高中数学错题训练-古典概型和几何概型.pdf

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1、【标题 01】忽略了对数函数中底数的范围【习题 01】先后抛掷两枚骰子，出现的点数分别记为, a b，则事件log12ab发生的概率为.【经典错解】log1222abbaba ，根据题意得试验的全部结果有6 636个基本事件，事件log12ab包含的基本事件有1,22,436ababab或或， 共 3 个.由古典概型的概率公式得31( )3612P A ,故填112.【详细正解】log1222abbaba ，根据题意得试验的全部结果有6 636个基本事件，01aa且所以事件log12ab包含的基本事件有2,4ab和3a ，6b 共 2 个.由古典概型的概率公式得21( )3618P A ,故填

2、118.【习题 01 针对训练】先后抛掷两枚骰子，出现的点数分别记为, a b，则事件log12ab发生的概率为.【标题 02】事件A构成的区域找错了【习题 02】在半径为 1 的圆周上有一定点A,以A为端点连一弦，另外一端点在圆周上等可能的选取，则弦长超过 1 的概率为.【经典错解】如图所示，13ABOAOBAOB，当点B在优弧AB上时，弦长超过 1，根据几何概型的概率公式得3301136012P .故填1112.【详细正解】 如图所示，13ABOAOBOCACAOBAOC ， 当点B在优弧BC上时，弦长超过 1，根据几何概型的概率公式得24023603P .故填23.【深度剖析】(1)经典

3、错解错在事件A构成的区域找错了. （2）错解错在寻找事件A构成的区域时，只顾及了一边，忽略了另外一边.所以在寻找事件A的全部结果构成的区域时，要考虑周全，不能受习惯思维的影响.【习题 02 针对训练】有一长、宽分别为m50、m30的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一 位置的可能性相同.一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出m215，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（）A43B83C163D32312【标题 03】对组合数实际意义理解不清【习题03】甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有 10 个不同的题目，其中选择题 6 个，判断题 4 个，

4、甲、乙依次各抽一题.求甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？【经典错解】甲从选择题抽到一题的结果为16C，乙从判断题中抽到一题的结果为14C，而甲、乙依次抽到一题的结果为210C所求概率为1582101416CCC【详细正解】甲从选择题抽到一题的结果为16C，乙从判断题中抽到一题的结果为14C，而甲、乙依次抽到一题的结果为11109C C所求概率为154191101416CCCC.【习题 03 针对训练】一纸箱中放有除颜色外，其余完全相同的黑球和白球，其中黑球 2 个，白球 3 个.（1）从中同时摸出两个球，求两球颜色恰好相同的概率；（2）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球颜色恰好不

5、同的概率.【标题 04】 “事件的全部结果”和“事件A的全部结果”对应的区域找错了【习题 04】在ABC中，6ABC，AB=3,BC=3，若在线段BC上任取一点D,则BAD为锐角的概率是.【经典错解】在ABC中，由余弦定理得AC=3.又由余弦定理得0120BAC，所以BAD为锐角的概率是9031204.【详细正解】当0=90BAD时，2BD ，所以BAD为锐角的概率是23BDBC.【习题 04 针对训练】在Rt ABC中，030A，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，使| |AMAC的概率是【标题 05】 “试验的全部结果构成的区域”和“事件 A 的全部结果构成的区域”理解错误【习题 05】

6、在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，则PBC的面积大于4S的概率为.【经典错解】由题得试验的全部结果构成的区域是如图所示的ABC，事件“PBC的面积大于4S”的全部结果构成的区域是如图所示的ADE，根据几何概型概率的公式得991616SPS,故填916.【详细正解】由题得试验的全部结果构成的区域是如图所示的线段AB，事件“PBC的面积大于4S”的全部结果构成的区域是如图所示的线段AD，根据几何概型概率的公式得33414P ,故填34.【深度剖析】 （1）经典错解错在“试验的全部结果构成的区域”和“事件 A 的全部结果构成的区域”理解错误. （2）在做概率题时，一定要认真审题，弄清“试验的全

