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1、Ch4 向量空间向量空间第一节第一节 向量组的线性相关向量组的线性相关 与线性无关与线性无关一、向量、向量组与矩阵一、向量、向量组与矩阵 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行，也就是行矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如：维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是列，也就是列矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如：若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组例如例如向量组向量组 ,，称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 反之，由有限个向量所组成的向量组

2、可以构反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵成一个矩阵.线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应定义定义线性组合线性组合 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示定理定理1 1向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示向量组等价向量组等价定义定义注意注意:定义定义二、线性相关性的概念二、线性相关性的概念则称则称向量组向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关三、线性相关性的判定三、线性相关性的判定解解例例或或r(I)=n，得线性无关。得线性无关。解解例例分析分析解：

3、因为解：因为证法证法1证法证法2性质性质1 1：性质性质2 2：性质性质3 3：证明证明四、向量组的线性相关性质四、向量组的线性相关性质性质性质4 4：证明证明说明：说明：性质性质5 5：说明：说明：证明：证明：定理定理3 3 向量组向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示证明证明 充分性充分性 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.即有即有五、线性表示、线性相关、线性五、线性表示、线性相关、线性 无关三者的关系无关三者的关系而不是

4、而不是“每一个每一个”故故因因 这这 个数不全为个数不全为0，故故 线性相关线性相关.必要性必要性设设 线性相关，线性相关，则有不全为则有不全为0的数使的数使 因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，不妨设则有不妨设则有即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.证证毕毕.定理定理 4 4：（定理）。（定理）。.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；.线性相关与线性无关的概念；线性相关性线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；在线性方程组中的应用；（重点

5、重点）.线性相关与线性无关的判定方法：定义，线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理两个定理（难点难点）六、小结六、小结线性表示线性表示:线性表示、线性相关、线性无关线性表示、线性相关、线性无关 三者的概念三者的概念线性相关线性相关:线性无关线性无关:性质性质1 1：性质性质2 2：性质性质3 3：向量组的线性相关性质向量组的线性相关性质性质性质4 4：性质性质5 5：定理定理 向量组向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示线性表示、线性相关、线性无关线性表示、线性相关、线性无

6、关 三者的关系三者的关系而不是而不是“每一个每一个”定理定理向量空间向量空间第二节第二节 向量组的秩向量组的秩定义定义最大线性无关向量组最大线性无关向量组最大最大无关组无关组一、最大线性无关向量组一、最大线性无关向量组秩秩定理定理二、矩阵与向量组秩的关系二、矩阵与向量组秩的关系说明说明定理定理三、向量组秩的重要结论三、向量组秩的重要结论推论推论1 1推论推论2 2性质性质最大线性无关向量组的概念：最大线性无关向量组的概念：最大性最大性、线性无关性线性无关性 矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩矩阵行向量组的秩

7、关于向量组秩的一些结论：关于向量组秩的一些结论：一个定理一个定理、两个推论两个推论两个性质两个性质 求向量组的秩以及最大无关组的方法：求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换阵，然后进行初等行变换四、小结四、小结 思考题思考题思考题解答思考题解答问题转化为问题转化为因为因为所以所以向量空间向量空间第三节第三节 向量空间向量空间说明说明2 维向量的集合是一个向量空间维向量的集合是一个向量空间,记作记作 .一、向量空间的概念一、向量空间的概念定义定义1 1设设 为为 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合

8、 非空非空,且集合且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合称集合 为向量空间为向量空间1集合集合 对于加法及乘数两种运算封闭指对于加法及乘数两种运算封闭指例例2 2 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间.解解例例3 3 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间.解解试判断集合是否为向量空间试判断集合是否为向量空间.一般地，一般地，为为定义定义2 2 设有向量空间设有向量空间 及及 ，若向量集合，若向量集合，就说就说 是是 的子空间的子空间实例实例二、子空间二、子空间设设 是由是由 维向量所组成的向量空间，维向量所组成的向量空

9、间，那末向量组那末向量组 就称为向量空间的一个就称为向量空间的一个基基，称为向量空间称为向量空间 的维数的维数，并称并称 为为 维向量维向量空间空间三、向量空间的基与维数三、向量空间的基与维数定义定义3 3 设设 是向量空间，如果是向量空间，如果 个向量个向量 ，且满足，且满足dimV=r向量空间的概念：向量空间的概念：向量的集合向量的集合对加法及数乘两种运算封闭对加法及数乘两种运算封闭；由向量组生成的向量空间由向量组生成的向量空间子空间的概念子空间的概念四、小结四、小结向量空间向量空间第四节第四节 线性方程组解的结构线性方程组解的结构解向量的概念解向量的概念为齐次线性方程组为齐次线性方程组一

