线性代数总复习有有讲解资料.pptx

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1、上页下页结束返回首页一、内 容 提 要 v行列式的性质性质2 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.性质1 行列式与它的转置行列式相等.性质4 对换两行,行列式值反号.性质3 若行列式某一行的元素都是两数之和,则该行拆开,原行列式可以表为相应的两个行列式之和.性质6 把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对应的元素上去,行列式的值不变.性质5 若有两行元素对应成比例,则行列式值为零.设 A,B 为 n 阶矩阵,则有|AB|A|B|.第1页/共62页上页下页结束返回首页一、内 容 提 要 vLaplace 按行列展开定理 行列式等于某一行(列)的元素与其对应的代数余子式乘

2、积之和.即 设 A (aij)为 n 阶方阵,则有第2页/共62页上页下页结束返回首页一、内 容 提 要 v伴随阵 设 A 为 n 阶方阵,Aij 为(i,j)元的代数余子式,记称 A 为方阵 A 的转置伴随阵.v伴随阵的性质 设 A 为 n 阶方阵 A 的伴随阵,则有第3页/共62页上页下页结束返回首页 如果|A|0,那么,称方阵 A 为非奇异矩阵.v逆阵计算公式 非奇异矩阵 A 的逆阵为v逆矩阵 如果存在矩阵 B,使 AB BA E那么,称方阵 A 为可逆的,并称 B 为 A 的逆矩阵.v定理 设 A,B 为 n 阶方阵,若 AB E,则 A,B 可逆,且有一、内 容 提 要 第4页/共6

3、2页上页下页结束返回首页v逆矩阵的性质 设 A,B 为 n 阶可逆矩阵,则有一、内 容 提 要 第5页/共62页上页下页结束返回首页v分块对角阵的性质(3)A 可逆的充分必要条件是 Ai(i=1,s)都可逆,且有一、内 容 提 要 设 Ai(i 1,s)都是方阵,设 A,B 都是方阵,则有第6页/共62页上页下页结束返回首页 矩阵 A 与 B 行等价的充要条件是:存在可逆矩阵 P,使 B PA.矩阵 A 与 B 列等价的充要条件是:存在可逆矩阵 Q,使 B AQ.具体地有一、内 容 提 要 v等价矩阵 如果矩阵 A 经过有限次初等(行,列)变换,化为矩阵 B,就称矩阵 A 与 B(行,列)等价

4、,记为 AB.第7页/共62页上页下页结束返回首页v行最简形矩阵 v行阶梯形矩阵 一、内 容 提 要 第8页/共62页上页下页结束返回首页v矩阵的秩 一、内 容 提 要 如果矩阵 A 的等价标准形为 那么称 F 中单位阵的阶数 r 为矩阵 A 的秩,记为 R(A).性质1 等价矩阵有相等的秩.性质2 性质4 性质3 n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 R(A)n.行阶梯形矩阵的秩为非零行的行数.性质5 第9页/共62页上页下页结束返回首页v矩阵的秩 一、内 容 提 要 如果矩阵 A 的等价标准形为 那么称 F 中单位阵的阶数 r 为矩阵 A 的秩,记为 R(A).性质7 性质8 性质9 若

5、则 性质6 第10页/共62页上页下页结束返回首页 逆矩阵的初等变换求法v矩阵初等变换的应用 线性方程组的最简形解法 将线性方程组的增广矩阵化为行最简形,写出同解方程组,解便一目了然.矩阵方程 AX B,XA B 的初等变换解法一、内 容 提 要 第11页/共62页上页下页结束返回首页(1)当 R(A,b)R(A)时,方程组无解;(2)当 R(A,b)R(A)n 时,方程组有唯一解;(3)当 R(A,b)R(A)n 时,方程组有无穷多解.设 n 元线性方程组 Ax b.n 元方程组 Ax 0 有非零解的充要条件是 R(A)n.AX B 有解的充要条件是 R(A)R(A,B).v线性方程组的可解

6、性定理 当 A为方阵时,Ax 0 有非零解的充要条件是|A|0.一、内 容 提 要 第12页/共62页上页下页结束返回首页v齐次通解结构定理 设 n 元齐次线性方程组 Ax 0 的一个基础解系为x x1,x xn r,其中 r R(A),则 Ax 0 的通解为(k1,kn r 为任意数)v非齐次通解结构定理(k1,kn r 为任意数)设 x h h 是 n 元非齐次线性方程组 Ax b 的一个解(称特解),x x1 1,x xn r 是导出组 Ax 0 的一个基础解系,则 Ax b 的通解为一、内 容 提 要 第13页/共62页上页下页结束返回首页一、内 容 提 要 v线性组合 设有向量组 及

