第二章-飞行器运动方程.ppt

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1、第二章第二章 飞行器运动方程飞行器运动方程主讲教师：张庆振 副教授北航自动化学院自动控制系北航自动化学院自动控制系北航自动化学院自动控制系北航自动化学院自动控制系1 飞飞行器运行器运动动方程方程组组 以上假设适用于：飞行速度不高（以上假设适用于：飞行速度不高（以上假设适用于：飞行速度不高（以上假设适用于：飞行速度不高（Ma3Ma3Ma3Ma3）,大气层内飞行大气层内飞行大气层内飞行大气层内飞行的飞行器的飞行器的飞行器的飞行器1 1）刚刚刚刚体体体体飞飞飞飞行器运行器运行器运行器运动动动动的假的假的假的假设设设设飞行器为刚体且质量是常数飞行器为刚体且质量是常数地面坐标系为惯性坐标系地面坐标系为惯

2、性坐标系忽略地球曲率，即采用所谓的忽略地球曲率，即采用所谓的“平板地球假设平板地球假设”重力加速度不随飞行高度变化而变化重力加速度不随飞行高度变化而变化面对称飞行器几何外形对称，内部质量分布对称：面对称飞行器几何外形对称，内部质量分布对称：2 2）飞飞飞飞行器运行器运行器运行器运动动动动的自由度的自由度的自由度的自由度刚体飞机的六自由度描述：刚体飞机的六自由度描述：（1）质心的位移（线运动）：）质心的位移（线运动）：l飞行器的质心沿着地面坐标系的三个轴向的位移飞行器的质心沿着地面坐标系的三个轴向的位移l飞行速度的增减运动、升降运动和侧移运动飞行速度的增减运动、升降运动和侧移运动（）质心的转动（

3、角运动）：（）质心的转动（角运动）：l飞行器的绕机体坐标系三个轴的转动飞行器的绕机体坐标系三个轴的转动l俯仰角运动、偏航角运动和滚转角运动俯仰角运动、偏航角运动和滚转角运动由于飞机具有一个几何和质量的对称面，根据各自由度之间由于飞机具有一个几何和质量的对称面，根据各自由度之间的耦合强弱程度，可将六个自由度的运动分成的耦合强弱程度，可将六个自由度的运动分成对称平面内对称平面内和和非对称非对称平面内平面内的运动的运动（1）纵向运动（对称平面内运动）：）纵向运动（对称平面内运动）：l速度的增减速度的增减l质心的升降质心的升降（）横侧向运动（非对称平面内运动）：（）横侧向运动（非对称平面内运动）：l质

4、心的侧向移动质心的侧向移动l绕轴的偏航角运动绕轴的偏航角运动l绕轴的俯仰角运动绕轴的俯仰角运动l绕轴的滚转角运动绕轴的滚转角运动）飞飞飞飞机和机和机和机和导弹导弹导弹导弹的运的运的运的运动动动动特点特点特点特点飞机和在大气层中飞行的导弹有很多共性，关于飞机运飞机和在大气层中飞行的导弹有很多共性，关于飞机运动特性的研究适用于导弹。动特性的研究适用于导弹。飞行任务：飞行任务：l飞行控制系统的主要任务是稳定飞行飞行控制系统的主要任务是稳定飞行l导弹控制系统的主要任务是追击目标导弹控制系统的主要任务是追击目标运动分析：运动分析：l地地导弹控制系统的主要任务是修正轨迹地地导弹控制系统的主要任务是修正轨迹

5、飞机与导弹的操纵面飞机与导弹的操纵面利用推力矢量控制利用推力矢量控制小扰动线性化方程与冻结系数法小扰动线性化方程与冻结系数法水平转弯侧滑转弯（）、倾斜转弯（）水平转弯侧滑转弯（）、倾斜转弯（）利用升力和侧力控制导弹的飞行轨迹利用升力和侧力控制导弹的飞行轨迹摆动发动机摆动发动机）动力学方程组l选坐标系选坐标系机体系机体系 飞机六自由度运动包括飞机绕三轴的转动（状态变化），飞机六自由度运动包括飞机绕三轴的转动（状态变化），及飞机三个线位置的变化，所以在建立六自由度方程时，应及飞机三个线位置的变化，所以在建立六自由度方程时，应选选机体坐标系机体坐标系。（好处是转动惯量便于计算和分析，缺点是。（好处是

6、转动惯量便于计算和分析，缺点是要考虑牵连运动）要考虑牵连运动）动力学方程式是描述飞机所受力、力矩与飞机运动参动力学方程式是描述飞机所受力、力矩与飞机运动参数间关系的方程，数间关系的方程，显然包括两组方程显然包括两组方程。在质量在质量m为常量，且地面坐标系为惯性系的假设下：为常量，且地面坐标系为惯性系的假设下：力平衡方程式：（理论依据（理论依据牛顿第二定律）牛顿第二定律）力矩的平衡方程式：（理论依据（理论依据动量矩定理）动量矩定理）假设动坐标系相对惯性坐标系的假设动坐标系相对惯性坐标系的速度为速度为，总总角速度向量角速度向量为为用动坐标系表示绝对参数变化用动坐标系表示绝对参数变化将和在动坐标系（

