统计物理学基础.pptx

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1、玻耳兹曼麦克斯韦第1页/共104页4-1 平衡态 温度 理想气体状态方程一、基本概念及研究方法1、基本概念物质由大量分子组成。分子在不停地、无规则地运动，剧烈程度与物体的温度有关。分子间有相互作用力。第2页/共104页分子之间存在相互作用力-分子力。为斥力且 减小时f 急剧增加为平衡态，f=0为吸引力且增加时f 先增再减少注意 d 可视为分子力程；数量级在10-10-10-8m数量级，可看为分子直径（有效直径）。分子力是电性力，远大于万有引力。fd第3页/共104页2、研究方法单个分子仍遵守力学规律大量分子进行统计平均。统计平均大量同性质偶然事件的整体所具有的规律。统计规律特点:（1）只对大量

2、偶然的事件才有意义.（2）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变).(3)大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。第4页/共104页从入口投入小球与钉碰撞落入狭槽为清楚起见,从正面来观察。(偶然)隔板铁钉统计规律和方法 伽尔顿板第5页/共104页 大量偶然事件整体所遵循的规律 统计规律。再投入小球：经一定段时间后,大量小球落入狭槽。分布情况：中间多，两边少。重复几次，结果相似。单个小球运动是随机的,大量小球运动分布是确定的。小球数按空间位置 分布曲线统计规律和方法 伽尔顿板第6页/共104页二、统计的基本概念1、概率如果N次试验中出现A事件的次数为NA,当N时，比值NA/N称为出现A事件的概率。

3、概率的性质:(1)概率取值域为第7页/共104页(2)各种可能发生的事件的概率总和等于1.几率归一化条件(3)二互斥事件的概率等于分事件概率之和(4)二相容事件的概率等于分事件概率之积第8页/共104页2、概率分布函数随机变量在一定条件下,变量以确定的概率取各种不相同的值。离散型随机变量取值有限、分立表示方式 连续型随机变量取值无限、连续第9页/共104页随机变量X的概率密度变量取值在x x+dx间隔内的概率概率密度等于随机变量取值在单位间隔内的概率。又称为概率分布函数（简称分布函数）。第10页/共104页3、统计平均值算术平均值为统计平均值为 随机变量的统计平均值等于一切可能状态的概率与其相

4、应的取值 乘积的总和。对于离散型随机变量第11页/共104页对于连续型随机变量统计平均值为“涨落”现象-测量值与统计值之间总有偏离 处在平衡态的系统的宏观量，如压强P，不随时间改变，但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样，分子数越多，涨落就越小。布朗运动是可观测的涨落现象之一。第12页/共104页三、平衡态1、热力学系统（热力学研究的对象）：大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏观物体。外界：热力学系统以外的物体。系统分类1（按系统与外界交换特点）：孤立系统：与外界既无能量又无物质交换封闭系统：与外界只有能量交换而无物质交换开放系统：与外界既有能量交换又有物质交换第13页/共104页系

5、统分类2（按系统所处状态）：平衡态系统非平衡态系统2、热平衡态 在无外界的影响下，不论系统初始状态如何，经过足够长的时间后，系统的宏观性质不随时间改变的稳定状态。平衡条件:(1)系统与外界在宏观上无能量和物质的交换，(2)系统的宏观性质不随时间改变。第14页/共104页箱子假想分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。例如：粒子数说明：平衡态是一种理想状态 处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞，每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间改变。平衡态是一种热动平衡第15页/共104页4、对热力学系统的描述：宏观量状态参量 平衡态下描述宏观属性的相互

6、独立的物理量。如 压强 p、体积 V、温度 T 等。微观量 描述系统内个别微观粒子特征的物理量。如分子的质量、直径、速度、动量、能量等。微观量与宏观量有一定的内在联系。3、非平衡态 不具备两个平衡条件之一的系统。第16页/共104页四、理想气体状态方程理想气体当系统处于平衡态时，各个状态参量之间 的关系式。定义：第17页/共104页例、氧气瓶的压强降到106Pa即应重新充气，以免混入其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为32L，压强为107Pa，若每天用105Pa的氧气400L，问此瓶氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。解:根据题意，可确定研究对象为原来气体、用去气体和剩余气体，设这三部分气

