物理光学与应用光学第二版课件第四章.pptx

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1、4.1 晶体的光学各向异性 4.1.1 4.1.1 张量的基础知识 1.1.张量的概念 张量是使一个矢量与一个或多个其它矢量相关联的量。例如，矢量p与矢量q有关，则其一般关系应为(4.1-1)pTq第1页/共266页式中，T是关联p和q的二阶张量。在直角坐标系O-x1x2x3中，上式可表示为矩阵形式(4.1-2)式中，三个矩阵分别表示矢量p、二阶张量T和矢量q。二阶张量有9个分量，每个分量都与一对坐标(按一定顺序)相关。(4.1-1)式的分量表示式为第2页/共266页(4.1-3)其一般分量形式为(4.1-4)按照爱因斯坦求和规则：若在同一项中下标重复两次，则可自动地按该下标求和，将上式简化为

2、pi=Tijqji,j=1,2,3(4.1-5)由上述讨论可以看出，如果T是张量，则p矢量的某坐标分量不仅与q矢量的同一坐标分量有关，还与其另外两个分量有关。第3页/共266页如果矢量p与两个矢量u和v相关，则其一般关系式为(4.1-6)分量表示式为pi=Tijkujvk i,j,k=1,2,3(4.1-7)式中，uv为并矢；T为三阶张量，包含27个分量，其矩阵形式为(4.1-8)第4页/共266页 实际上，一个标量可以看做是一个零阶张量，一个矢量可以看做是一个一阶张量。从分量的标记方法看，标量无下标，矢量有一个下标，二阶张量有两个下标，三阶张量有三个下标。因此，下标的数目等于张量的阶数。第5

3、页/共266页 2.2.张量的变换 如上所述，由于张量的分量与坐标有关，因而当坐标系发生变化时，张量的表示式也将发生变化。假若在原坐标系 中，某张量表示式为Tij，在新坐标系 中，该张量的表示式为Tij,则当原坐标系O-x1x2x3与新坐标系的坐标变换矩阵为aij时，与 的关系为(4.1-9)第6页/共266页其分量表示形式为i,j,k,l=1,2,3(4.1-10)这就是张量变换定律。如果用张量的新坐标分量表示原坐标分量，可通过逆变换得到(4.1-11)如果考虑的是矢量，则新坐标系中的矢量表示式A与原坐标系中的表示式A间的矩阵变换关系为(4.1-12)第7页/共266页其分量变换公式为i,j

4、=1,2,3(4.1-13)第8页/共266页 3.3.对称张量 一个二阶张量Tij，如果其Tij=Tji，则称为对称张量，它只有六个独立分量。与任何二次曲面一样，二阶对称张量存在着一个主轴坐标系，在该主轴坐标系中，张量只有三个对角分量非零，为对角化张量。于是，当坐标系进行主轴变换时，二阶对称张量即可对角化。例如，某一对称张量第9页/共266页经上述主轴变换后，可表示为最后应指出，张量与矩阵是有区别的，张量代表一种物理量，因此在坐标变换时，改变的只是表示方式，其物理量本身并不变化，而矩阵则只有数学意义。因此，有时把张量写在方括号内，把矩阵写在圆括号内，以示区别。第10页/共266页4.1.2

5、晶体的介电张量由电磁场理论已知，介电常数是表征介质电学特性的参量。在各向同性介质中，电位移矢量D与电场矢量E满足如下关系：在此，介电常数=0r是标量，电位移矢量D与电场矢量E的方向相同，即D矢量的每个分量只与E矢量的相应分量线性相关。对于各向异性介质(例如晶体)，D和E间的关系为(4.1-15)(4.1-14)第11页/共266页介电常数 是二阶张量。(4.1-14)式的分量形式为i,j=1,2,3(4.1-16)即电位移矢量D的每个分量均与电场矢量E的各个分量线性相关。在一般情况下，D与E的方向不相同。又由光的电磁理论，晶体的介电张量e是一个对称张量，因此它有六个独立分量。经主轴变换后的介电

6、张量是对角张量，只有三个非零的对角分量，为(4.1-17)第12页/共266页11,22,33(或经常表示为e1、e2、e3)称为主介电系数。由麦克斯韦关系式还可以相应地定义三个主折射率n1,n2,n3。在主轴坐标系中，(4.1-16)式可表示为(4.1-19)(4.1-18)第13页/共266页进一步，由固体物理学知道，不同晶体的结构具有不同的空间对称性，自然界中存在的晶体按其空间对称性的不同，分为七大晶系：立方晶系、四方晶系、六方晶系、三方晶系、正方晶系、单斜晶系、三斜晶系。由于它们的对称性不同，所以在主轴坐标系中介电张量的独立分量数目不同，各晶系的介电张量矩阵形式如表4-1所示。由该表可

