线性控制系统数学模型.pptx

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1、2023/3/131系统的数学模型系统数学模型的重要性系统仿真分析必须已知数学模型系统设计必须已知数学模型本课程数学模型是基础系统数学模型的获取建模方法：从已知的物理规律出发，用数学推导的方式建立起系统的数学模型辨识方法：由实验数据拟合系统的数学模型第1页/共90页2023/3/132系统数学模型的分类系统模型非线性线性连续离散混合单变量多变量定常时变第2页/共90页2023/3/133主要内容主要内容线性连续系统的数学模型与线性连续系统的数学模型与MATLAB表示表示线性离散时间系统的数学模型方框图描述系统的化简系统模型的相互转换线性系统的模型降阶线性系统的模型辨识本章要点简介本章要点简介第

2、3页/共90页2023/3/1343.1 3.1 连续线性系统的数学连续线性系统的数学 模型与模型与MATLABMATLAB表示表示线性系统的状态方程模型线性系统的传递函数模型线性系统的零极点模型多变量系统的传递函数矩阵模型第4页/共90页2023/3/135线性连续系统数学模型及MATLAB 表示线性系统的传递函数模型 为阶次，为常数，物理可实现第5页/共90页2023/3/136传递函数的引入 Pierre-Simon Laplace (1749-1827)，法国数学家 Laplace变换 Laplace变换的一条重要性质：若 则第6页/共90页2023/3/137传递函数表示数学方式MA

3、TLAB输入语句第7页/共90页2023/3/138传递函数可以表示成两个多项式的比值，在matlab中，多项式可以用向量表示。将多项式的系数按s降幂次序排列可以得到一个数值向量，用这个向量就可以表示多项式。分别表示完分子和分母后，再利用控制系统工具箱函数tf（）就可以用一个变量表示传递函数模型。第8页/共90页2023/3/139传递函数输入举例例3-1 输入传递函数模型MATLAB输入语句 在MATLAB环境中建立一个变量 G第9页/共90页2023/3/1310显示结果为：Transfer function:12 s3+24 s2+12 s+20-2 s4+4 s3+6 s2+2 s+2

4、第10页/共90页2023/3/1311另外一种传递函数输入方法例3-2 如何处理如下的传递函数？定义算子 ，再输入传递函数第11页/共90页2023/3/1312Maltab显示为：Transfer function:3 s2+9-s7+8 s6+30 s5+78 s4+153 s3+198 s2+140 s+40第12页/共90页2023/3/1313采用上面第一种方法很容易输入，方法真直观，但如果分子或分母多项式给出的不是完全的展开式，而是若干个因式的乘积，则事先需要将其变换为完全展开式的形式，两个多项式的乘积在matlab中可以用conv（）函数得出：pconv（p1，p2）其中p1和

5、p2是两个多项式，调用这个函数就能返回多项式乘积p如果有3个多项式的乘积，就需要嵌套使用此函数。第13页/共90页2023/3/1314conv的嵌套使用p=conv(p1,conv(p2,p3)或者p=conv(conv(p1,p2），p3)例如上面的例子：num=3*1 0 3;den=conv(conv(conv(conv(1 2 1,1 0 5),1 2),1 2),1 2);G=tf(num,den)第14页/共90页2023/3/1315MATLAB的传递函数对象第15页/共90页2023/3/1316传递函数属性修改例3-4 延迟传递函数 ，即若假设复域变量为 ，则第16页/共9

6、0页2023/3/1317传递函数参数提取由于使用单元数组，直接用 不行有两种方法可以提取参数这样定义的优点：可以直接描述多变量系统第 i 输入对第 j 输入的传递函数第17页/共90页2023/3/1318线性系统的状态方程模型状态方程模型状态变量 ，阶次 n，输入和输出非线性函数：一般非线性系统的状态方程描述第18页/共90页2023/3/1319线性状态方程时变模型线性时不变模型(linear time invariant,LTI)第19页/共90页2023/3/1320线性时不变模型的MATLAB描述MATLAB 输入方法 矩阵是 方阵，为 矩阵 为 矩阵，为 矩阵可以直接处理多变量模

7、型给出 矩阵即可注意维数的兼容性第20页/共90页2023/3/1321获取状态方程对象参数可以使用ssdata（）函数A,B,C,D=ssdata(G)或者使用G.a命令提取A矩阵。第21页/共90页2023/3/1322例3-5第22页/共90页2023/3/1323带时间延迟的状态方程数学模型MATLAB输入语句其他延迟属性：ioDelay第23页/共90页2023/3/1324线性系统的零极点模型零极点模型是因式型传递函数模型零点 、极点 和增益零极点模型的 MATLAB表示第24页/共90页2023/3/1325例3-5 零极点模型MATLAB输入方法另一种输入方法第25页/共90页