7、体的状态参量分别为使用时的温度为T设可供 x 天使用原有每天用量剩余第18页/共104页分别对它们列出状态方程，有第19页/共104页例、若理想气体的体积为V，压强为P，温度为T，一个分子的质量为m。则该理想气体的分子数为多少？解：五、理想气体的微观假设1、理想气体的分子模型分子可以看作质点除碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。分子间的碰撞是完全弹性的。理想气体的分子模型是弹性的自由运动的质点。遵从力学规律第20页/共104页每个分子速度各不相同，且通过碰撞不停地改变。气体的性质与方向无关，即在各个方向上速率的各种平均值相等。忽略重力作用，按位置分布是均匀的。2、理想气体的分子性质平衡态下：注意

8、：是速度平均值相同第21页/共104页4-2 理想气体的压强公式每个分子对器壁的作用所有分子对器壁的作用单位时间内的冲量理想气体的压强公式一、理想气体的压强公式1、基本思路第22页/共104页2、理想气体的压强公式的推导平衡态下器壁各处压强相同，选dA面求其所受压强。一定质量的处于平衡态的某种理想气体。第23页/共104页i分子动量增量i分子对器壁的冲量单位时间内对器壁的冲量按速度分布均匀具有 速率的分子对器壁的冲力为第24页/共104页所有分子对dA面的平均作用力压强分子的平均平动动能3、压强的统计意义压强是大量分子在单位时间内对器壁单位面积上的平均冲力，是大量分子的集体行为的统计平均量，单

9、个分子无压强。第25页/共104页二、温度的统计解释温度是气体分子平均平动动能大小的量度1、平均平动动能与温度的关系玻尔兹曼常量 T是大量分子热运动剧烈程度的度量，平均平动动能是T的单值函数。第26页/共104页例、（1）在一个装有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加热，使它的温度从270C升到1770C，体积减少一半，求气体压强变化多少？（2）这时气体分子的平均平动动能变化多少？解：第27页/共104页2、温度的统计意义温度的实质：物质内部分子作热运动剧烈程度的度量。对于单个分子只有 ，绝无T 是温度T的单值函数，只在平衡态下成立。第28页/共104页大量分子速率的平方平均值的平

10、方根 气体分子的方均根速率与气体的热力学温度的平方根成正比，与气体的摩尔质量的平方根成反比。三、气体分子的方均根速率第29页/共104页1、自由度 i确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例四、能量均分定理 第30页/共104页双原子分子单原子分子平动自由度t=3平动自由度t=3转动自由度r=2三原子分子平动自由度t=3转动自由度r=3第31页/共104页2、能量均分定理气体分子沿 x,y,z 三个方向运动的平均平动动能完全相等，可以认为分子的平均平动动能 均匀分配在每个平动自由度上。注意：统计结果，通过碰撞实现，平衡态下成立。第32页/共104页

11、平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可能自由度的平均动能都是能量按自由度均分定理如果某种气体的分子有 t 个平动自由度,r 个转动自由度,s 个振动自由度.则分子具有：平均平动动能平均转动动能平均振动动能注意：对应分子的一个振动自由度，除有一份 振动的动能外，还有一份平均势能。第33页/共104页结论：分子的平均总能量 对刚性分子：气体分子无振动，则分子的平均动能为单原子：多原子：双原子：对气、液、固体均成立第34页/共104页五、理想气体的内能分子间相互作用可以忽略不计分子间相互作用的势能=0理想气体的内能=所有分子的热运动动能之总和1mol 理想气体的内能为一定质量理想气体的内能为温度改变

12、，内能改变量为第35页/共104页例、就质量而言，空气是由76的N2，23的O2和1的Ar三种气体组成，它们的分子量分别为28、32、40。空气的摩尔质量为10-3kg，试计算1mol 空气在标准状态下的内能。解：在空气中N2质量摩尔数O2质量摩尔数第36页/共104页Ar质量摩尔数1mol 空气在标准状态下的内能第37页/共104页 平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。温度和压强都涉及到分子的平均动能，即有必要研究一下分子速率的规律。这个规律早在1859年由麦克斯韦应用统计概念从理论上推导出来，尔后被实验证实

13、。4-3 麦克斯韦分子速率分布率一、分子速率分布的实验测定第38页/共104页测定分子速率分布的实验装置圆筒不转，分子束的分子都射在P 处圆筒转动，分子束的速率不同的分子将射在不同位置第39页/共104页兰媚尔实验（装置置于真空之中）实验装置淀积屏P速率筛SWW狭缝屏分子源第40页/共104页下面列出了Hg分子在某温度时不同速率的分子数占总分子的百分比。90以下6.290-140140-190190-240240-290290-340340-390390以上10.3218.9322.718.312.86.24.0第41页/共104页实验数据的图示化6.2%10.32%18.93%22.7%18