7、见，三斜、单斜和正交晶系中，主相对介电系数123,这几类晶体在光学上称为双轴晶体；三方、四方、六方晶系中，主相对介电系数1=23,这几类晶体在光学上称为单轴晶体；立方晶系在光学上是各向同性的，其主相对介电系数1=2=3。第14页/共266页表 4-1 各晶系的介电张量矩阵 第15页/共266页4.2 理想单色平面光波在晶体中的传播 4.2.1 4.2.1 光在晶体中传播特性的解析法描述 根据光的电磁理论，光在晶体中的传播特性仍然由麦克斯韦方程组描述。1.1.麦克斯韦方程组 在均匀、不导电、非磁性的各向异性介质(晶体)中，若没有自由电荷存在，麦克斯韦方程组为(4.2-1)(4.2-2)第16页/

8、共266页(4.2-3)(4.2-4)物质方程为(4.2-5)(4.2-6)为简单起见，我们只讨论单色平面光波在晶体中的传播特性。这样处理，可不考虑介质的色散特性，同时，对于任意复杂的光波，因为光场可以通过傅里叶变换分解为许多不同频率的单色平面光波的叠加，所以也不失其普遍性。第17页/共266页2.光波在晶体中传播特性的一般描述1)单色平面光波在晶体中的传播特性(1)晶体中光电磁波的结构设晶体中传播的单色平面光波为式中，是真空中的光速;k是波法线方向的单位矢量；c/n=v，是介质中单色平面光波的相速度。对于这样一种光波，在进行公式运算时，可以以-i代替，以(in/c)k代换算符。经过运算，(4

9、.2-1)(4.2-4)式变为(4.2-7)第18页/共266页(4.2-8)(4.2-9)(4.2-10)(4.2-11)由这些关系式可以看出：D垂直于H和k，H垂直于E和k，所以H垂直于E、D、k，因此，E、D、k在垂直于H的同一平面内。并且，在一般情况下，D和E不在同一方向上。第19页/共266页由能流密度的定义S=EH可见，H垂直于E和s(能流方向上的单位矢量)，故E、D、s、k同在一个平面上，并且在一般情况下，s和k的方向不同，其间夹角与E和D之间的夹角相同(图4-1)。由此，我们可以得到一个重要结论：在晶体中，光的能量传播方向通常与光波法线方向不同。(2)能量密度根据电磁能量密度公

10、式及(4.2-8)式、(4.2-9)式，有(4.2-12)(4.2-13)第20页/共266页图4-1平面光波的电磁结构第21页/共266页于是，总电磁能量密度为(4.2-15)对于各向同性介质，因s与k同方向，所以有(4.2-14)(4.2-16)第22页/共266页(3)相速度和光线速度相速度vp是光波等相位面的传播速度，其表示式为(4.2-17)光线速度vr是单色光波能量的传播速度，其方向为能流密度(玻印廷矢量)的方向s，大小等于单位时间内流过垂直于能流方向上的一个单位面积的能量除以能量密度，即(4.2-18)由(4.2-15)(4.2-18)式可以得到(4.2-19)即如图4-2所示，

11、单色平面光波的相速度是其光线速度在波阵面法线方向上的投影。第23页/共266页图4-2vp与vr的关系(AB表示波阵面)第24页/共266页2)光波在晶体中传播特性的描述(1)晶体光学的基本方程由麦克斯韦方程组出发，将(4.2-8)和(4.2-9)式的H消去，可以得到再利用矢量恒等式A(BC)=B(AC)-C(AB)变换为D=0n2E-k(kE)(4.2-20)第25页/共266页式中，方括号E-k(kE)所表示的量实际上是E在垂直于k(即平行于D)方向上的分量，记为E(图4-3)。由此，(4.2-20)式可以写成D=0n2E我们还可以将(4.2-20)式、(4.2-21)式写成如下所述的另外

12、一种形式。因为E=Ecos所以(4.2-22)(4.2-23)(4.2-21)第26页/共266页图4-3E和D的定义第27页/共266页根据折射率的定义可以在形式上定义“光线折射率”(或射线折射率、能流折射率)nr:(4.2-25)由此可将(4.2-23)式表示为(4.2-26)(4.2-27)(4.2-24)或第28页/共266页(2)菲涅耳方程为了考察晶体的光学特性，我们选取主轴坐标系，因而物质方程为Di=0iEii=1,2,3波法线菲涅耳方程(波法线方程)。将基本方程(4.2-20)式写成分量形式Di=0n2Ei-ki(kE)i=1,2,3(4.2-29)并代入Dii关系，经过整理可得