7、向量 如果存在一组数 使那么,称向量 b 为向量组 的一个线性组合,称向量 b 可由向量组 并线性表示.设 矩阵 则线性方程组 Ax b有一组解等价于第14页/共62页上页下页结束返回首页v线性相关性 设有向量组 如果存在一组不全为 0 的数 使那么,称 线性相关.否则,称 线性无关.v基本性质 一、内 容 提 要 (1)若向量 b 可由向量组 a1,am 线性表示,则向量组b,a1,am 线性相关.(2)若部分组线性相关,则整个向量组也线性相关.(3)若向量组线性无关,则任一部分组也线性无关.第15页/共62页上页下页结束返回首页v定理 v线性相关性 设有向量组 如果存在一组不全为 0 的数

8、 使那么,称 线性相关.否则,称 线性无关.一、内 容 提 要 向量组 线性无关的充分必要条件是 a1,am 线性无关,也即向量方程只有零解.第16页/共62页上页下页结束返回首页v向量组的秩 设 A 为一向量组,A 中线性无关向量组所含向量个数的最大值 r,称为向量组 A 的秩,记为 R(A).v向量组的最大无关组 设向量组 A 的秩为 r,如果 a1,ar 为 A 中一个线性无关向量组,那么称 a1,ar 为 A 的一个最大无关组.v最大无关组的性质 设 A 为一向量组,则部分组 a1,ar 为 A 的一个最大无关组的充分必要条件是(2)A 中任一向量可由 a1,ar 线性表示.(1)a1

9、,ar 线性无关;一、内 容 提 要 第17页/共62页上页下页结束返回首页 化矩阵 A 为行最简形 A0,通过观察 A0,便知 A 的列向量组的秩和一个特定的最大无关组,以及 A 的其余列向量在该最大无关组下的线性表示.一、内 容 提 要 v秩与最大无关组的一个算法 例 设 的秩为3,一个最大无关组为则且有 初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系.第18页/共62页上页下页结束返回首页v向量组的线性表示 若向量组 B 中的任一向量都可由向量组 A 中的向量线性表示,就称向量组 B 可由向量组 A 线性表示.一、内 容 提 要 向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充要条件是 若向量组 B 可

10、由向量组 A 线性表示,则 R(B)R(A).v等价向量组 可以相互线性表示的两个向量组,称等价向量组.向量组 A 与向量组 B 等价的充分必要条件是 第19页/共62页上页下页结束返回首页v向量空间 设 Rn 的非空集 V 满足条件：那么,称 V 为一个向量空间.当非空集 V 满足条件(1),(2)时,称 V 对线性运算封闭.(1)若 a V,b V,则 a +b V;(2)若 a V,k R,则 ka V,齐次线性方程组 Ax 0 的解集 S 是一个向量空间.v子空间 设有向量空间 V1 及 V2,若 V1 V2,就称 V1 是 V2 的子空间.当 V1 V2 时,称 V1 是 V2 的真

11、子空间.一、内 容 提 要 第20页/共62页上页下页结束返回首页v向量空间的基和维数 称向量空间 V 的秩为 V 的维数,记为 dim V.称向量空间 V 的任一最大无关组为 V 的一个基.v基的性质 设 V 为一个向量空间,则 V 中向量组 a1,ar 为V 的一个基的充分必要条件是(2)V 中任一向量可由 a1,ar 线性表示.(1)a1,ar 线性无关;n 元齐次线性方程组 Ax 0 的基础解系为解空间S 的一个基,dim S n R(A).一、内 容 提 要 第21页/共62页上页下页结束返回首页v生成空间 设有向量组 A:a1,am,记称 L(A)为由向量组 A 生成的向量空间,简

12、称生成空间.称 a1,am 为生成元.v向量组线性表示的等价说法 设有向量组 A:a1,as,B:b1,bt.则有(1)L(A)为 L(B)的子空间的充分必要条件是 A 组可由B 组线性表示；(2)L(A)L(B)的充分必要条件是 A 组与 B 组等价.一、内 容 提 要 第22页/共62页上页下页结束返回首页v向量在基下的坐标 设 V 为一个 r 维向量空间,则 V 中任意 r 个线性无关向量 a1,ar 为 V 的一个基,且有V 中任一向量 a 可唯一地表示为称(k1,kr)为 a 在基 a1,ar 下的坐标.一、内 容 提 要 第23页/共62页上页下页结束返回首页v过度矩阵一、内 容