7、机体坐标系）中分解将和在动坐标系（机体坐标系）中分解用机体系表示绝对参数变化时用机体系表示绝对参数变化时绝对参数变化绝对参数变化相对导数相对导数牵连运动牵连运动第一项表示为第一项表示为（相对加速度）第二项表示为第二项表示为（牵连加速度）则有加速度在动坐标系（机体系）分解如下则有加速度在动坐标系（机体系）分解如下合外力向动坐标系（机体坐标系）分解合外力向动坐标系（机体坐标系）分解代入代入注注:合外力包括合外力包括 气动力、推力、重力气动力、推力、重力 X X：切向力；：切向力；Y Y：侧向力；侧向力；Z Z：法向力。：法向力。将空气动力和发动机推力向动坐标系（机体坐标将空气动力和发动机推力向动坐

8、标系（机体坐标系）内分解为，再利用重力在动坐标系的分解系）内分解为，再利用重力在动坐标系的分解有：有：回忆重力在机体回忆重力在机体坐标系中的分解坐标系中的分解外力改变飞行状态（速度）外力改变飞行状态（速度）根据理论力学中根据理论力学中质点系对于固定点的动量矩定理质点系对于固定点的动量矩定理可知，质可知，质点系对于定点的动量矩，对时间的向量导数等于作用于质点点系对于定点的动量矩，对时间的向量导数等于作用于质点系的外力对同一点的力矩的向量和。系的外力对同一点的力矩的向量和。选择质心为动坐标系（机体坐标系）的原点，则在动坐标选择质心为动坐标系（机体坐标系）的原点，则在动坐标系内表示的动量矩系内表示的

9、动量矩由此得到下列关系式由此得到下列关系式由假设飞机由假设飞机质量不变质量不变的刚体，惯性矩和惯性积为常量的刚体，惯性矩和惯性积为常量则有动量矩导数在动坐标系（机体系）分解如下则有动量矩导数在动坐标系（机体系）分解如下外力矩向动坐标系（机体坐标系）进行分解外力矩向动坐标系（机体坐标系）进行分解由动量矩定理由动量矩定理回忆飞行器外力矩（气动力矩和推力回忆飞行器外力矩（气动力矩和推力矩，重力不参与力矩分解）在机体坐矩，重力不参与力矩分解）在机体坐标系中的分解：标系中的分解：俯仰俯仰、滚转滚转、偏航偏航；回忆静稳定性的概念。回忆静稳定性的概念。整理得到整理得到其中其中得到在动坐标系中飞行器在外合力矩

10、作用下的角运动方程得到在动坐标系中飞行器在外合力矩作用下的角运动方程外力矩改变飞行姿态（角速度）外力矩改变飞行姿态（角速度）在在操纵舵面锁定的条件下，操纵舵面锁定的条件下，建立了外合力及外合力矩作用下的飞建立了外合力及外合力矩作用下的飞机动力学方程组。机动力学方程组。力方程组力方程组力矩方程组力矩方程组l运动学方程式是描写飞机相对地轴系下的位置及状态角的，也包括两种方程：l角位置运动学方程式 给出p、q、r与 、的关系l线位置运动学方程 给出地轴系与体轴系间线速度关系。）运动学方程组姿态角变化率的方位图 由图可知：l ：为沿 轴的向量，向下为正。l ：在水平面内与ox轴在水平面上的投影相垂直，

11、向右为正。绕地轴系oyg轴。l ：沿ox轴向量，向前为正。绕机体轴ox p、q、r为飞机绕机体三轴的角速度。当 时，没有一个角速度分量是水平或垂直的。l把 向机体三轴投影的话，只有 p包含 的全部，p,q,r都包含 的投影分量。为简单起见，先令 求 与p,q,r的关系。再将 加上可得：l角位置运动学方程式 p、q、r一定正交，但 三者不一定正交思考正交条件思考正交条件？=0l线位置运动学方程 让地轴系依次按 转动即可：绕 轴转 得到 l再绕轴 转 得到 l最后绕 轴转 得到 由此可得：由此可得：或 地轴系与体轴系间方向余弦表xyz对于地面坐标轴系的位移运动有而对于机体坐标轴系的速度分量有通过变

12、换得到导航方程组：或者利用地面坐标轴系与气流坐标轴系的转换关系 将导航方程组式写成如下形式至此，我至此，我至此，我至此，我们们们们建立了：建立了：建立了：建立了：六自由度飞机运动方程全量方程（六自由度飞机运动方程全量方程（1212个）个）包括包括动力学方程动力学方程及及运动学方程运动学方程动力学方程动力学方程是以动力学为基础是以动力学为基础,描述力及力矩平衡关系的方描述力及力矩平衡关系的方程程,亦即为考虑在体轴系下运动参数与力、力矩的方程亦即为考虑在体轴系下运动参数与力、力矩的方程。运动学方程运动学方程通过体轴系与地轴系的关系通过体轴系与地轴系的关系,找出体轴系下的角找出体轴系下的角速度速度、