14、.3%12.8%6.2%4.0%0 90 140 190 240 290 340 390 第42页/共104页二、气体分子的速率分布 分布函数1、速率分布将速率分成若干个小区间，某一区间上的分子数占总分子数的百分比即是速率分布。总分子数区间上的分子数区间的分子数占总分子数的百分比速率分布第43页/共104页面积大小代表速率v附近dv区间内的分子数占总分子数的比率第44页/共104页物理意义：附近，单位速率间隔上的分子数占总分子数的百分比。讨论：若 为已知 附近，区间上的分子数为 区间上的分子数为占总分子数的百分比为归一化条件2、速率分布函数第45页/共104页三、麦克斯韦速率分布规律 理想气体

15、处于平衡态且无外力场时，速率分布函数为一个分子处于 区间内的概率麦克斯韦速率分布函数第46页/共104页麦克斯韦速率分布曲线f(v)f(vp)vvpvv+dvv1v2dNN面积=出现在vv+dv区间内的概率分子出现在v1v2区间内的概率曲线下的总面积恒等于1第47页/共104页讨论：最概然速率与分布函数 的极大值相对应的速率物理意义：它表示将 分成若干个小区间，所在的区间上的分子数占总分子数的百分比最大。极值条件显然多数分子速率不大多数分子速率大第48页/共104页第49页/共104页f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T2温度越高，分布曲线中的最概然速率 增大，但归一化

16、条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线宽度增大，高度降低第50页/共104页1273K273K73Kf(v)50010001500vO2氧气分子分布函数和温度的关系第51页/共104页分子质量越大，分布曲线中的最概然速率vp越小，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线宽度减小，高度升高。f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)第52页/共104页1、最概然速率2、平均速率大量分子速率的统计平均值四、分子速率的三个统计值对于连续分布的所有分子在麦氏分布下所有分子的平均速率第53页/共104页3、方均根速率大量分子速率的平方平均值的平方根在 区间第54页/共104页都与 成正比，

17、与 （或 ）成反比f(v)v第55页/共104页(n 为分子数密度)说明下列各量的物理意义：思考思考题题第56页/共104页解：分布在速率 v 附近 v v+dv 速率区间内的分子数占总分子数的比率。分布在速率 v 附近 v v+dv 速率区间内的分子数。单位体积内分子速率分布在速率 v 附近 v v+dv 速率区间内的分子数。第57页/共104页 分布在有限速率区间v1 v2 内的分子数占总分子数的比率。分布在有限速率区间 v1 v2 内的分子数。分布在 0 速率区间内的分子数占总分子数的比率。（归一化条件）v2 的平均值。第58页/共104页例 设想有N个气体分子，其速率分布函数为试求:(

18、1)常数A；(2)最可几速率，平均速率和方均根速率；(3)速率介于0v0/3之间的分子数；(4)速率介于0v0/3之间的气体分子的平均速率。解：(1)气体分子的分布曲线如图由归一化条件第59页/共104页(2)最可几速率由决定，即平均速率方均速率方均根速率为第60页/共104页(3)速率介于0v0/3之间的分子数(4)速率介于0v0/3之间的气体分子平均速率为第61页/共104页o(m/s)f()2000 例：如图，两条曲线分别是同温度下的H2和O2 的麦克斯韦速率分布曲线。求解：第62页/共104页例：求速率在 与1.01 之间的气体分子数占总分子数的百分比。设氢气的温度为300C，求速率在

19、 到 之间的分子数 与速率在 到 之间的分子数 之比。解：设速率在 与 之间的分子数为第63页/共104页第64页/共104页第65页/共104页第66页/共104页4-4 玻耳兹曼分布律一、麦克斯韦速率分布率的缺憾1、不考虑外力场的作用2、只考虑速率空间分子的分布，不能给出位置空间的分布3、没有考虑速度的方向第67页/共104页二、麦克斯韦速度分布律取一速度空间，坐标轴为在v 附近，dv 区间上的分子即是处在一个半径为v，厚度为dv的速度球壳上的分子，其上任一分子的速度为球壳的体积为其上分子数占总分子数的百分比为第68页/共104页麦克斯韦速度分布函数速度空间单位体积内的分子数占总分子数的比