13、提 要 设 a1,ar 及 b1,br 是向量空间 V 的两个基,称此关系式为基变换公式.称矩阵 P 为从基 a1,ar 到基 b1,br 的过渡矩阵.过渡矩阵是可逆矩阵.则存在 r 阶矩阵 P,使第24页/共62页上页下页结束返回首页v向量的内积一、内 容 提 要 设有 n 维向量 a (a1,an),b (b1,bn),称 a,b 为向量 a 与 b 的内积.记v向量的范数 称为向量 a 的范数(或长度),记为|a|.若 a,b 0,则称向量 a 与 b 正交.v向量的夹角 非零向量 a 与 b 的夹角为第25页/共62页上页下页结束返回首页v规范正交基一、内 容 提 要 r 维向量空间

14、V 中,任一正交单位向量组 e1,er,称为 V 的一个规范正交基.v正交矩阵 如果 PTP E(P 1 PT),则称方阵 P 为正交矩阵.P 为 n 阶正交阵的充分必要条件是 P 的列(行)向量组为 Rn 的一个规范正交基.v正交变换 若 P 为正交阵,则称线性变换 y Px 为正交变换.正交变换保持向量的内积不变.第26页/共62页上页下页结束返回首页v方阵的特征值一、内 容 提 要 称 n 次多项式|l lE A|为 A 的特征多项式.称 n 次方程|l lE A|0 的根为方阵 A 的特征值.设 l l1,l ln 为 A 的所有特征值,则有v特征值的性质(2)(1)A 的迹,记为tr

15、(A).设 f 是一个多项式,若 l l 为方阵 A 的一个特征值,则 f(l l)为 f(A)的一个特征值.第27页/共62页上页下页结束返回首页v方阵的特征向量一、内 容 提 要 设 l l 为方阵 A 的特征值,称方程组 (l lE A)x 0的任一非零解为方阵 A 对应于特征值 l l 的特征向量.对应于 n 阶矩阵 A 的特征值 l l 有 n R(l lE A)个线性无关的特征向量,v定理 设 l l1,l lm 是方阵 A 的 m 个不相同的特征值,A1,Am 分别为属于 l l1,l lm 的线性无关特征向量组,则由 A1,Am 的并集构成的向量组线性无关.称属于 l l 的线

16、性无关特征向量组.v定理 设 l l1,l lm 是方阵 A 的 m 个不相同的特征值,p1,pm 为对应的特征向量,则 p1,pm 线性无关.第28页/共62页上页下页结束返回首页v相似矩阵一、内 容 提 要 设 A,B 为 n 阶方阵,若存在可逆矩阵 P,使那么,称 B 是 A 的相似矩阵.称 P 为相似变换矩阵.矩阵的相似具有反身性、对称性和传递性.v定理 相似矩阵有相同的特征多项式(特征值).推论 若对角阵 L L 是 A 的相似矩阵,则 L L 以 A 的特征值为对角元素.第29页/共62页上页下页结束返回首页v定理一、内 容 提 要 n 阶方阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是 A

17、 有 n 个线性无关的特征向量.v定理 设 l l 是 n 阶矩阵 A 的 k 重特征值,则v定理 方阵 A 可相似对角化的充分必要条件是 A的每一特征值的几何重数等于代数重数.称 k 为特征值 l l 的代数重数.称 n R(l lE A)为特征值 l l 的几何重数.第30页/共62页上页下页结束返回首页(1)求出 n 阶方阵 A 的所有特征值 l li.一、内 容 提 要 (2)求(l li E A)x 0 的一个基础解系.(3)将求出的 n 个特征向量排成矩阵则v可对角化矩阵的多项式计算 当 P 11AP L L diag(l l1,l ln)时,v方阵相似对角化的算法第31页/共62

18、页上页下页结束返回首页二、典 型 例 题 例例1 设设 a1,a2,a3,b 均为均为3维列向量维列向量,矩阵矩阵A (a1,a2,a3),解B (3a1,2a2,b),且已知行列式且已知行列式 det A 2,det B 6.计算计算 det(3A B)和和 det(3A+B).第32页/共62页上页下页结束返回首页解例2 设 计算知识点第33页/共62页上页下页结束返回首页例3 计算矩阵 A2n 的行列式,其中解第34页/共62页上页下页结束返回首页例4 设且 A2+AB A E,求 A9 和 B.解第35页/共62页上页下页结束返回首页证明 例5 设 A 满足方程 A2+2A E O,证