13、(4.2-30)(4.2-28)第29页/共266页由于Dk=0，因而有将(4.2-30)式代入后，得到(4.2-31)该式描述了在晶体中传播的光波法线方向k与相应的折射率n和晶体光学参量(主介电张量)e 之间的关系。第30页/共266页(4.2-31)式还可表示为另外一种形式。根据vp=c/n，可以定义三个描述晶体光学性质的主速度：它们实际上分别是光波场沿三个主轴方向x1，x2，x3的相速度。由此可将(4.2-31)式变换为(4.2-33)(4.2-32)第31页/共266页在由(4.2-31)、(4.2-33)式得到与每一个波法线方向k相应的折射率或相速度后，为了确定与波法线方向k相应的光

14、波D和E的振动方向，可将(4.2-30)式展开(4.2-34)将由(4.2-31)式解出的两个折射率值n和n分别代入(4.2-34)式，即可求出相应的两组比值和，从而可以确定出与n和n分别对应的E和E的方向。再由物质方程的分量关系求出相应的两组比值和，从而可以确定出与n和n分别对应的D和D的方向。由于相应于E、E及D、D的比值均为实数，所以E和D都是线偏振的。第32页/共266页进而可以证明，相应于每一个波法线方向k的两个独立折射率n和n的电位移矢量D和D相互垂直。证明过程如下：利用(4.2-30)式，建立D和D的标量积：第33页/共266页第34页/共266页由于(n)2和(n)2都是(4.

15、2-31)式的解，所以上式方括号中的第一、三、五项之和为零，第二、四、六项之和也为零。因此，DD=0由此，可以得到晶体光学性质的又一重要结论：一般情况下，对应于晶体中每一给定的波法线方向k，只允许有两个特定振动方向的线偏振光传播，它们的D矢量相互垂直(因而振动面相互垂直)，具有不同的折射率或相速度。由于E、D、s、k四矢量共面，因而这两个线偏振光有不同的光线方向(s和s)和光线速度(vr 和vr)。通常称这两个线偏振光为相应于给定k方向的两个可以传播的本征模式，其方向关系如图4-4所示。(4.2-35)第35页/共266页图4-4与给定的k相应的D、E和s 第36页/共266页光线菲涅耳方程(

16、光线方程)。上面讨论的波法线菲涅耳方程确定了在给定的某个波法线方向k上，特许的两个线偏振光(本征模式)的折射率(或相速度)和偏振态。类似地，也可以得到确定相应于光线方向为s的两个特许线偏振光的光线速度和偏振态的方程光线菲涅耳方程(射线菲涅耳方程、光线方程)。该方程是由(4.2-27)式出发推导出的，推导过程从略，下面只给出具体结果：(4.2-36)第37页/共266页或(4.2-37)(4.2-36)式和(4.2-37)式描述了在晶体中传播的光线方向s与相应的光线折射率nr、光线速度vr和晶体的光学参量e、主速度v1、v2、v3之间的关系。类似前面的讨论可以得出如下结论：在给定的晶体中，相应于

17、每一个光线方向s，只允许有两个特定振动方向的线偏振光(两个本征模式)传播，这两个光的E矢量相互垂直(因而振动面相互垂直)，并且，在一般情况下，有不同的光线速度、不同的波法线方向和不同的折射率。第38页/共266页最后，注意到(4.2-20)式和(4.2-27)式在形式上的相似性，可以得到如下两行对应的变量：(4.2-38)如果任何一个关系式在(4.2-38)式关系中某一行的诸量成立，则将该关系式中的各量用(4.2-38)式对应关系中的另一行相应量代替，就可以得到相应的另一个有效的关系式。应用这一规则，(4.2-36)式和(4.2-37)式分别可以由(4.2-31)式和(4.2-33)式直接通过

18、变量代换得出。并且，无论是根据波法线方程(4.2-31)式、(4.2-33)式，还是根据光线方程(4.2-36)式、(4.2-37)式，都可以同样地完成光在晶体中传播规律的研究。第39页/共266页3.光在几类特殊晶体中的传播规律上面从麦克斯韦方程组出发，直接推出了光波在晶体中传播的各向异性特性，并未涉及具体晶体的光学性质。下面，结合几类特殊晶体的具体光学特性，从晶体光学的基本方程出发，讨论光波在其中传播的具体规律。1)各向同性介质或立方晶体各向同性介质或立方晶体的主介电系数1=2=3=n02。根据前面讨论的有关确定晶体中光波传播特性的思路，将波法线菲涅耳方程(4.2-31)式通分、整理,得到

19、第40页/共266页代入1=2=3=n20，并注意到k21+k22+k23=1，该式简化为(4.2-39)由此得到重根n=n=n0。这就是说，在各向同性介质或立方晶体中，沿任意方向传播的光波折射率都等于主折射率n0，或者说，光波折射率与传播方向无关。进一步，把n=n=n0的结果代入(4.2-34)式，可以得到三个完全相同的关系式k1E1+k2E2+k3E3=0(4.2-40)第41页/共266页此式即为kE=0。它表明，光电场矢量E与波法线方向垂直。因此，E平行于D，s平行于k。所以，在各向同性介质或立方晶体中传播的光波电场结构如图4-5所示。由于(4.2-40)式只限定了E垂直于k，而对E的