20、率，即速度概率密度（气体分子速度分布函数）第69页/共104页若气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中气体分子在空间位置不再呈均匀分布气体分子分布规律如何三、玻耳兹曼分布律该区间上分子数为第70页/共104页1、在位置空间dxdydz上的分子数设：是 附近的所有的分子数dN是容器的体积具有 的分子在容器中的分子数密度为按位置分布是均匀的任一点 附近，dxdydz区间上具有 速度的分子数第71页/共104页如气体分子处于外力场中，分子能量 E=Ep+Ek分子势能在麦克斯韦速度分布律中，因子分子动能理想气体分子仅有动能麦克斯韦速度分布可以看作是无外场中分子数按能量的分布2、麦克斯韦玻耳兹曼分布第7

21、2页/共104页玻耳兹曼将麦氏分布推广为：在温度为T 的平衡态下，任何系统的微观粒子（经典粒子）按能量分布都与 成正比。玻耳兹曼因子经典粒子按能量的分布函数为：麦克斯韦玻耳兹曼分布（MB分布）第73页/共104页3、玻耳兹曼分布律外力场中，粒子分布不仅按速率区间vv+dv分布，还应按位置区间xx+dx、yy+dy、zz+dz分布该区间内的粒子数为：玻耳兹曼分布律其中：为势能等于零处的分子数密度讨论：E包括动能、势能及其他能量能量越低的粒子出现的概率越大，随着能量升高，粒子出现的概率按指数减小。第74页/共104页只有势能时的玻尔兹曼分布+在 附近，区间上所有速率的分子数为+适用于气体及各种相互

22、作用微弱的实物粒子在保守场中的运动第75页/共104页则分子数密度粒子数按势能分布 按近代理论，粒子所具有的能量在有些情况下只能取一系列分立值E1,E2,Ei,EN 能级处于Ei状态的粒子数常数对于两个任意能级在正常状态下，粒子总是优先占据低能级状态。粒子数分布服从玻尔兹曼分布第76页/共104页四、重力场中粒子按高度的分布由气体状态方程重力场中粒子按高度的分布规律式中P0为h=0 处的大气压强，P为h 处的大气压强，m 是大气分子质量。第77页/共104页大气密度和压强随高度增加按指数规律减小（高空空气稀薄，气压低）两边取对数测知地面和高空处的压强与温度，可估算所在高空离地面的高度。恒温气压

23、公式第78页/共104页例 氢原子基态能级E1=-eV，第一激发态能级E2=-eV，求出在室温T=270C时原子处于第一激发态与基态的数目比。解：在室温下，氢原子几乎都处于基态。第79页/共104页4-5 范徳瓦尔斯方程范徳瓦尔斯方程是对理想气体的模型的修正1摩尔理想气体的状态方程V0分子自由活动空间.理想气体分子是没有体积的质点，故v0等于容器的体积。(1)考虑分子体积引起的修正,理想气体状态方程的修正为可估算V0为气体所占容积,V0-b为分子自由活动空间第80页/共104页(2)进一步考虑分子间引力引起的修正r r0 斥力r r0 引力r R 几乎无相互作用 R称为分子力的有效作用距离R=

24、r0 无相互作用.r0称为平衡距离 当两个分子彼此接近到r r0时斥力迅速增大，阻止两个分子进一步靠近，宛如两个分子都是具有一定大小的球体。d0fRrr0第81页/共104页设想：气体中任一分子都有一个以其为中心，以R为半径的力作用球，其它分子只有处于此球内才对此分子有吸引作用。处于容器当中的分子,平衡态下，周围的分子相对于球对称分布，它们对的引力平均说来相互抵消。Rd处于器壁附近厚度为R的表层内的分子,的力作用球被器壁切割为球缺，周围分子的分布不均匀，使平均起来受到一个指向气体内部的合力，第82页/共104页这层气体分子由于受到指向气体内部的力所产生的总效果相当于一个指向内部的压强，叫内压强

25、 P。所以，考虑引力作用后，气体分子实际作用于器壁并由实验可测得的压强为Rd所有运动到器壁附近要与器壁相碰的分子必然通过此区域，则指向气体内部的力，将会减小分子撞击器壁的动量，从而减小对器壁的冲力。第83页/共104页 P的相关因素 P表面层分子受到内部分子的通过单位面积的作用力与表面层分子（类似）的数密度 n 成正比与施加引力的内部分子的数密度 n 成正比 或将气体分子视为有吸引力刚球时1摩尔气体范德瓦尔斯方程第84页/共104页a、b由实验确定。实际气体在很大范围内近似遵守范德瓦尔斯方程。如果气体质量为M,则其体积为质量为M气体的范德瓦尔斯方程为:第85页/共104页 当系统各部分的宏观物