13、位移量与地面轴系下的角速度位移量与地面轴系下的角速度、位移量的关系。位移量的关系。力方程组力方程组力矩方程组力矩方程组运动方程组运动方程组或者：或者：导航方程组导航方程组 （1）通过飞机运动方程全量方程（12个），就确定了状态向量 XT=u w p q r xg yg h 与控制输入向量 UT=T e a r之间的非线性函数关系。注：（2）12个方程是封闭的。只要已知飞行器相关的特征参数、飞行高度、马赫数及飞行状态（初始），就可以确定力（Fx,Fy,Fz）和力矩（L，M，N），应用12方程便可以求解在任意时刻飞行器的运动状态。（3）力方程组、力矩方程组和运动方程组的计算不依赖于偏航角。气动力的

14、计算依赖于气流角气动力的计算依赖于气流角，和飞行速度和飞行速度V V 所以我们改造力方程组力方程组，将力方程组中的机体系参量用气流坐标系的、V表示：注：需要完成如下转换：力方程组力方程组变换公式如下力方程组变换如下 这样：这样：这样：这样：通过飞机运动方程全量方程（12个），就确定了状态向量 XT=V p q r xg yg h 与控制输入向量 UT=T e a r之间的非线性函数关系。补充变换关系式6）飞机运动方程的解耦分组l 两种特殊的飞行状态水平无侧滑飞行存在代数关系式6）飞机运动方程的解耦分组l 两种特殊的飞行状态水平侧滑飞行存在代数关系式l 稳态飞行飞机进行稳态飞行的条件附加不同限制

15、条件，得到不同的稳态飞行状态为常值机翼水平稳态飞行稳态转弯飞行稳态拉起飞行稳态滚转飞行l 飞机的纵向运动和横侧向运动水平无侧滑飞行状态分析（分析力、力矩、运动方程组）重力在气流坐标系中的分解力方程组l 飞机的纵向运动和横侧向运动水平无侧滑的力方程组如下：注：只与纵向的状态有关只与纵向的状态有关只与纵向的状态有关只与纵向的状态有关利用运动方程组则有l 飞机的纵向运动和横侧向运动力矩方程组第二式有纵向运动方程组利用 来解耦力矩方程力方程力矩方程运动方程l 飞机的纵向运动和横侧向运动横侧向运动方程组 这样：这样：这样：这样：先解纵向运动的状态量进而计算进而利用导航方程XT=V p q r xg yg

16、 h7）飞机运动方程的线性化运动参数非线性相关力方程组力方程组力矩方程组力矩方程组力、力矩非线性关系项一般情况下，求取解析解非常困难，只能借助计算机求取数值解！一般采用线性化的方法求得飞机运动方程的解析解 目的（解析解）：目的（解析解）：目的（解析解）：目的（解析解）：分析飞机构型参数飞机构型参数与飞行稳定性飞行稳定性和操纵性操纵性之间的关系。目的（线性化）：目的（线性化）：目的（线性化）：目的（线性化）：利用成熟的线性系统控制理论设计线性系统控制理论设计飞行控制器飞行控制器。因此，将飞机运动方程进行线性化处理的方法成为目前在实际工程中广泛应用的重要方法之一。8）基于小扰动原理的线性化方法只保

17、留一阶项，略去高阶小项（非线性）的等效！补充：泰勒展级数展开 若函数f(x)在点x0的某一邻域内具有直到（n+1）阶导数，则在该邻域内f(x)的n阶泰勒公式为：等效基础：等效基础：x为小量（小扰动原理小扰动原理）8）基于小扰动原理的线性化方法将飞机运动方程写成隐式的非线性隐式的非线性状态方程飞机运动方程全量方程（12个），对应的状态向量 XT=V p q r xg yg h 控制输入向量 UT=T e a r 平衡点：将满足将满足 或者或者U为常数值且为常数值且 的解的解 称为平衡点；称为平衡点；引入几个概念：基准运动：将飞行器在平衡点条件下的运动称为基准运动。将飞行器在平衡点条件下的运动称为

18、基准运动。扰动运动：在外来干扰作用下，飞行器偏离平衡点条件下在外来干扰作用下，飞行器偏离平衡点条件下的运动，称为扰动运动。的运动，称为扰动运动。小扰动运动：若飞行器的扰动运动与基准运动间的差别甚若飞行器的扰动运动与基准运动间的差别甚小，可视为小扰动运动。小，可视为小扰动运动。飞行器运动方程的线性化选择基准状态：无倾斜无侧滑的等速直线平飞状态回忆：稳定坐标系回忆：稳定坐标系回忆：稳定坐标系回忆：稳定坐标系选择稳定轴系列写运动方程 描述飞机的运动参量，可看成是基准运动时的量值加上扰动小量，即：，在飞机等速平直飞行（基准运动）时（基准运动的速度）（基准运动的速度）因为因为 等都是小量，而力、力矩取决