19、明 A 与 A+3E都可逆,并求它们的逆阵.由 A2+2A E O,得因此 A 可逆,且有因此 A+3E 可逆,且有第36页/共62页上页下页结束返回首页且 AB B+A,求 B.已知 解例6 由 AB B+A,得 第37页/共62页上页下页结束返回首页第38页/共62页上页下页结束返回首页例7 设 求 An.解则有 令 第39页/共62页上页下页结束返回首页知识点问 a 取什么值时,(1)b 可由 a1,a2,a3 线性表示,且表示式唯一;(2)b 可由 a1,a2,a3 线性表示,但表示式不唯一;(3)b 不可由a1,a2,a3线性表示.解 对(A,b)(a1,a2,a3,b)施行初等行变

20、换(1)当a 2 时,R(A,b)R(A)3,b可由a1,a2,a3线性表示,且表示式唯一(因a1,a2,a3线性无关);(2)当 a 2 时,R(A,b)R(A)2,b可由a1,a2,a3线性表示,但表示式不唯一(因a1,a2,a3线性相关);(3)当 a 2 时,R(A,b)R(A),b 不可由 a1,a2,a3 线性表示.例8 设 第40页/共62页上页下页结束返回首页例9 设矩阵A(a1,a2,a3,a4),其中a3,a4线性无关,a3 2a1+a2,a4 3a1+2a2.向量b a1+a2+a3+a4,求方程组 Ax b 的通解.解知识点由a3 2a1+a2,a4 3a1+2a2 知

21、x x1 (2,1,1,0)T,x x2(3,2,0,1)T为方程组 Ax 0 的两个解,又因a3,a4线性无关,所以a3,a4为a1,a2,a3,a4的一个最大无关组,秩 R(A)2.易知 R(x x1,x x2)2 4 R(A),因此 x x1,x x2 为方程组 Ax 0 的一个基础解系.由 b a1+a2+a3+a4 知h h (1,1,1,1)T为方程组 Ax b的一个特解.因此,方程组 Ax b 的通解为且有第41页/共62页上页下页结束返回首页解 且有例10 设(1)求A的列向量组 a1,a2,a3,a4的秩和一个最大无关组,并把其余向量用此最大无关组线性表示;(2)求 Ax 0

22、 的通解.(1)化 A 为行最简形:a1,a2,a3,a4 的秩为2,一个最大无关组为a1,a2,知识点(2)Ax 0 的同解方程组为其中 k1,k2 为任意数.令自由未知元 x3 k1,x4 k2,得 Ax 0 的通解为第42页/共62页上页下页结束返回首页证1 因 Ax xi 0(i 1,n r),上式两边左乘 A 得设存在一组数 x,x1,xn r,使 即(1)而 x x1 1,x xn r 线性无关,因 Ah h 0,所以 代入(1)得 所以 所以 h h,h h+x x1 1,h h+x xn r 线性无关.(2)由(2)得 x 0,例11 设x x1,x xn r 是 Ax 0 的

23、一个基础解系,而h h不是 Ax 0 的解,证明 h h,h h+x x1,h h+x xn r 线性无关.知识点第43页/共62页上页下页结束返回首页若 s r,则向量组 b1,bs 线性相关.设向量 b1,bs 可由向量组 a1,ar 线性表示,定理 设向量组 线性无关,若 线性相关,则向量 b 可由 线性表示.而 x x1 1,x xn r 线性无关,所以 h h,h h+x x1 1,h h+x xn r 线性无关.因 x x1 1,x xn r 的线性组合也是 Ax 0 的解,h h 不可由 x x1 1,x xn r 线性表示,证2 由定理知h h,x x1,x xn r 线性无关

24、,从而易知 h h,h h+x x1,h h+x xn r 与 h h,x x1,x xn r 等价,因此所以例11 设x x1,x xn r 是 Ax 0 的一个基础解系,而h h不是 Ax 0 的解,证明 h h,h h+x x1,h h+x xn r 线性无关.知识点第44页/共62页上页下页结束返回首页证1 例12 设 m n 矩阵 A 的秩 R(A)n,证明 于是存在 m 阶可逆矩阵 P,使 A PF.因此因 R(A)n,可知 A 的等价标准形为(也是行最简形)知识点第45页/共62页上页下页结束返回首页证2 若 x 满足 Bx 0,则有 A(Bx)0,即(AB)x 0;若 x 满足