26、理性质如密度、温度或流速不均匀时，系统就处于非平衡态.在不受外界干扰时,系统总是要从非平衡态自发地过渡到平衡态.这种过渡称为输运过程.4-6 气体的输运过程输运过程有三种热传导、扩散、内摩擦.第86页/共104页一、分子的平均碰撞次数和平均自由程氮气分子在270C时的平均速率为476m.s-1.矛盾气体分子热运动平均速率高，但气体扩散过程进行得相当慢。克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。气体分子平均速率第87页/共104页在相同的 t时间内，分子由A到B的位移大小比它的路程小得多扩散速率(位移量/时间)平

27、均速率(路程/时间)分子自由程:气体分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。分子碰撞次数:在单位时间内一个分子与其他分子碰撞的次数。第88页/共104页 大量分子的分子自由程与每秒碰撞次数服从统计分布规律。可以求出平均自由程和平均碰撞次数。假定每个分子都是有效直径为d 的弹性小球。只有某一个分子A以平均速率 运动，其余分子都静止。1、平均碰撞次数Adddvv第89页/共104页Adddvv运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子将与分子A 碰撞球心在圆柱体内的分子一秒钟内:分子A经过路程为相应圆柱体体积为圆柱体内分子数一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数第90页/共104页一切分子都在运动一秒

28、钟内分子A经过路程为一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数平均自由程与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比当温度恒定时,平均自由程与气体压强成反比2、平均自由程第91页/共104页在标准状态下，几种气体分子的平均自由程气体 氢 氮 氧 空气例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰撞频率。取分子的有效直径 d 10-10 m。已知空气的平均分子量为29。解：已知第92页/共104页空气摩尔质量为2910-3kg/mol空气分子在标准状态下的平均速率第93页/共104页二、三种输运过程1.内摩擦流体内各部分流动速度不同时,就发生内摩擦现象.相邻流体层之间由于速度不同引起的相互作用力称为内摩擦

29、力,也叫粘滞力.流体沿x 方向流速是z 的函数流速梯度沿z 方向所出现的流速空间变化率。第94页/共104页粘滞力的大小与两部分的接触面dS和截面所在处的流速梯度成正比。内摩擦系数或粘度,恒为正值.2.热传导(heat conduction)当系统内各部分的温度不均匀时，就有热量从温度较高的地方传递到温度较低的地方，由于温差而产生的热量传递现象。第95页/共104页温度梯度表示流体中温度沿z轴方向的空间变化率。在dt时间内，从温度较高的一侧，通过这一平面向温度较低的一侧所传递的热量，与这一平面所在处的温度梯度和面积元成正比热导率恒为正值 能量流动方向与温度梯度方向相反第96页/共104页3.扩

30、散(diffusion)物体内各部分的密度不均匀时，由于分子的热运动，从而引起质量从密度大的区域向密度小的区域迁移的现象。密度梯度表示气体的密度沿x 轴方向的空间变化率。在dt时间内，通过dS传递的质量第97页/共104页三、输运过程的微观解释1.气体的内摩擦现象在微观上是分子在热运动中的输运定向动量的过程.也就是分子在热运动中通过dS面交换定向动量的结果.可认为气体处于平衡态宏观流速分子热运动平均速率如果第98页/共104页在dt时间内从下向上垂直越过dS面的平均气体分子数:分子数密度根据分子热运动的各向同性,总分子中平均有 的分子从下向上垂直越过dS面.它们离dS面的平均距离为平均自由程

31、,所以在dt时间内,由于分子热运动从下向上带过dS面的定向动量等于分子处于 的定向动量这些分子是经过最后一次碰撞越过dS面的,第99页/共104页处的定向动量同理,在dt时间内,由于分子热运动从上向下带过dS面的定向动量可得dS面上方气体的定向动量增量第100页/共104页内摩擦力第101页/共104页2.气体内的热传导在微观上是分子在热运动中的输运热运动能量的过程.热导率气体定容比热3.气体内的扩散在微观上是分子在热运动中输运质量的过程.扩散系数温度越高,气压越低,扩散进行得越快.在其它条件相同时,分子量小的扩散得快.第102页/共104页热导率扩散系数第103页/共104页感谢您的观看！第104页/共104页