20、方向没有约束，因而在各向同性介质或立方晶体中沿任意方向传播的光波，允许有两个传播速度相同的线性不相关的偏振态(二偏振方向正交)，相应的振动方向不受限制，并不局限于某一特定的方向上。第42页/共266页图4-5各向同性介质中D,E,k,s的关系第43页/共266页2)单轴晶体单轴晶体的主相对介电系数为(4.2-41)其中，neno的晶体，称为正单轴晶体；neno时，称为负单轴晶体。(1)两种特许线偏振光波(本征模式)为讨论方便起见，取k在x2Ox3平面内，并与x3轴夹角为，则k1=0,k2=sin,k3=cos(4.2-42)第44页/共266页将(4.2-41)式和(4.2-42)式的关系代入

21、(4.2-31)式，得到即(4.2-43)该方程有两个解(4.2-44)(4.2-45)第45页/共266页第一个解n与光的传播方向无关，与之相应的光波称为寻常光波(正常光波)，简称o光。第二个解n与光的传播方向有关，随变化，相应的光波称为异常光波(非寻常光波、非常光波)，简称e光。对于e光，当=/2时，n=ne;当=0时，n=no。可见，当k与x3轴方向一致时，光的传播特性如同在各向同性介质中一样，n=n=no，并因此把x3轴这个特殊方向称为光轴。因为在这种晶体中只有x3轴一个方向是光轴，所以称之为单轴晶体。第46页/共266页下面确定两种光波的偏振态。寻常光波。将n=n=no及k1=0,k

22、2=sin,k3=cos代入(4.2-34)式，得到(4.2-46)第一式中，因系数为零，所以E1有非零解；第二、三式中，因系数行列式不等于零，所以是一对不相容的齐次方程，此时，只可能是E2=E3=0。因此，o光的E平行于x1轴，有E=E1i。对于一般的k方向，o光的E垂直于k与光轴(x3)所决定的平面。又由于D=on2oE，所以o光的D矢量与E矢量平行。第47页/共266页异常光波。将n=n及k1=0，k2=sin，k3=cos代入(4.2-34)式，得到(4.2-47)在第一式中，因系数不为零，只可能是E1=0；在第二、三式中，因系数行列式等于零，E2和E3有非零解。可见，e光的E矢量位于

23、x2Ox3平面内。对于一般的k方向，e光的E矢量位于k矢量与光轴(x3)所确定的平面内。同时，由于D1=01E1=0，因而D矢量也在x2Ox3平面内，但不与E矢量平行。另外，e光的s矢量、k矢量和光轴共面，但s与k不平行。仅当=/2时，E2=0,E矢量与光轴平行，此时，DE,ks，相应的折射率为ne。第48页/共266页综上所述，在单轴晶体中，存在两种特许偏振方向的光波(本征模式)：o光和e光。对应于某一波法线方向k有两条光线：o光的光线so和e光的光线se，如图4-6所示。这两种光波的E矢量(和D矢量)彼此垂直。对于o光，E矢量和D矢量总是平行，并且垂直于波法线k与光轴所确定的平面；折射率不

24、依赖于k的方向；光线方向so与波法线方向重合。这种特性与光在各向同性介质中的传播特性一样，所以称为寻常光波。对于e光，其折射率随k矢量的方向改变；E矢量与D矢量一般不平行，并且都在波法线k与光轴所确定的平面内，它们与光轴的夹角随着k的方向改变；折射率随k矢量的方向变化；光线方向se与波法线方向不重合。这种特性与光在各向同性介质中的传播特性不一样，所以称为异常光波或非常光波。第49页/共266页图4-6单轴晶体中的o光和e光第50页/共266页(2)e光的波法线方向和光线方向由上分析已知，单轴晶体中e光波法线方向与光线方向之间存在着一个夹角，通常称为离散角。确定这个角度，对于晶体光学元件的制作和

25、许多应用非常重要。因此，下面对该角度问题进行较详细的讨论。由光的电磁理论，相应于同一e光光波的E,D,s,k均在垂直于H的同一平面内。若取图4-6中的x3轴为光轴，E,D,s,k均在主截面x2Ox3平面内，k与x3轴的夹角为,s与z轴的夹角为j，且所取坐标系为单轴晶体的主轴坐标系，则有第51页/共266页因而有(4.2-49)根据图4-6中的几何关系，有(4.2-50)(4.2-48)第52页/共266页将(4.2-49)式中的两个式子相除，并利用(4.2-50)式，可得(4.2-51)进一步，根据离散角的定义，应有如下关系：(4.2-52)将(4.2-51)式代入，整理可得(4.2-53)第