19、于运动参数，等都是小量，而力、力矩取决于运动参数，因此：因此：可以按照参数增量展成泰勒级数，并只保留一阶项。对力和力矩方程组进行线性化：力方程组力矩方程组非线性项对其它的外力和力矩也能写出同样的表达式。轴向力 泰勒展开（对所有运动参数）因为基准运动是等速平飞，所以因为基准运动是等速平飞，所以则力和力矩泰勒展开（略高阶项和参数增量乘积项）常系数线性微分方程可以将运动参数分成对称的和不对称的两类。飞机外形和内部质量分布对称于对称参数：对称参数：9）线性化运动方程的分组基准运动为等速直线平飞不对称参数：不对称参数：没有破坏绕飞机气流的对称性，气动力和力矩处对称平面引起不对称的气动力和力矩考虑基准运动

20、和对称性将方程分组纵向横向 如果基准运动不是对称的（如如果基准运动不是对称的（如等速直线侧滑飞行等速直线侧滑飞行，等等坡度盘旋飞行坡度盘旋飞行等），小扰动方法尽管可以线性化方程，但等），小扰动方法尽管可以线性化方程，但不能把方程组分成纵向和横侧不能把方程组分成纵向和横侧，因纵向和横侧之间有一阶，因纵向和横侧之间有一阶小量的联系！小量的联系！补充说明：2 飞飞机的机的纵纵向运向运动动 以上讲述了：飞机小扰动线性化的具体方法；飞机扰动运以上讲述了：飞机小扰动线性化的具体方法；飞机扰动运以上讲述了：飞机小扰动线性化的具体方法；飞机扰动运以上讲述了：飞机小扰动线性化的具体方法；飞机扰动运动分成纵向和横

21、侧的条件（动分成纵向和横侧的条件（动分成纵向和横侧的条件（动分成纵向和横侧的条件（基准运动是对称的；基准运动是对称的；基准运动是对称的；基准运动是对称的；小扰动小扰动小扰动小扰动）。）。）。）。1）纵向运动方程式 本节将导出本节将导出本节将导出本节将导出纵向扰动运动方程的具体表达式纵向扰动运动方程的具体表达式纵向扰动运动方程的具体表达式纵向扰动运动方程的具体表达式，并讨论，并讨论，并讨论，并讨论纵向纵向纵向纵向扰动运动的特征扰动运动的特征扰动运动的特征扰动运动的特征。分析思路：飞机纵向运动只涉及纵向的运动参数和气动力，飞机纵向运动只涉及纵向的运动参数和气动力，气动力一气动力一般在速度坐标系中建

22、立，般在速度坐标系中建立，采用速度坐标系建立纵向运动的一般方程采用速度坐标系建立纵向运动的一般方程（同稳定轴系）（同稳定轴系），推导纵向小扰动线性化方程推导纵向小扰动线性化方程飞机纵向受力图 （1）发动机推力 ，发动机轴线与纵轴安装角为重心对推力线垂距为 （发动机轴线不一定过重心，轴线若在重心之下时 为正，则推力对重心之矩为正。）下面将根据受力图建立下面将根据受力图建立下面将根据受力图建立下面将根据受力图建立纵向力（切向力、法向力）和力矩纵向力（切向力、法向力）和力矩纵向力（切向力、法向力）和力矩纵向力（切向力、法向力）和力矩（俯仰）方程（俯仰）方程（俯仰）方程（俯仰）方程。（2）升力L：垂直

23、于飞行速度V，向上为正；（3）阻力D：平行于飞行速度V，向后为正；（4）俯仰力矩 （仅指气动力矩）：以抬头力矩为正。切向速度，R 重心轨迹曲率半径法向加速度 切向力 法向力力矩 几何关系 运动学方程 利用牛二定律、动量矩定律推导得到的纵向运动方程组利用纵向力分析得到运动方程组比较：考虑到：一般考虑到：一般考虑到：一般考虑到：一般 ，皆为小量，有皆为小量，有皆为小量，有皆为小量，有 推力远小于重力，有推力远小于重力，有推力远小于重力，有推力远小于重力，有 简化纵向运动方程简化纵向运动方程简化纵向运动方程简化纵向运动方程非线性方程（对运动参数）非线性方程（对运动参数）非线性方程（对运动参数）非线性

24、方程（对运动参数）2）纵向运动方程的线性化处理 忽略小量影响因素，且考虑基准飞行为直线平飞，高度（忽略小量影响因素，且考虑基准飞行为直线平飞，高度（忽略小量影响因素，且考虑基准飞行为直线平飞，高度（忽略小量影响因素，且考虑基准飞行为直线平飞，高度（）变化不大。）变化不大。）变化不大。）变化不大。首先线性化处理纵向力（）和力矩（）对力和力矩在基准运动（对力和力矩在基准运动（对力和力矩在基准运动（对力和力矩在基准运动（）泰勒展开并保留一阶小项泰勒展开并保留一阶小项泰勒展开并保留一阶小项泰勒展开并保留一阶小项令令令令线线性性化化结结果果切向运动方程的线性化基准运动为等速直线平飞基准运动为等速直线平飞