8、2023/3/1326Matlab显示结果：Zero/pole/gain:6(s+5)(s2 +4s+8)-(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)注意，在零极点模型显示中，如果有复数零极点存在，则用二阶多项式来表示两个因式，而不直接展成复数的一阶因式。第26页/共90页2023/3/1327获得零极点模型之后，可以给出pzmap（）命令在复数平面上表示出该系统的零极点位置，用表示极点位置，用o表示零点位置。第27页/共90页2023/3/1328多变量系统传递函数矩阵模型传递函数矩阵 为第 i 输出对第 j 输入的传递函数可以先定义子传递函数，再由矩阵定义第28页/共90页2023/3/13

9、29例3-7 多变量模型第29页/共90页2023/3/13303.2 线性离散时间系统的数学模型单变量系统：差分方程取代微分方程主要内容离散传递函数离散状态方程第30页/共90页2023/3/1331离散传递函数模型数学表示（Z变换代替Laplace变换）MATLAB表示（采样周期 ）算子输入方法：第31页/共90页2023/3/1332例3-8 离散传递函数，采样周期MATLAB输入方法另一种输入方法第32页/共90页2023/3/1333显示结果Transfer function:6 z2-0.6 z-0.12-z4-z3+0.25 z2+0.25 z-0.125 Sampling ti

10、me:0.1第33页/共90页2023/3/1334离散延迟系统与输入数学模型延迟为采样周期的整数倍MATLAB输入方法第34页/共90页2023/3/1335H.iodelay=2 Transfer function:6 z2-0.6 z-0.12z(-2)*-z4-z3+0.25 z2+0.25 z-0.125 Sampling time:0.1第35页/共90页2023/3/1336set(H,ioDelay,3)H Transfer function:6 z2-0.6 z-0.12z(-3)*-z4-z3+0.25 z2+0.25 z-0.125 Sampling time:0.1第3

11、6页/共90页2023/3/1337滤波器型描述方法滤波器型离散模型分子、分母除以记 ，则第37页/共90页2023/3/1338MATLAB表示方法例3-9第38页/共90页2023/3/1339H=zpk(z,p,1/120,Ts,0.1)Zero/pole/gain:0.0083333(z-0.5)(z2 -z+0.5)-(z+0.5)(z+0.3333)(z+0.25)(z+0.2)Sampling time:0.1第39页/共90页2023/3/1340H=zpk(z,p,1/120,Ts,0.1,variable,q)Zero/pole/gain:0.0083333 q(1-0.5

12、q)(1 -q+0.5q2)-(1+0.5q)(1+0.3333q)(1+0.25q)(1+0.2q)Sampling time:0.1第40页/共90页2023/3/1341离散状态方程模型数学形式注意兼容性MATLAB表示方法第41页/共90页2023/3/1342离散延迟系统的状态方程数学模型MATLAB表示方法第42页/共90页2023/3/13433.3 方框图描述系统的化简单环节模型前面已经介绍了实际系统为多个环节互连，如何解决互连问题，获得等效模型？主要内容控制系统的典型连接结构节点移动时的等效变换复杂系统模型的简化第43页/共90页2023/3/1344控制系统的典型连接结构系

13、统串、并联串联传递函数 并联传递函数第44页/共90页2023/3/1345串、并联状态方程模型串联系统的状态方程并联系统的状态方程第45页/共90页2023/3/1346串、并联系统的MATLAB求解若一个模型为传递函数、另一个为状态方程，如何处理？将二者变换成同样结构再计算基于MATLAB的计算方法串联 注意次序：多变量系统并联优点，无需实现转换第46页/共90页2023/3/1347系统的反馈连接反馈连接正反馈负反馈第47页/共90页2023/3/1348状态方程的反馈等效方法其中若第48页/共90页2023/3/1349反馈连接的MATLAB求解LTI 模型符号运算(置于sym目录)第

14、49页/共90页2023/3/1350例3-10 第50页/共90页2023/3/1351显示结果Transfer function:60 s5+60156 s4+156132 s3+132136 s2+136060 s+60000-2 s6+2004 s5+64006 s4+162002 s3+134002 s2+138000 s+60000 第51页/共90页2023/3/1352例3-11控制器为对角矩阵反馈矩阵H为单位矩阵第52页/共90页2023/3/1353第53页/共90页2023/3/1354eye（）函数EYE(N)is the N-by-N identity matrix.