26、53页/共266页由该式可见：当=0或90，即光波法线方向k平行或垂直于光轴时，=0。这时，s与k、E与D方向重合。no,0，e光的光线较其波法线靠近光轴；对于负单轴晶体，neno,0，e光的光线较其波法线远离光轴。可以证明，当k与光轴间的夹角满足(4.2-54)时，有最大离散角(4.2-55)第54页/共266页证明如下：将=-j对求导，可得由(4.2-51)式，有第55页/共266页为得到最大离散角M，应令d/d=0，即由此得到下面的方程：求解该方程可得：将该式代入(4.2-51)式，并由(4.2-52)式求出最大离散角为第56页/共266页在实际应用中，经常要求晶体元件工作在最大离散角的

27、情况下，同时满足正入射条件，这就应当如图4-7所示，使通光面(晶面)与光轴的夹角=90满足(4.2-56)第57页/共266页图47实际的晶体元件方向第58页/共266页3)双轴晶体双轴晶体的三个主相对介电系数都不相等，即123,因而n1n2n3。通常主相对介电系数按12no，则称为正单轴晶体(如石英晶体)，折射率椭球是沿着x3轴拉长了的旋转椭球；若neno，则称为负单轴晶体(如方解石晶体)，折射率椭球是沿着x3轴压扁了的旋转椭球。第83页/共266页设晶体内一平面光波的k与x3轴夹角为，则过椭球中心作垂直于k的平面(k)与椭球的交线必定是一个椭圆(图4-13)。其截线方程可用下述方法得到：由

28、于旋转椭球的x1(x2)轴的任意性，可以假设(k，x3)面为x2Ox3平面。若建立新的坐标系O-x1x2x3，使x3轴与k重合，x1轴与x1轴重合，则x2轴在x2Ox3平面内。这时，(k)截面即为x1Ox2面，其方程为(4.2-78)新旧坐标系的变换关系为(图4-14)第84页/共266页图4-13单轴晶体折射率椭球作图法第85页/共266页图4-14两个坐标系的关系第86页/共266页将上面关系代入(4.2-77)式，再与(4.2-78)式联立，就有经过整理，可得出截线方程为(4.2-79)其中(4.2-80)第87页/共266页或表示为(4.2-81)第88页/共266页下面讨论两种特殊情

29、况：=0时，k与x3轴重合，这时，ne=no，中心截面与椭球的截线方程为这是一个半径为no的圆。可见，沿x3轴方向传播的光波折射率为no，D矢量的振动方向除与x3轴垂直外，没有其它约束，即沿x3轴方向传播的光可以允许任意偏振方向，且折射率均为no，故x3轴为光轴。因为这类晶体只有一个光轴，所以称为单轴晶体。(4.2-82)第89页/共266页=/2时，k与x3轴垂直，这时，ne=ne,e光的D与x3轴平行。中心截面与椭球的截线方程为(4.2-83)由于折射率椭球是旋转椭球，x1、x2坐标轴可任意选取，所以包含x3轴的中心截面都可选作x3Ox1平面(或x3Ox2平面)。对于正单轴晶体，e光有最大

30、折射率；而对于负单轴晶体，e光有最小折射率。运用图4-12所示的几何作图法，可以得到DE,ks。第90页/共266页(3)双轴晶体双轴晶体中的光轴。对于双轴晶体，介电张量的三个主介电系数不相等，即123，因而n1n2n3，所以折射率椭球方程为(4.2-84)若约定n1n2n3，则折射率椭球与x1Ox3平面的交线是椭圆(图4-15)，它的方程为(4.2-85)第91页/共266页图4-15双轴晶体折射率椭球在x1Ox3面上的截线第92页/共266页式中，n1和n3分别是最短、最长的主半轴。若椭圆上任意一点的矢径r与x1轴的夹角为，长度为n，则(4.2-85)式可以写成或(4.2-86)n的大小随

31、着在n1和n3之间变化。由于n1n2no，球面内切于椭球；对于负单轴晶体，neno，球面外切于椭球。两种情况的切点均在x3轴上，故x3轴为光轴。当与x3轴夹角为的波法线方向k与折射率曲面相交时，得到长度为no和ne()的矢径，它们分别是相应于k方向的两个特许线偏振光的折射率，其中ne()可由(4.2-98)式求出：第111页/共266页图4-20单轴晶体折射率曲面(a)正单轴晶体；(b)负单轴晶体第112页/共266页对于双轴晶体，n1n2n3,(4.2-95)式所示的四次曲面在三个主轴截面上的截线都是一个圆加上一个同心椭圆，它们的方程分别是：x2Ox3面x3Ox1面x1Ox2面(4.2-10

