无穷小的比较无穷小的阶.pptx

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1、一、无穷小的比较一、无穷小的比较例如例如,观察下列极限观察下列极限当当 时时,都是无都是无穷小穷小.不可比不可比.型型极限不同极限不同,反映了无穷小趋向于零的速度的反映了无穷小趋向于零的速度的“快慢快慢”程度不同程度不同.第1页/共26页定义定义:(1)如果如果 则称则称 是比是比高阶高阶的无穷小的无穷小设设 是同一过程中的两个无穷小是同一过程中的两个无穷小,且且记作记作 (2)如果如果 ,则称则称 是比是比 低阶低阶的无穷小；的无穷小；(3)如果如果 ,则称则称 与与 是是同阶同阶的无穷小；的无穷小；特殊地特殊地,如果如果 则称则称 与与 是是等价等价的无穷小；的无穷小；记作 (4)如果如果

2、 ,无穷小；无穷小；则称是的 阶的第2页/共26页例如，因为例如，因为所以当所以当时，时，与与是等价无穷小是等价无穷小即即所以当所以当时，时，是比是比高阶的无穷小高阶的无穷小因为因为即即而而所以当时，所以当时，是是二阶无穷小二阶无穷小第3页/共26页证明证明 因为因为例例1 1 证明：证明：当当时，时，为的三为的三阶无穷小阶无穷小所以所以为为 的三阶无穷小的三阶无穷小第4页/共26页二、等价无穷小代换二、等价无穷小代换定理定理(等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理)证证存在存在则则是同一极限过程的是同一极限过程的无穷小；第5页/共26页几个常见的等价无穷小几个常见的等价无穷小:上述等价无穷小中

3、的上述等价无穷小中的 可以是可以是函数形式函数形式,当当 时时,但在所考虑的极限过程中,此函数的极限应为零.第6页/共26页例例2 2解解例例3 求极限求极限解解 因为因为所以所以有有求求当当时时,第7页/共26页例例4 4解解若未定式的分子或分母为若干个因子的若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积乘积,不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.切记切记:只可对函数的只可对函数的乘积因子乘积因子作无穷小等价代作无穷小等价代换换,注意：注意：则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换,而不会改变原式的极限对于代数和中各无穷小不能分别代换.第8页/共26页解解解解错错例例5 5 求求

4、当当 时时,原式原式原式原式第9页/共26页例例 6 计算计算解解因为因为,所以所以于是于是原式原式第10页/共26页解解 当当 时时,与与 是等价无穷小,则例例7 (0702)第11页/共26页例例8(040210)计算极限计算极限解解 由由 与与 等价等价 得得:原式原式第12页/共26页三、小结三、小结1 1、无穷小的比较、无穷小的比较反映了同一过程中反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速两无穷小趋于零的速度快慢度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行但并不是所有的无穷小都可进行比较比较.2、等价无穷小的代换、等价无穷小的代换:求极限的又一种方法求极限的又一种方法,注意适用条件注意适用条件.高

5、高(低低)阶无穷小阶无穷小;等价无穷小等价无穷小;无穷小的阶无穷小的阶.第13页/共26页练习练习(030104)解解第14页/共26页练习练习解解而而第15页/共26页所以所以第16页/共26页任何两个无穷小都可以比较吗？任何两个无穷小都可以比较吗？思考题思考题第17页/共26页思考题解答思考题解答都是无穷小量但但不存在且不为无穷大不能不能故当故当函数函数不能不能比较比较.第18页/共26页一、填空题：1、2、3、4、练习题练习题第19页/共26页5第20页/共26页第21页/共26页二、求下列极限二、求下列极限(1)(2)(3)(4)第22页/共26页第23页/共26页练习题答案练习题答案第24页/共26页第25页/共26页谢谢您的观看！第26页/共26页