25、(AB)x 0,则有 A(Bx)0,因为 R(A)n,综上可知(AB)x 0 与 Bx 0 同解,所以 Bx 0.设解空间为 S,则有 n 元方程组 Ax 0 有非零解的充要条件是 R(A)n.n 元齐次线性方程组 Ax 0 的基础解系为解空间S 的一个基,dim S n R(A).例12 设 m n 矩阵 A 的秩 R(A)n,证明 第46页/共62页上页下页结束返回首页解 例13 设(1)求(2)说明 a1,a2 和 a3,a4 为V 的两个基,并求从基 a1,a2 到基 a3,a4 的过渡矩阵.易知故a1,a2 和a3,a4都是V 的基.从基 a1,a2 到基 a3,a4 的过渡矩阵为知

26、识点第47页/共62页上页下页结束返回首页证明 例14 设 a,b 为 n 维(列)向量,证明 并说明其几何意义.以 b 代换 b,得 因此 其几何意义是:平行四边形两对角线的平方和等于四边的平方和.第48页/共62页上页下页结束返回首页解 方阵 A 的特征多项式为例15 求方阵的特征值和特征向量.方阵 A 的特征值为第49页/共62页上页下页结束返回首页解例15 求方阵的特征值和特征向量.当 l l1 3 时,解方程组 由 得基础解系方阵 A 对应于 l l1 3 的全部特征向量为第50页/共62页上页下页结束返回首页解例15 求方阵的特征值和特征向量.当 l l2 l l3 3 l l4

27、4 1 时,解方程组 由 得基础解系方阵 A 对应于 l l2 l l3 3 l l4 4 1 的全部特征向量为(k2,k3,k4 不同时为零)第51页/共62页上页下页结束返回首页解例16 设矩阵 A 与 B 相似,其中(1)因 A 与对角阵 B 相似,知 A 的特征值为 2,2,b.由特征值的性质得求得知识点(1)求常数 a,b;(2)求可逆矩阵 P,使 P 1AP B.(3)求 An.第52页/共62页上页下页结束返回首页解例16 设矩阵 A 与 B 相似,其中(1)求常数 a,b;(2)求可逆矩阵 P,使 P 1AP B.(3)求 An.(2)当 l l 2 时,解方程组(2E A)x

28、 0,得基础解系当 l l 6 时,解方程组(6E A)x 0,得基础解系取可逆矩阵则有 P 1AP B.知识点第53页/共62页上页下页结束返回首页解例16 设矩阵 A 与 B 相似,其中(1)求常数 a,b;(2)求可逆矩阵 P,使 P 1AP B.(3)求 An.(3)A PBP 1,An PBnP 1.第54页/共62页上页下页结束返回首页解例16 设矩阵 A 与 B 相似,其中(1)求常数 a,b;(2)求可逆矩阵 P,使 P 1AP B.(3)求 An.(3)A PBP 1,An PBnP 1.第55页/共62页上页下页结束返回首页证明例17 设 A,B为n阶矩阵,l l 为AB的

29、非零特征值,证明l l 也为 BA 的特征值.存在非零向量 p,使 ABp l l p.于是由 l l 0,p 0,可知 Bp 0.(而 Bp 为对应的特征向量)因此 l l 为 BA 的特征值.第56页/共62页上页下页结束返回首页例18 设矩阵求 a 的值,并讨论 A 可否相似对角化.有一个二重特征值,解方阵 A 的特征多项式为第57页/共62页上页下页结束返回首页解求 a 的值,并讨论 A 可否相似对角化.若 l l 2 是二重特征值,则 l l 2 是的根,求得 a 2.例18 设矩阵有一个二重特征值,R(2E A)1,从而 A 可相似对角化.l l 2 的几何重数为 2,等于代数重数

30、,知识点第58页/共62页上页下页结束返回首页解求 a 的值,并讨论 A 可否相似对角化.若 l l 2 不是二重特征值,则有重根 l l 4,求得 R(4E A)2,从而 A 不可相似对角化.例18 设矩阵有一个二重特征值,l l 4 的几何重数为 1,小于代数重数 2,第59页/共62页人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。第60页/共62页第61页/共62页感谢您的观看！第62页/共62页