10、、齐次线性方程组解的性质一、齐次线性方程组解的性质的解的解称为方程组称为方程组 的的解向量。解向量。齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质（1 1）若）若 为为 的解，则的解，则 也是也是 的解的解.证明证明（2 2）若）若 为为 的解，的解，为实数，则为实数，则 也是也是 的解的解证明证明由以上两个性质可知，方程组的全体解向量由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组性方程组 的的解空间解空间一般记作一般记作注：齐次

11、解的线性组合仍为齐次解注：齐次解的线性组合仍为齐次解基础解系基础解系的定义的定义二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法线性方程组基础解系的求法线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵为设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨并不妨设设 的前的前 个列向量线性无关个列向量线性无关 于是于是 可化为可化为现对现对 取下列取下列 组数：组数：依次得依次得从而求得原方程组的从而求得原方程组的 个解：个解：说明说明解空间的基不是唯一的解空间的基不是唯一的解空间的基又称为方程组的解空间的基又称为方程组的基础解系基础解系若若 是是 的基础解系，则的基础解系，则其其通解通解为为 定理定理1 1例例1

12、 1 求齐次线性方程组求齐次线性方程组的的基础解系与通解基础解系与通解.解解对系数矩阵对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩作初等行变换，变为行最简矩阵，有阵，有证明证明非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质证明证明证毕证毕其中其中 为对应齐次线性方程为对应齐次线性方程组的组的通解通解，为非齐次线性方程组的任意一个为非齐次线性方程组的任意一个特特解解.非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解非非齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=b的通解为的通解为与方程组与方程组 有解等价的命题有解等价的命题线性方程组线性方程组 有解有解线性

13、方程组的解法线性方程组的解法（1 1）应用克莱姆法则）应用克莱姆法则（2 2）利用初等变换）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题用来证明很多命题特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法的计算方法例例4 4 求解方程组求解方程组解解

14、 非非齐次齐次方程的通解方程的通解=齐次方程的通解齐次方程的通解+非齐次方程的特解非齐次方程的特解齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法四、小结四、小结对系数矩阵对系数矩阵 进行初等变换，将其化为进行初等变换，将其化为行最简形讨论行最简形讨论 线性方程组解的情况线性方程组解的情况()()nrAr=()()nrAr=()nAr 思考题思考题思考题解答思考题解答第五节第五节 向量的内积向量的内积向量空间向量空间定义定义1 1一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质说明说明内积的运算性质内积的运算性质定义定义2 2 令令长度长度范数范数向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质

15、：二、向量的长度及性质二、向量的长度及性质解解单位向量单位向量夹角夹角 正交的概念正交的概念 正交向量组的概念正交向量组的概念正交正交（或（或垂直垂直）.若若一非零一非零向量组中的向量两两正交，则称该向向量组中的向量两两正交，则称该向量组为量组为正交向量组正交向量组三、正交向量组的概念及求法三、正交向量组的概念及求法证明证明 正交向量组的性质正交向量组的性质定理定理1 1例例1 1 已知三维向量空间中两个向量已知三维向量空间中两个向量正交，试求正交，试求 使使 构成三维空间的一个正交构成三维空间的一个正交基基.向量空间的向量空间的正交基正交基即即解之得解之得由上可知由上可知 构成三维空间的一个

16、正交基构成三维空间的一个正交基.则有则有解解 规范正交基规范正交基例如，例如，4 维向量组维向量组 同理可知同理可知自然基自然基.（1）施密特正交化施密特正交化，取，取 ，求规范正交基的方法求规范正交基的方法我们来介绍其步骤：我们来介绍其步骤：（2）规范化（即）规范化（即单位化）单位化），取，取例例 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组正交规范化正交规范化.解解 先先正交化正交化，取取施密特正交化过程施密特正交化过程再再单位化单位化，得规范正交向量组如下得规范正交向量组如下例例3解解把把基础解系正交化，即为所求亦即取基础解系正交化，即为所求亦即取证明证明定义定义4 4定理定

17、理2 2四、正交矩阵与正交变换四、正交矩阵与正交变换 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的列向量都的列向量都是单位向量且两两正交是单位向量且两两正交正交矩阵正交矩阵.定义定义5 5 若若 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 称为称为正正交变换交变换性质性质 正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变证明证明例例5 5 判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵解解所以它不是正交矩阵所以它不是正交矩阵考察矩阵的第一列和第二列，考察矩阵的第一列和第二列，由于由于所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵由于由于例例6 6解解1 1将一组基向量规范正交化的方法：将一组基向量规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化其单位化五、小结五、小结2 2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：求一单位向量，使它与求一单位向量，使它与正交正交思考题思考题思考题解答思考题解答