向量组的线性相关性.pptx

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1、第1页/共21页定理向量组定理向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示证明证明 充分性 设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示.即有三、线性相关性的判定第2页/共21页故因 这 个数不全为0，故 线性相关.必要性设 线性相关，则有不全为0的数使 第3页/共21页因 中至少有一个不为0，不妨设则有即 能由其余向量线性表示.证毕.第4页/共21页线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用结论结论第5页/共21页定理定理2 2下面举例说明定理的应用.证明证明（略

2、）第6页/共21页解解例例4第7页/共21页解解例例5分析分析第8页/共21页第9页/共21页证一证一第10页/共21页第11页/共21页证二 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式记作B=AK.设Bx=0,以B=AK代入，得A(Kx)=0.因为矩阵A的列向量组线性无关，所以可推知Kx=0.又因 ,知方程Kx=0只有零解x=0.所以矩阵B的列向量组 线性无关.第12页/共21页证三 把已知条件合写成记作B=AK.因 ,知K可逆，根据前面所述矩阵秩的性质4知R(B)=R(A)，因为A的列向量组线性无关，根据定理4知，B的3个列向量线性无关，即列向量线性无关。第13页/共21页本例给出三种证法，这三

3、种证法都是常用的。证一的关键步骤是：按定义4把证明向量组线性无关转化为证明齐次线性方程组没有非零解。证二的证明过程与证一相同，只是在叙述时改用矩阵形式。证三也采用矩阵形式，并用了矩阵的秩的有关知识，还用了定理4，从而可以不涉及线性方程而直接证得结论。线性相关性是向量组的一个重要性质，下面介绍与之有关的一些简单的结论。第14页/共21页定理定理5 5第15页/共21页第16页/共21页证明证明说明说明第17页/共21页说明说明第18页/共21页第19页/共21页例7 设向量组a1,a2,a3线性相关，向量组a2,a3,a4线性无关，证明a1能由a2,a3线性表示；a4不能由a1,a2,a3线性表示。证 因a2,a3,a4线性无关，由定理5知a2,a3线性无关，而a1,a2,a3线性相关，由定理5知a1能由a2,a3线性表示。用反证法.假设a4能由a1,a2,a3表示，而由 知a1能由a2,a3表示，因此a4能由a2,a3线性表示，这与a2,a3,a4线性无关矛盾。第20页/共21页感谢您的观看。第21页/共21页