32、0)(4.2-99)第113页/共266页按约定，n1n2n3，则三个主轴截面上的截线可以表示如图4-21所示。折射率曲面的两个壳层仅有四个交点，就是x3Ox1截面上的四个交点，在三维示意图中可以看出四个“脐窝”。第114页/共266页图4-21双轴晶体的折射率曲面在三个主轴截面上的截线第115页/共266页图4-22双轴晶体的折射率曲面在第一卦限中的示意图第116页/共266页根据光轴方向为二特许线偏振光折射率相等的k方向的定义，双轴晶体的光轴在x3Ox1面内，如图4-21所示，是两个壳层的交点与原点的连线OA和OA方向。可以证明，折射率曲面在任一矢径末端处的法线方向，即与该矢径所代表的波法

33、线方向k相应的光线方向s。应注意，折射率曲面虽然可以将任一给定k方向所对应的两个折射率直接表示出来，但它表示不出相应的两个光的偏振方向。因此，与折射率椭球相比，折射率曲面对于光在界面上的折射、反射问题讨论比较方便，而折射率椭球用于处理偏振效应的问题比较方便。对于折射率曲面，如果将其矢径长度乘以/c，则构成一个新曲面的矢径r=(nc)k，这个曲面称为波矢曲面，通常记为(k,k)曲面。第117页/共266页3.菲涅耳椭球上面讨论的折射率椭球和折射率曲面都是相对波法线方向k而言的。由于晶体中的k与s可能分离，而在有些应用中给定的是s方向，因而利用相对s而言的曲面讨论光的传播规律比较方便。菲涅耳椭球就

34、是相对光线方向s引入的几何曲面。由折射率椭球方程(4.2-65)出发，利用(4.2-38)式的矢量对应关系，可得(4.2-101)第118页/共266页式中，vr1、vr2、vr3表示三个主轴方向上的光线主速度。这个方程就是用来描述光在晶体中传播特性的菲涅耳椭球。在描述光的传播特性时，它与折射率椭球的作图方法完全相同，只是以光线方向s取代波法线方向k。对于任一给定的光线方向s，过菲涅耳椭球中心作垂直于s的平面，它与菲涅耳椭球相交，其截线为椭圆，该椭圆的长、短轴方向表示与s方向相应的二特许线偏振光电场强度E的振动方向，半轴长度表示该二光的光线速度。如果把长、短半轴矢径记作ra(s)和rb(s)，

35、则第119页/共266页(4.2-102)(4.2-103)(4.2-103)式中，e表示与光线方向s相应的E矢量振动方向上的单位矢量。菲涅耳椭球可记为(e,vr)曲面。第120页/共266页4.射线曲面射线曲面是和折射率曲面相对应的几何图形，它描述与晶体中光线方向s相应的两个光线速度的分布。射线曲面上的矢径方向平行于给定的s方向，矢径的长度等于相应的两个光线速度vr，因此可简记为(s,vr)曲面。实际上，射线曲面就是在晶体中完全包住一个单色点光源的波面。射线曲面在主轴坐标系中的极坐标方程就是(4.2-37)式，现重写如下：(4.2-104)第121页/共266页在形式上，它与折射率曲面方程(

36、4.2-94)式相仿，因此曲面形状相似，也是一个双壳层曲面。不过由于波速与折射率成反比，两壳层的里外顺序与折射率曲面正好相反。图4-23表示的是单轴晶体的射线曲面，图4-24表示的是双轴晶体射线曲面在三个主轴截面上的截线，图4-25为双轴晶体的射线曲面在第一卦限中的示意图。第122页/共266页图4-23单轴晶体的射线曲面(a)正单轴晶体；(b)负单轴晶体第123页/共266页图424双轴晶体射线曲面在三个主轴截面上的截线第124页/共266页图4-25双轴晶体射线曲面在第一卦限中的示意图第125页/共266页至此，我们介绍了四种描述晶体光学性质的几何图形：折射率椭球(d,n)曲面；折射率曲面

37、(k,n)曲面，菲涅耳椭球(e,vr)曲面；射线曲面(s,vr)曲面。实质上，这几种曲面的作用完全等效，只是某种场合应用其中某一种曲面处理问题较为方便而已。第126页/共266页4.3 平面光波在晶体界面上的反射和折射 4.3.1 光在晶体界面上的双反射和双折射众所周知，一束单色光入射到各向同性介质的界面上时，将分别产生一束反射光和一束折射光，并且遵从熟知的反射定律(1.2-7)式)和折射定律(1.2-8)式)。人们在实验中发现，一束单色光从空气入射到晶体表面(例如方解石晶体)上时，会产生束同频率的折射光(图4-26)，这就是双折射现象；当一束单色光从晶体内部(例如方解石晶体)射向界面上时，会

38、产生两束同频率的反射光(图4-27)，这就是双反射现象。并且，在界面上所产生的两束折射光或两束反射光都是线偏振光，它们的振动方向相互垂直。显然，这种双折射和双反射现象都是晶体中光学各向异性特性的直接结果。第127页/共266页图4-26方解石晶体的双折射现象第128页/共266页图4-27方解石晶体中的双反射现象第129页/共266页假设一束单色平面光波自空气射向晶体，ki、kr、kt分别为入射光、反射光、折射光的波矢，则由光的电磁场理论可得(4.3-1)(4.3-2)(4.3-1)式是反射定律的矢量形式，可表述为：反射光与入射光的波矢差与界面垂直。(4.3-2)式是折射定律的矢量形式，可表述