25、基准运动为等速直线平飞基准运动为等速直线平飞切向运动方程切向运动方程线性化结果：线性化结果：令令法向运动方程的线性化基准运动为等速直线平飞基准运动为等速直线平飞基准运动为等速直线平飞基准运动为等速直线平飞基准运动有基准运动有基准运动有基准运动有线性化结果：线性化结果：法向运动方程法向运动方程绕oy轴转动动力学方程的线性化基准运动有基准运动有基准运动有基准运动有线性化方程为：线性化方程为：线性化方程为：线性化方程为：整理后得：整理后得：整理后得：整理后得：式中导数计算公式：式中导数计算公式：式中导数计算公式：式中导数计算公式：纵向力矩方程纵向力矩方程归纳以上三式，令，表示微分算子，得归纳以上三式

26、，令，表示微分算子，得归纳以上三式，令，表示微分算子，得归纳以上三式，令，表示微分算子，得线性化结果：线性化结果：纵向小扰动纵向小扰动线性化方程线性化方程纵向方程系数表示式（切向力方程大导数）纵向方程系数表示式（切向力方程大导数）符号符号表示式表示式计算公式计算公式单位单位1/S1/S1/S1/S纵向方程系数表示式（法向力方程大导数）纵向方程系数表示式（法向力方程大导数）符号符号表示式表示式计算公式计算公式单位单位纵向方程系数表示式（力矩方程大导数）纵向方程系数表示式（力矩方程大导数）符符号号表示式表示式计算公式计算公式单位单位符符号号表示式表示式计算公式计算公式单位单位纵向方程系数表示式（力

27、矩方程大导数）纵向方程系数表示式（力矩方程大导数）飞机主要构造参数及纵向气动参数飞机主要构造参数及纵向气动参数飞机主要构造参数及纵向气动参数飞机主要构造参数及纵向气动参数3）纵向扰动运动的典型示例、扰动运动的两种模态 初始状态：初始状态：初始状态：初始状态：定常直线飞行定常直线飞行马赫数、力矩马赫数、力矩 查表计算纵向线性化方程大导数查表计算纵向线性化方程大导数查表计算纵向线性化方程大导数查表计算纵向线性化方程大导数切向力大导数（对应于第切向力大导数（对应于第1 1方程式）方程式）法向力大导数（对应于第法向力大导数（对应于第2 2方程式）方程式）俯仰力矩大导数（对应于第俯仰力矩大导数（对应于第

28、3 3方程式）方程式）大导数计算结果代入纵向线性化方程大导数计算结果代入纵向线性化方程大导数计算结果代入纵向线性化方程大导数计算结果代入纵向线性化方程我们研究初始条件我们研究初始条件我们研究初始条件我们研究初始条件 时，时，时，时，的扰动运动的解。的扰动运动的解。的扰动运动的解。的扰动运动的解。扰动运动的解工具工具工具工具：拉氏变换拉氏变换 拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数数f(t)与复变函数与复变函数 F(s)联系起来，把时域问题变换为复联系起来，把时域问题变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数频域问题，把时间

29、域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程以便求解。方程以便求解。时域时域时域时域微分微分微分微分方程方程方程方程频域频域频域频域代数代数代数代数方程方程方程方程拉氏变换拉氏变换拉氏变换拉氏变换拉氏逆变换拉氏逆变换拉氏逆变换拉氏逆变换求解求解求解求解时域解时域解时域解时域解引入衰减因子引入衰减因子 得得从傅里叶变换到拉普拉斯变换wsjs+=令拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别：FT:时域函数时域函数f(t)频域函数频域函数变量变量 t变量变量 LT:时域函数时域函数f(t)复频域函数复频域函数（变量（变量 t、都是实数）都是实数）变量变量 t变量变量s(复频率）复频率）t（实数）实数）(复数）复数）即

30、：即：傅里叶变换建立了傅里叶变换建立了时域时域与与频域频域之间的联系；之间的联系；拉普拉斯变换建立了拉普拉斯变换建立了时域时域与与复频域复频域之间的联系。之间的联系。用拉氏变换求解纵向线性化方程用拉氏变换求解纵向线性化方程用拉氏变换求解纵向线性化方程用拉氏变换求解纵向线性化方程回忆：回忆：令令令令考虑到前面给出的初始条件有考虑到前面给出的初始条件有考虑到前面给出的初始条件有考虑到前面给出的初始条件有带入微分方程组，得拉氏变换代数方程组带入微分方程组，得拉氏变换代数方程组带入微分方程组，得拉氏变换代数方程组带入微分方程组，得拉氏变换代数方程组如何求解此如何求解此非齐次线性代数方程组非齐次线性代数

31、方程组？工具：工具：利用克莱姆法则（利用克莱姆法则（利用克莱姆法则（利用克莱姆法则（CramerCramerCramerCramer s s s s rule)rule)rule)rule)设线性方程组则称此方程组为非 齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.l非齐次与齐次线性方程组的概念补充：补充：若常数项 不全为零，若常数项 全为零，l克莱姆法则如果线性方程组的系数行列式不等于零，即其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为分子行列式分子行列式方程的系数行列式（特征行列式）为方程的系数行列式（特征

