( f2=0 x3)23xln(22,再由 k0,可得. 1, 10ln)(, 0ln)(212211xxxxgxxg由于所以,21xx 不妨设211xx ,由和可得222111ln2)23ln(ln2)23ln(xxxxxx利用比例性质得22221111lnln2)23ln(lnln2)23ln(xxxxxxxx即.(*)ln2)231ln(l
10、n2)231ln(222111xxxxxx由于), 1 (ln是区间x上的恒正增函数,且. 1lnln,12121xxxx又), 1 (2)231ln(是区间xx上的恒正减函数,且.121xx . 12)231ln(2)231ln(2211xxxx222111221121ln2)231ln(ln2)231ln(2)231ln(2)231ln(lnlnxxxxxxxxxxxx,这与(*)式矛盾.因此满足条件的正数k不存在 .【详细正解】 (1)同上(2)因为.21ln21ln21)(xxmmxxmxxg所以实数m的取值范围就是函数xxx21ln)(的值域.对.211)()(xxx求导得令0)(2
11、0; 0)(220)(xxxxxx时,当时,并且当,得当2x 时)(x取得最大值,且. 12ln)2()(maxx又当x无限趋近于0时,xln无限趋近于x21,无限趋近于0,进而有xxx21ln)(无限趋近于.因此函数xxx21ln)(的值域是 12ln,(,即实数m的取值范围是 12ln,((3)同上.【习题 05 针对训练】已知函数( ), ( )ln()xf xeg xxm.直线: l ykxb经过点( 10)P ,且与曲线( )yf x相切.(1)求切线l的方程;(2)若关于x的不等式( )kxbg x恒成立,求实数m的最大值.(3)设( )( )( )F xf xg x,若函数( )
12、F x有唯一的零点0 x,求证0112-x .【标题 06】求函数的极值时忽略了函数的定义域【习题 06】已知函数2( )2lnf xxax来源:学科网(1)若4a ,求函数( )f x的极小值;(2)设函数23( )12g xxa x ,试问:在定义域内是否存在三个不同的自变量(1,2,3)ix i 使得 iif xg x的值相等,若存在,请求出a的范围,若不存在,请说明理由?【经典错解】(1)由已知得244(1)( )4xfxxxx,令( )011fxxx 或则当11x 时( )0fx,( )f x在( 1,1)上是减函数,当1x 时或1x 时( )0fx,( )f x在(, 1) ,(1
13、,)上是增函数,故函数( )f x的极小值为(1)2f(2)若存在,设 (1,2,3)iif xg xm i,则对于某一实数m方程( )( )0f xg xm在(0,)上有三个不等的实根,设223( )( )( )2ln(1)2F xf xg xmxaxxa xm,则函数( )( )0f xg xm的图象与x轴有三个不同交点,即2(1)( )431axa xaF xxxaxx 在(0,)有两个不同的零点显然2(1)(1)()( )xa xaxxaF xxx在(0,)上至多只有一个零点.则函数( )( )( )F xf xg xm的图象与x轴至多有两个不同交点,则这样的不存在.【详细正解】(1)
14、定义域为(0,),由已知得244(1)( )4xfxxxx,则当01x时( )0fx,( )f x在(0,1)上是减函数,当1x 时( )0fx,( )f x在(1,)上是增函数,故函数( )f x的极小值为(1)2f(2)若存在,设 (1,2,3)iif xg xm i,则对于某一实数m方程( )( )0f xg xm在(0,)上有三个不等的实根,设223( )( )( )2ln(1)2F xf xg xmxaxxa xm,则函数( )( )( )F xf xg xm的图象与x轴有三个不同交点,即2(1)( )431axa xaF xxxaxx 在(0,)有两个不同的零点显然2(1)(1)(
15、)( )xa xaxxaF xxx在(0,)上至多只有一个零点.则函数( )( )( )F xf xg xm的图象与x轴至多有两个不同交点,则这样的不存在.【习题 06 针对训练】 设2( )(5)6lnf xa xx, 其中aR, 曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线与y轴相交于点(0,6)(1)确定a的值;(2)求函数( )f x的单调区间与极值【标题 07】审题错误把单调函数理解为单调增函数【习题 07】已知0a ,且函数2( )(2)xf xxax e在 1,1上是单调函数,求a的取值范围【经典错解】22( )e (2)e (22 )e 2(1)2 xxxfxxaxxaxa x
16、a又( )f x在 1,1上是单调函数,( )0fx在 1,1上恒成立.即2e 2(1)2 0 xxa xa在 1,1上恒成立 0 xe ,2( )2(1)20g xxa xa在 1,1上恒成立即0) 1(12)1 (2ga或24(1)80aa 或. 0) 1 (12)1 (2ga解得:a故( )f x在 1,1上不可能为单调函数【详细正解】22( )e (2)e (22 )e 2(1)2 xxxfxxaxxaxa xa( )f x在 1,1上是单调函数(1)若( )f x在 1,1上是单调递增函数则( )0fx在 1,1上恒成立,即2e 2(1)2 0 xxa xa在 1,1上恒成立0 xe
17、 2( )2(1)20g xxa xa在 1,1上恒成立,则有11( 1)0ag 或24(1)80aa 或11(1)0ag 解得,a(2)若( )f x在 1,1上是单调递减函数,则( )0fx在 1,1上恒成立2e 2(1)2 0 xxa xa在 1,1上恒成立0 xe 2( )2(1)20h xxa xa在 1,1上恒成立则有.43043010) 1 (0) 1(aahh当3 ,)4a时,( )f x在 1,1上是单调函数【习题 07 针对训练】已知函数2( )()xf xxa e(1)若函数( )f x在R上不是单调函数,求实数a的取值范围;(2)当1 a时,讨论函数( )( )4(1)
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