15、EYE(M,N)or EYE(M,N)is an M-by-N matrix with 1s on the diagonal and zeros elsewhere.EYE(SIZE(A)is the same size as A.第54页/共90页2023/3/1355Gc=g11,0;0,g22Transfer function from input 1 to output.2 s+1#1:-s#2:0 Transfer function from input 2 to output.#1:0 5 s+2#2:-s第55页/共90页2023/3/1356GG=feedback(G*Gc,H

16、)Transfer function from input 1 to output.12 s4+30 s3+24 s2+26 s+10#1:-s5+14 s4+33 s3+25 s2+27 s+10#2:0 Transfer function from input 2 to output.#1:0 30 s4+72 s3+54 s2+62 s+20#2:-s5+32 s4+75 s3+55 s2+63 s+20第56页/共90页2023/3/1357节点移动时的等效变换考虑模型难点：A点在回路间，移至输出端第57页/共90页2023/3/1358节点移动第58页/共90页2023/3/1359

17、复杂系统模型的简化例3-12 原系统可以移动新支路模型第59页/共90页2023/3/1360得出第60页/共90页2023/3/1361G=feedback(C2*G1,H1)G=G2*G4*G3*G1/(1+G4*G3*H3+G3*G2*H2+G2*G4*G3*G1*H1)第61页/共90页2023/3/1362pretty(G)G2 G4 G3 G1-1+G4 G3 H3+G3 G2 H2+G2 G4 G3 G1 H1PRETTY(S)prints the symbolic expression S in a format that resembles type-set mathemat

18、ics第62页/共90页2023/3/1363例3-13 电机拖动模型 第63页/共90页2023/3/1364collect()函数f=-1/4*x*exp(-2*x)+3/16*exp(-2*x)；collect(f,exp(-2*x)(-1/4*x+3/16)*exp(-2*x)第64页/共90页2023/3/1365 信号单独输入得出另一个传递函数第65页/共90页2023/3/1366Simplify()函数simplify(sin(x)2+cos(x)2)显示结果为1第66页/共90页2023/3/1367最终得出传递函数矩阵第67页/共90页2023/3/13683.4 系统模型

19、的相互转换前面介绍的各种模型之间的相互等效变换主要内容连续模型和离散模型的相互转换系统传递函数的获取控制系统的状态方程实现状态方程的最小实现传递函数与符号表达式的相互转换第68页/共90页2023/3/1369连续模型和离散模型的相互转换连续状态方程的解析阶采样周期选择第69页/共90页2023/3/1370这样可以得出离散模型记则可以得出离散状态方程模型MATLAB函数直接求解第70页/共90页2023/3/1371还可以采用Tustin变换（双线性变换）例3-14 双输入模型，第71页/共90页2023/3/1372输入模型、变换第72页/共90页2023/3/1373模型第73页/共90

20、页2023/3/1374例3-15 时间延迟系统的离散化MATLAB求解零阶保持器变换变换结果第74页/共90页2023/3/1375Tustin变换数学表示其他转换方法FOH 一阶保持器matched 单变量系统零极点不变imp 脉冲响应不变准则第75页/共90页2023/3/1376离散模型连续化对前面的变换求逆Tustin反变换MATLAB求解(无需 )第76页/共90页2023/3/1377例3-16 对前面的连续状态方程模型离散化，对结果再连续化，则 可以基本上还原连续模型第77页/共90页2023/3/1378系统传递函数的获取已知状态方程两端Laplace变换则第78页/共90页

21、2023/3/1379因此可以得出传递函数难点基于Fadeev-Fadeeva算法能得出更好结果由零极点模型，直接展开分子分母用MATLAB统一求解第79页/共90页2023/3/1380例3-17 多变量模型，求传递函数矩阵第80页/共90页2023/3/1381控制系统的状态方程实现由传递函数到状态方程的转换不同状态变量选择，结果不唯一默认变换方式，采用MATLAB函数G可以是传递函数、状态方程和零极点模型适用于有延迟的、离散的或多变量模型第81页/共90页2023/3/1382例3-18 连续多变量模型状态方程获取第82页/共90页2023/3/1383得出的状态方程模型ioDelay矩

22、阵第83页/共90页2023/3/1384该模型可以转换回传递函数矩阵得出的转换结果第84页/共90页2023/3/1385状态方程的最小实现例3-19 观察传递函数模型未见有何特殊求取零极点模型第85页/共90页2023/3/1386得出结果相同位置的零极点，可以对消问题：状态方程如何处理？MATLAB解决方法Gm=minreal(G)第86页/共90页2023/3/1387MSYS=MINREAL(SYS)produces,for a given LTI model SYS,an equivalent model MSYS where all cancelling pole/zero pairs or non minimal state dynamics are eliminated.For state-space models,MINREAL produces a minimal realization MSYS of SYS where all uncontrollable or unobservable modes have been removed.第87页/共90页2023/3/1388例3-20 多变量模型不能直接看出是否最小实现第88页/共90页2023/3/1389MATLAB求解第89页/共90页2023/3/1390感谢您的观看！第90页/共90页