39、为：折射光与入射光的波矢差与界面垂直。由该二式可见，ki、kr、kt和界面法线共面，或者说，反射光和折射光的波法线都在入射面内。第130页/共266页若设i、r、t分别为入射角、反射角、折射角，则有kisini=krsinr=ktsint(4.3-3)或 nisini=nrsinr(4.3-4)nisini=ntsint(4.3-5)(4.3-4)式和(4.3-5)式就是光在晶体界面上的反射定律和折射定律。在形式上，它们与各向同性介质的反射、折射定律相同，但是，第131页/共266页式中的i、r、t都是对波法线方向而言的，尽管反射光、折射光的波法线均在入射面内，但它们的光线有可能不在入射面内。

40、在晶体中，光的折射率因传播方向、电场振动方向而异。如果光从空气射至晶体，则因折射光的折射率nt不同，其折射角t也不同；如果光从晶体内部射出，相应的入射光和反射光的折射率ni和nr不相等，所以在一般情况下入射角不等于反射角。由于双折射和双反射现象的存在，满足(4.3-4)式的nr和r以及满足(4.3-5)式的nt和t都有两个可能的值。第132页/共266页4.3.2 光在晶体界面上反射和折射方向的几何作图法描述 1.惠更斯作图法惠更斯作图法是利用射线曲面(即波面)确定反射光、折射光方向的几何作图法。对于各向同性介质，惠更斯原理曾以次波的包迹是新的波阵面的观点，说明了光波由一种介质进入另一种介质时

41、为什么会折射，并通过作图法利用次波面的单层球面特性，确定了次波的包迹波阵面，从而确定了折射光的传播方向。第133页/共266页对于各向异性介质(晶体)，情况就复杂多了。由上一节的讨论已知，晶体空间对于光的传播来说，是一个偏振化的空间，一束入射光不管其偏振性质如何，它一进入晶体，就要按晶体所规定的方式分成取向不同的两种特许的线偏振态，并且这两种振动所产生的次波沿任一方向都以不同的速度传播。因此，在晶体界面上的次波源向晶体内发射的次波波面是双壳层曲面，每一壳层对应一种振动方式，这就是上节介绍的射线曲面。这样，对于两种不同振动方式的次波的包迹，就是各自的波阵面，它们按不同的方向传播，从而形成两束折射

42、光。第134页/共266页下面以单轴晶体为例，说明惠更斯作图法。假设有一束平行光由各向同性介质(n1)斜入射到正单轴晶体的表面上，晶体光轴为一般取向，即光轴与入射面不平行，也不垂直。当入射波波面上的B到达A点时，A点发出的次波波面如图4-28所示，其中半径为AR=v1的球面是在入射介质(各向同性)中的波面，晶体中的o光波面是半径为AR0=vo的球面，这两个球面与入射面的截线都是圆。由于晶体光轴为一般取向，所以晶体中e光的波面与入射面的截线是一个如图所示的椭圆，但它并不以入射面(图平面)为对称面，其一个半轴长为vo，另一个半轴长介于vo和ve之间。第135页/共266页图4-28惠更斯作图法第1

43、36页/共266页将SA延长与入射光波面相交于R，过R作切平面AR，它就是入射光次波面的包迹入射光波的波阵面。由于入射介质是各向同性介质，所以入射光的光线方向和波法线方向均为AR方向。在晶体中，折射光的方向可以通过A向折射光波面作切平面确定：过A作o光波面的切平面A0，R0为切点，该平面就是寻常折射光的波阵面，AR0方向是寻常折射光能流(光线)方向。由于o光波面是球面，所以AR0垂直于A0切平面，并且AR0在入射面内，因此，它既是寻常折射光的光线方向，又是其波法线方向；过A作e光波面的切平面A，它就是非常折射光的波阵面。因为在一般情况下，e光波面与A面的切点不在图面内，所以非常光线一般不在入射

44、面上，但过A作A面的法线AN却在图面上，AN就是非常折射光的波法线方向。第137页/共266页由上述惠更斯原理和惠更斯作图法说明了单轴单体中两个折射光的性质：o光折射光的波法线方向与光线方向一致，并在入射面内；e光折射光的波法线方向在入射面内，但e光光线方向一般不在入射面内。在使用惠更斯原理和惠更斯作图法说明晶体中折射光方向时，有两种很有实际意义的双折射现象：图4-29(a)表示晶体表面垂直于光轴方向切割，光线沿光轴方向传播，不发生双折射现象；图4-29(b)和(c)表示晶体表面平行于光轴方向切割，当光线垂直表面入射时，折射光方向也只有一个，但沿该方向传播的o光和e光的速度不同，因此通过晶片后