32、行列式）为方程的系数行列式（特征行列式）为方程的系数行列式（特征行列式）为展开系数行列式得特征多项式展开系数行列式得特征多项式展开系数行列式得特征多项式展开系数行列式得特征多项式分解因式得分解因式得分解因式得分解因式得各分子行列式为各分子行列式为各分子行列式为各分子行列式为利用克莱姆法则，求代数方程组的解利用克莱姆法则，求代数方程组的解利用克莱姆法则，求代数方程组的解利用克莱姆法则，求代数方程组的解以上三式可编程分项分式（为拉氏反变换）以上三式可编程分项分式（为拉氏反变换）以上三式可编程分项分式（为拉氏反变换）以上三式可编程分项分式（为拉氏反变换）经拉氏反变换即得相应的函数，设经拉氏反变换即得

33、相应的函数，设经拉氏反变换即得相应的函数，设经拉氏反变换即得相应的函数，设过渡过程曲线过渡过程曲线过渡过程曲线过渡过程曲线 两种扰动运动模态及其物理成因由图可知由图可知由图可知由图可知：初期阶段变化剧烈，数秒钟后即平缓下来：初期阶段变化剧烈，数秒钟后即平缓下来：初期阶段变化剧烈，数秒钟后即平缓下来：初期阶段变化剧烈，数秒钟后即平缓下来：缓慢增长，以后又缓慢减小：缓慢增长，以后又缓慢减小：缓慢增长，以后又缓慢减小：缓慢增长，以后又缓慢减小：兼有两者特点，初期阶段变化剧烈，以后又缓慢变化：兼有两者特点，初期阶段变化剧烈，以后又缓慢变化：兼有两者特点，初期阶段变化剧烈，以后又缓慢变化：兼有两者特点，

34、初期阶段变化剧烈，以后又缓慢变化可以看出可以看出可以看出可以看出：扰动运动存在两种模态扰动运动存在两种模态扰动运动存在两种模态扰动运动存在两种模态短周期模态短周期模态短周期模态短周期模态：周期短，衰减快，对应于特征方程的一对大共轭复根周期短，衰减快，对应于特征方程的一对大共轭复根周期短，衰减快，对应于特征方程的一对大共轭复根周期短，衰减快，对应于特征方程的一对大共轭复根长周期模态长周期模态长周期模态长周期模态：周期长，衰减慢，对应于特征方程的一对小共轭复根周期长，衰减慢，对应于特征方程的一对小共轭复根周期长，衰减慢，对应于特征方程的一对小共轭复根周期长，衰减慢，对应于特征方程的一对小共轭复根各

35、运动参数随时间的变化是上述两种模态的迭加！各运动参数随时间的变化是上述两种模态的迭加！各运动参数随时间的变化是上述两种模态的迭加！各运动参数随时间的变化是上述两种模态的迭加！物理成因物理成因物理成因物理成因：注：在初始姿态不发生变化的条件下，注：在初始姿态不发生变化的条件下，注：在初始姿态不发生变化的条件下，注：在初始姿态不发生变化的条件下，其扰动成因为，气流方向发生了改变其扰动成因为，气流方向发生了改变其扰动成因为，气流方向发生了改变其扰动成因为，气流方向发生了改变由运动方程由运动方程由运动方程由运动方程 ：时，时，时，时，纵向静稳定力矩（纵向静稳定力矩（纵向静稳定力矩（纵向静稳定力矩（）与

36、转动惯量（）与转动惯量（）与转动惯量（）与转动惯量（）的比值远）的比值远）的比值远）的比值远大于阻力、重力差值（大于阻力、重力差值（大于阻力、重力差值（大于阻力、重力差值（）与质量（）与质量（）与质量（）与质量（m m m m)的比值。的比值。的比值。的比值。因此：飞机消除因此：飞机消除因此：飞机消除因此：飞机消除 要快些，而改变要快些，而改变要快些，而改变要快些，而改变 要慢些要慢些要慢些要慢些在在在在 的作用下的作用下的作用下的作用下由两个数据可以看出：由两个数据可以看出：由两个数据可以看出：由两个数据可以看出：此外，飞机的俯仰阻尼力矩此外，飞机的俯仰阻尼力矩此外，飞机的俯仰阻尼力矩此外，

37、飞机的俯仰阻尼力矩 与与与与 也不小，表现出也不小，表现出也不小，表现出也不小，表现出周期短阻尼大周期短阻尼大周期短阻尼大周期短阻尼大的特点，在扰动运动初期阶段数秒内短周期运的特点，在扰动运动初期阶段数秒内短周期运的特点，在扰动运动初期阶段数秒内短周期运的特点，在扰动运动初期阶段数秒内短周期运动已基本结束，俯仰力矩基本恢复到受扰前的平衡状态。动已基本结束，俯仰力矩基本恢复到受扰前的平衡状态。动已基本结束，俯仰力矩基本恢复到受扰前的平衡状态。动已基本结束，俯仰力矩基本恢复到受扰前的平衡状态。飞机受扰运动示意图飞机受扰运动示意图 速度增加，动压增加，举力增加，速度增加，动压增加，举力增加，速度增加