7、部结果构成的区域”和“事件 A 的全部结果构成的区域”.【习题 05 针对训练】设不等式组20, 20yx，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A4B22C6D44【标题 06】考虑问题不周全没有分类讨论【习题 06】在ABC中，060 ,2,6ABCABBC，在BC上任取一点D，则使ABD为钝角三角形的概率为（）A16B13C12D23【经典错解】由题意得，过A作AFAB，则24BFAB，642CF ，若使得ABD为钝角三角形，则D在线段FC上，所以对应的概率为13FCPBC，故选B.【详细正解】 （1） 当BAD为钝角时， 由题意得， 过A作A

8、FAB， 则24BFAB，642CF ，若使得ABD为钝角三角形，则D在线段FC上； （2）当BDA为钝角时，过点A作AEBC,则112BEAB,若使得ABD为钝角三角形，则D在线段BE上.故由几何概型的概率公式得2 1162FCBEPBC.故选C.【习题 06 针对训练】向顶角为0120的等腰三角形ABC（其中BCAC ）内任意投一点M, 则AM小于AC的概率为（）A33B93C21D3【标题 07】审题错误导致把几何概型看成了古典概型【习题 07】设关于x的一元二次方程2220 xaxb（1）若, a b都是从集合1,2,3,4中任取的数字，求方程无实根的概率；（2）若a是从区间0,4中任

9、取的数字，b是从区间1,4中任取的数字，求方程有实根的概率来源:学科网 ZXXK【经典错解】 （1）设事件A为“方程无实根”，记( , )a b为取到的一种组合，则所有的情况有： （1，1） ， （1，2） ， （1，3） ， （1，4） ， （2，1） ， （2，2） ， （2，3） ， （2，4） ，来源:学.科.网（3，1） ， （3，2） ， （3，3） ， （3，4） ， （4，1） ， （4，2） ， （4，3） ， （4，4） 一共 16 种且每种情况被取到的可能性相同关于x的一元二次方程2220 xaxb无实根，22440ab 0,0abab事件A包含的基本事件有： （1，2）

10、 ， （1，3） ， （1，4） ， （2，3） ， （2，4） ， （3，4）.共 6 种6( )16P A =83方程无实根的概率83（2）关于x的一元二次方程2220 xaxb有实根，22440ab ,来源:Zxxk.Com0,0abab设事件B为“方程有实根”，记( , )a b为取到的一种组合，则其包含的基本事件有： （1，1） ， （2，1） ，(2，2)（3，1） ， （3，2） ， （3，3） ， （4，1） ， （4，2） ， （4，3） ， （4，4）.一共 10 种且每种情况被取到的可能性相同105( )168P A所以方程有实根的概率是58.【详细正解】 （1）同上（2

11、）设事件B=“方程有实根”，记( , )a b为取到的一种组合a是从区间0,4中任取的数字，b是从区间1,4中任取的数字，点( , )a b所在区域是长为 4，宽为 3 的矩形区域又满足ab的点的区域是如图所示的阴影部分13 332( )3 48P B .方程有实根的概率是38【习题 07 针对训练】已知关于x的二次函数2( )41.f xaxbx（1）设集合5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 1A和4 , 3 , 2 , 1 , 1, 2B，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数)(xfy 在区间), 1 上是增函数的概率.（2）设点),(ba是区域0，0，08yxyx内的随机

12、点，求函数( )f x在区间), 1 上是增函数的概率【标题 08】审题不清把总事件没有理解清楚【习题 08】有一个半径为4的圆，现在将一枚半径为1的硬币向圆投去，如果不考虑硬币完全落在圆外的情况，则硬币完全落入圆内的概率为.【经典错解】由题得此概型为几何概型，所有结果组成的区域是以原点为圆心，以 4 为半径的圆，事件 A的所有结果构成的区域是以原点为圆心，以 3 为半径的圆，所以由几何概型的定义得991616P.【详细正解】由题得此概型为几何概型，所有结果组成的区域是以原点为圆心，以 5 为半径的圆，当硬币和圆外切时，也是满足题意的，它不是完全落在圆外，因为此时两圆有公共点)，事件 A 的所