45、，它们之间将产生一定的相位差。利用这种晶片制作的光学元件，在光电子技术中有重要的用途。第138页/共266页图4-29正入射时晶体中的折射现象(负单轴晶体)第139页/共266页2.斯涅耳作图法利用折射率曲面也可以确定与入射光相应的反射光、折射光的传播方向。但为了简明起见，通常是采用波矢曲面进行。斯涅耳作图法就是利用波矢曲面确定反射光、折射光传播方向的几何作图法。图4-30给出了以界面上任一点A为原点，在晶体一侧按同一比例画出的入射光所在介质中的波矢面和晶体中的波矢面(双壳层曲面)。自A点引一直线平行于入射光波法线方向，与入射光所在介质的波矢面交于Ni，该ANi即为入射光波ki。以Ni点作面的

46、垂线交晶体中的波矢面于Nt和Nt,ANt和ANt就是与入射光ki相应的两个折射光波矢kt和kt。每一个折射光对应着一个光线方向和一个光线速度，这就是双折射现象。第140页/共266页图4-30斯涅耳作图第141页/共266页对于晶体内部的双反射现象，可以类似处理：以界面上任一点为原点，在界面两侧画出晶体的波矢面，其中入射光的波矢面画在晶体外侧，自原点引出与入射光波法线方向平行的直线，确定出入射波矢ki，过ki末端作的垂线，在晶体内侧交反射光波矢面于两点，从而可定出符合(4.3-1)式的两个反射波矢kr和kr。应当指出的是，由这个作图法所确定的两个反射波矢和两个折射波矢只是允许的或可能的两个波矢

47、，至于实际上两个波矢是否同时存在，要看入射光是否包含有各反射光或各折射光的场矢量方向上的分量。第142页/共266页1)平面光波正入射图4-31表示一正单轴晶体，其光轴位于入射面内，与晶面斜交。当一束平面光波正入射时，其折射光的波矢、光线方向可如下确定：首先在入射界面上任取一点作为原点，按比例在晶体一侧画出入射光所在介质的波矢面和晶体的波矢面。光波垂直射入晶体后，分为o光和e光。o光垂直于主截面振动，e光在主截面内振动。o光、e光的波法线方向相同，均垂直于界面，但光线方向不同。过ke矢量末端所作的椭圆切线是e光的E矢量振动方向，其法线方向即为该e光的光线方向se，它仍在主截面内，而o光的光线方

48、向so则平行于ko方向。在一般情况下，如果晶体足够厚，从晶体平行的下通光表面出射的是两束光，其振动方向互相垂直，其中相应于e光的透射光，相对入射光的位置在主截面内有一个平移。第143页/共266页图4-31平面波正入射，光轴与晶面斜交第144页/共266页图4-32给出了平面光波正入射、光轴平行于晶体表面时的折射光方向。在晶体内产生的o光和e光的波法线方向、光线方向均相同，但其传播速度不同。因此，当入射光为线偏振光时，从晶体下表面出射的光在一般情况下将是随晶体厚度变化的椭圆偏振光。图4-33绘出了平面光波正入射，光轴垂直于晶体表面时的折射光方向。由于此时晶体内光的波法线方向平行于光轴方向，所以

49、不发生双折射现象。从晶体下表面出射光的偏振状态，与入射光相同。第145页/共266页图4-32平面波正入射，光轴平行于表面第146页/共266页图4-33平面波正入射，光轴垂直于晶体表面第147页/共266页2)平面光波在主截面内斜入射如图4-34所示，平面光波在主截面内斜入射时，在晶体内将分为o光和e光，e光的波法线方向、光线方向一般与o光不相同，但都在主截面内。当晶体足够厚时，从晶体下表面射出的是两束振动方向互相垂直的线偏振光，传播方向与入射光相同。第148页/共266页图4-34平面波在主截面内斜入射第149页/共266页3)光轴平行于晶面，入射面垂直于主截面图4-35绘出了晶体光轴平行

50、于晶面(垂直于图面)，平行光波的入射面垂直于主截面时的折射光传播方向。此时，光进入晶体后分为o、e两束光。对于o光，其波法线方向与光线方向一致；而e光因其折射率是常数ne，与入射角的大小无关，所以它的波法线方向与光线方向也相同。第150页/共266页图4-35光轴平行于晶面，入射面与主截面垂直第151页/共266页4.4 晶体光学元件 4.4.1 偏振器在光电子技术应用中，经常需要偏振度很高的线偏振光。除了某些激光器本身即可产生线偏振光外，大部分都是通过对入射光进行分解和选择获得线偏振光的。通常将能够产生线偏振光的元件叫做偏振器。根据偏振器的工作原理不同，可以分为双折射型、反射型、吸收型和散射