38、，动压增加，举力增加，速度增加，动压增加，举力增加，轨迹向上弯曲。，轨迹向上弯曲。，轨迹向上弯曲。，轨迹向上弯曲。在重力沿轨迹切线方向分力（在重力沿轨迹切线方向分力（在重力沿轨迹切线方向分力（在重力沿轨迹切线方向分力（）的作用下，逐渐加速。）的作用下，逐渐加速。）的作用下，逐渐加速。）的作用下，逐渐加速。短周期运动结束后，短周期运动结束后，短周期运动结束后，短周期运动结束后，飞机下滑。飞机下滑。飞机下滑。飞机下滑。轨迹向上，重力分力使飞机减速，动压减小，轨迹向上，重力分力使飞机减速，动压减小，轨迹向上，重力分力使飞机减速，动压减小，轨迹向上，重力分力使飞机减速，动压减小，轨迹下，轨迹下，轨迹下

39、，轨迹下弯。弯。弯。弯。飞机动能与位能的交替变换，变现为飞机动能与位能的交替变换，变现为飞机动能与位能的交替变换，变现为飞机动能与位能的交替变换，变现为 和和和和 的振荡运动的振荡运动的振荡运动的振荡运动 主要是长周期运动主要是长周期运动主要是长周期运动主要是长周期运动 起恢复作用的气动力起恢复作用的气动力起恢复作用的气动力起恢复作用的气动力 和起阻尼作用的气动力和起阻尼作用的气动力和起阻尼作用的气动力和起阻尼作用的气动力 远远小于飞机质量（远远小于飞机质量（远远小于飞机质量（远远小于飞机质量（m m m m），因此长周期特点：），因此长周期特点：），因此长周期特点：），因此长周期特点：振荡周

40、期长，衰减慢振荡周期长，衰减慢在长周期运动中，飞机重心时升时降，故称为在长周期运动中，飞机重心时升时降，故称为在长周期运动中，飞机重心时升时降，故称为在长周期运动中，飞机重心时升时降，故称为 浮沉运动浮沉运动 主要是短周期运动主要是短周期运动主要是短周期运动主要是短周期运动 两项系数相当，长短运动都很明显两项系数相当，长短运动都很明显两项系数相当，长短运动都很明显两项系数相当，长短运动都很明显4）关于模态的概念模态模态：运动的基本胎型，是时不变线性系统的固有特性。运动的基本胎型，是时不变线性系统的固有特性。运动的基本胎型，是时不变线性系统的固有特性。运动的基本胎型，是时不变线性系统的固有特性。

41、又称：又称：又称：又称：简正模态；正则模态简正模态；正则模态特性：对某个简正模态，各运动参数的特性：对某个简正模态，各运动参数的特性：对某个简正模态，各运动参数的特性：对某个简正模态，各运动参数的幅值有固定的比例关系幅值有固定的比例关系幅值有固定的比例关系幅值有固定的比例关系，各运动各运动各运动各运动参数之间的相位差也是固定参数之间的相位差也是固定参数之间的相位差也是固定参数之间的相位差也是固定的，并以的，并以的，并以的，并以同一个频率同一个频率同一个频率同一个频率，同一同一同一同一个衰减指数个衰减指数个衰减指数个衰减指数（或增长指数）运动（或增长指数）运动（或增长指数）运动（或增长指数）运动

42、简正模态的含义也指各模态独立：理论上设一种初始条件，简正模态的含义也指各模态独立：理论上设一种初始条件，简正模态的含义也指各模态独立：理论上设一种初始条件，简正模态的含义也指各模态独立：理论上设一种初始条件，只引起某个模态的运动，而不激发其它模态的运动。只引起某个模态的运动，而不激发其它模态的运动。只引起某个模态的运动，而不激发其它模态的运动。只引起某个模态的运动，而不激发其它模态的运动。5）纵向运动的传递函数以以以以升降舵偏转为输入升降舵偏转为输入升降舵偏转为输入升降舵偏转为输入的各个传递函数的各个传递函数的各个传递函数的各个传递函数(油门杆输入情况待后述油门杆输入情况待后述油门杆输入情况待

43、后述油门杆输入情况待后述）令令令令 ，并认为各变量初始条件为零。纵向运动方，并认为各变量初始条件为零。纵向运动方，并认为各变量初始条件为零。纵向运动方，并认为各变量初始条件为零。纵向运动方程式经拉普拉斯变换，得：程式经拉普拉斯变换，得：程式经拉普拉斯变换，得：程式经拉普拉斯变换，得：（一）（一）纵向运动的传递函数纵向运动的传递函数以升降舵偏转增量以升降舵偏转增量以升降舵偏转增量以升降舵偏转增量 为输入，飞行速度增为输入，飞行速度增为输入，飞行速度增为输入，飞行速度增量量量量 为输出的传递函数可以写为两个行列式为输出的传递函数可以写为两个行列式为输出的传递函数可以写为两个行列式为输出的传递函数可

44、以写为两个行列式之比：之比：之比：之比：V传递函数的增益传递函数的增益 V传递函数分子行列式传递函数分子行列式纵向运动特征行列式纵向运动特征行列式长周期运动的阻尼比长周期运动的阻尼比长周期运动的固有频率长周期运动的固有频率短周期运动的阻尼比短周期运动的阻尼比短周期运动的固有频率短周期运动的固有频率 V传递函数的传递系数传递函数的传递系数 V传递函数分子的时间常数传递函数分子的时间常数长周期运动的时间常数长周期运动的时间常数短周期运动的时间常数短周期运动的时间常数同理可写出以升降舵偏转增量同理可写出以升降舵偏转增量同理可写出以升降舵偏转增量同理可写出以升降舵偏转增量 为输入，迎角增为输入，迎角增