13、有结果构成的区域是以原点为圆心，以 3 为半径的圆，所以由几何概型的定义得992525P.【深度剖析】 （1）经典错解错在审题不清，把总事件没有理解清楚. （2）学习数学，必须养成严谨认真细心的学习习惯，审题必须认真，错解就是审题不清，导致的错误.【习题 08 针对训练】甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一天二十四小时内到达该码头的时刻是等可能的如果甲船停泊时间为 1 小时，乙船停泊时间为 2 小时，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率【标题 09】对随机模拟求近似值原理理解不清【习题 09】从区间0,1上随机抽取2n个数1212,nnx xxyyy，构成n个数对11(

14、 ,)x y，22(,)xy，来源:学+科+网 Z+X+X+K, (,)nnxy，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为_.A4nmB2nmC4mnDmn【经典错解】由题得圆周率的近似值为mn.所以选择D.【详细正解】由题得数学试验的全部结果表示为0101xy，它们构成的是边长为 1 的正方形，事件A的全部结果表示为2201011xyxy ， 它们构成的是14个单位圆，它是分布在第一象限的扇形. 根据古典概型和几何概型的概率公式得=SmSn扇形正方形221141mn4mn. 所以选择C.【习题 09 针对训练】某同学动手做实验： 用随机模拟的方法估计圆周

15、率的值 ，在左下图的正方形中随机撒豆子， 每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的， 若他随机地撒50粒统计得到落在圆内的豆子数为39粒，则由此估计出的圆周率的值为 （精确到0.01）高中数学经典错题深度剖析及针对训练第 27 讲：古典概型和几何概型参考答案【习题 01 针对训练答案】19【习题 02 针对训练答案】B【习题 02 针对训练解析】这是一个几何概型问题， 所有可能结果用周长160表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和60表示，所以8316060P.【习题 03 针对训练答案】 （1）52； （2）2512.【习题 03 针对训练解析】 （1）摸出两球颜色恰好相同，即两个黑球或两个

16、白球，共有2223CC4(种)可能情况.故所求概率为P=222325CCC=410=25.（2）有放回地摸两次，两球颜色不同，即“先黑后白”或“先白后黑”.故所求概率为P=111123321155CCCCCC=6625=1225.【习题 04 针对训练答案】16来源:学&科&网【习题 04 针对训练解析】如图，不妨设1BC ，则2AB ，3AC ，图中点M恰好使得3AMAC，当点位于BM段时，满足| |AMAC，由三角形的知识易得015BCM使| |AMAC的概率151906P .故填16.【习题 05 针对训练答案】D【习题 06 针对训练答案】B【习题 06 针对训练解析】由题可得示意图，

17、试验的全部结果构成的区域是ABC，事件“AM小于AC”的全部结果构成的区域是扇形ACD，由题可知为几何概型：则AM小于AC的概率为：011326191 1 sin1202ABCSpS 扇形，故选B.所以区域内满足0a且ab 2的面积为33238821. 所以，所求概率3132332p.【习题 08 针对训练答案】10131152【习题 08 针对训练解析】 这是一个几何概型问题 设甲、 乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，A为“甲、乙两船都不需要等待码头空出”，则024x,024y，且基本事件所构成的区域为( , )|024,0y24x yx 要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1小时以上或乙 比甲早到达2小时以上，即12yxxy或，故( , )|12,0 x24,024Ax yyxxyy或【习题 09 针对训练答案】3.12【习题 09 针对训练解析】设正方形的边长为2a,则内切圆的半径为a，由题意2239504aa，4 393.1250.