45、为输入，迎角增为输入，迎角增量量量量 为输出的传递函数为：为输出的传递函数为：为输出的传递函数为：为输出的传递函数为：传递函数分子行列式传递函数分子行列式 传递函数传递函数的增益的增益同理可写出以升降舵偏转增量同理可写出以升降舵偏转增量同理可写出以升降舵偏转增量同理可写出以升降舵偏转增量 为输入，俯仰角为输入，俯仰角为输入，俯仰角为输入，俯仰角增量增量增量增量 为输出的传递函数为：为输出的传递函数为：为输出的传递函数为：为输出的传递函数为：传递函数分子行列式传递函数分子行列式 传递函数传递函数的增益的增益 一般飞机的一般飞机的一般飞机的一般飞机的 为为为为 两个二次因式之积两个二次因式之积两个

46、二次因式之积两个二次因式之积，分别代表长周期，分别代表长周期，分别代表长周期，分别代表长周期模态（模态（模态（模态（phugoidphugoidphugoidphugoid mode mode mode mode）和短周期模态）和短周期模态）和短周期模态）和短周期模态(short period mode)(short period mode)(short period mode)(short period mode)。以上以上以上以上3 3 3 3个传递函数的分母多项式个传递函数的分母多项式个传递函数的分母多项式个传递函数的分母多项式 即纵向扰即纵向扰即纵向扰即纵向扰动运动的特征多项式。动运动

47、的特征多项式。动运动的特征多项式。动运动的特征多项式。纵向运动的特征方程：纵向运动的特征方程：纵向运动的特征方程：纵向运动的特征方程：即即即即 飞机的特征方程具有下列飞机的特征方程具有下列飞机的特征方程具有下列飞机的特征方程具有下列特点特点特点特点：描述了飞机本身的固有稳定性描述了飞机本身的固有稳定性描述了飞机本身的固有稳定性描述了飞机本身的固有稳定性 特征方程完全取决于飞机本身的特征方程完全取决于飞机本身的特征方程完全取决于飞机本身的特征方程完全取决于飞机本身的构造参数构造参数构造参数构造参数、气动参数气动参数气动参数气动参数和和和和飞行状态飞行状态飞行状态飞行状态，而，而，而，而与初始条件

48、无关与初始条件无关与初始条件无关与初始条件无关（可由特征方程的构成系（可由特征方程的构成系（可由特征方程的构成系（可由特征方程的构成系数看出）数看出）数看出）数看出）根据特征根实部和虚部的不同情况，可以初步根据特征根实部和虚部的不同情况，可以初步根据特征根实部和虚部的不同情况，可以初步根据特征根实部和虚部的不同情况，可以初步分析分析分析分析飞机的飞机的飞机的飞机的扰动运动的基本特性扰动运动的基本特性：当虚部当虚部当虚部当虚部 时，特征根时，特征根时，特征根时，特征根 为为为为一实根一实根一实根一实根，飞机的扰动运动为，飞机的扰动运动为，飞机的扰动运动为，飞机的扰动运动为非周期项非周期项非周期项

49、非周期项 因此，根据特征根的情况，可以判断飞机运动的稳定性！因此，根据特征根的情况，可以判断飞机运动的稳定性！因此，根据特征根的情况，可以判断飞机运动的稳定性！因此，根据特征根的情况，可以判断飞机运动的稳定性！特征方程的根（即特征根）具有下列形式特征方程的根（即特征根）具有下列形式特征方程的根（即特征根）具有下列形式特征方程的根（即特征根）具有下列形式 当虚部当虚部当虚部当虚部 时，特征根时，特征根时，特征根时，特征根 为为为为一对共轭复根一对共轭复根一对共轭复根一对共轭复根，飞机的扰动运动为，飞机的扰动运动为，飞机的扰动运动为，飞机的扰动运动为周期运动周期运动周期运动周期运动 振荡运动 当当

50、当当虚部虚部虚部虚部 时，由于特征根时，由于特征根时，由于特征根时，由于特征根 具有负实部，飞机的具有负实部，飞机的具有负实部，飞机的具有负实部，飞机的扰动运动是稳定的扰动运动是稳定的扰动运动是稳定的扰动运动是稳定的 当当当当虚部虚部虚部虚部 时，由于特征根时，由于特征根时，由于特征根时，由于特征根 具有正实部，飞机的具有正实部，飞机的具有正实部，飞机的具有正实部，飞机的扰动运动是不稳定的扰动运动是不稳定的扰动运动是不稳定的扰动运动是不稳定的 当当当当虚部虚部虚部虚部 且且且且 时，特征根时，特征根时，特征根时，特征根 为纯虚根，飞机的为纯虚根，飞机的为纯虚根，飞机的为纯虚根，飞机的扰动运动为