线性代数总复习讲义详解.pptx

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1、第一章教学要求：1了解行列式的概念，掌握行列式的性质。2会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。3理解克莱姆法则及其应用。第1页/共87页 n阶行列式的计算方法很多，除直接按定义计算外，一般还有下列方法：1利用行列式的性质化为三角形行列式计 算法 2.降阶展开法 行列式的计算第2页/共87页第二、三章教学要求：1理解矩阵的概念。2了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质。3掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解方阵的幂、方阵乘积的行列式。4理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随

2、矩阵求矩阵的逆。5掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法；及求矩阵的秩的方法。6了解分块矩阵及其运算。第3页/共87页1了解n维向量的概念。2理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用有关向量组线性相关、线性无关的重要结论。3了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和求向量组的极大线性无关组及秩。4 了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与矩阵秩的关系。重要结论2重要结论1第四章教学要求：第4页/共87页5理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。6理解齐次线性

3、方程组的基础解系、通解的概念及 求法。3理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。4掌握用行初等变换求非齐次线性方程组通解的方法。第5页/共87页Ax=br(A)=r(A,b)=n有唯一解r(A)r(A,b)无解齐次方程的基础解系克拉默法则，r(A)=r(A,b)整体相关缩短不变性若向量组中向量个数 向量维数必线性相关线性无关整体无关=部分无关加长不变性R n 中，任一无关组向量个数 向量维数 n第12页/共87页向量组 a1,a2,am 线性无关，而添加 形成的向量组 a1,a2,am,线性相关，则 可由 a1,a2,am 线性表示，且表示唯一。结论1结束第13页/共87页计算问题1）怎样求

4、矩阵 A 的秩？-行、列则 秩（A）行阶梯形矩阵中非零行的行数最常用第14页/共87页2）怎样求向量组 的秩？-行、列 以向量组 中各向量作为列向量，构成矩阵 A；求出矩阵 A 的秩，也即原向量组的秩第15页/共87页3）怎样判断向量组 的相(无)关性？-行、列 求出秩（）r 比较 r 与 s 的大小r=s 线性无关r s 线性相关当向量个数向量维数时求D 0 线性无关D=0 线性相关第16页/共87页4）怎样求向量组 的一个极大无关组？-行 以向量组 中各向量作为列向量，构成矩阵 A；则 B 中各首非零元所在列对应的 A 的部分向 量组就为 向量组 的极大线性无关组。第17页/共87页5）怎

5、样利用 4)中求出的极大无关组表示其余向量？-行 求出向量组 的极大无关组；(2)解非齐次线性方程组即可。第18页/共87页“关于矩阵的秩”怎样的情况下矩阵的秩不变？初等变换不改变矩阵的秩矩阵等价矩阵转置乘可逆矩阵矩阵的秩不变矩阵运算对秩的影响？r(A+（）B)r(A)+r(B);r(AB)min r(A)，r(B).行秩列秩矩阵的秩第19页/共87页方阵的秩与行列式的关系A是可逆矩阵称A是可逆，非奇异，非退化，满秩的A是不可逆矩阵称A是不可逆，奇异，退化，不满秩的 设A是 n 阶方阵返回第20页/共87页(2)方阵 A 的属于不同特征值的特征向量线性无关.(3)设 是 n 阶方阵 A 的一个

6、 k 重特征值，则 A 的属于特征值 的特征向量中，极大线性无关组包含的向量个数不多于 k 个。亦即齐次线性方程组 的基础解系包含的向量个数最多有 k 个。(4)设 A 是一个 n 阶实对称矩阵，则向量个数恰有 k 个.第21页/共87页求正交矩阵Q的步骤 (1)求出A的特征多项式 的全部不同的根 ，即为A的全部不同的特征值；(2)对每个特征值 ，解齐次线性方程组 求出它的一个基础解系第22页/共87页 (3)将 正交化、单位化，得到一个正交单位向量组 是属于特征值 的一组线性无关的量；(4)将对应于全部不同特征值 的线性 无关特征向量 作为列向量构成矩阵Q，即为所求之正交矩阵亦即使得Q-1A

7、Q为对角矩阵，其主对角线上的元素即为A的全部特征值结束第23页/共87页重要的定理或性质转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质第24页/共87页重要的定理或性质第25页/共87页一、行列式一、行列式1、二阶三阶行列式的计算第26页/共87页2、n阶行列式的计算性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.性质性质性质性质3 3 3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘

8、此行列式.性质行列式中如果有两行（列）元素成比性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零(1)利用行列式的性质计算（化为三角形）（化为三角形）第27页/共87页性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和.性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变第28页/共87页例 计算行列式解第29页/共87页第30页/共87页(2)利用行列式展开计算定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素

9、行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即第31页/共87页例例第32页/共87页第33页/共87页二、矩阵二、矩阵1、矩阵的逆的求法（1）公式法（伴随法）第34页/共87页（2）初等变换法行的初等变换第35页/共87页例例1 1 求方阵 的逆矩阵.解解（公式法）第36页/共87页第37页/共87页故第38页/共87页（初等变换法）（初等变换法）第39页/共87页第40页/共87页即初等行变换第41页/共87页2、矩阵的秩矩阵秩的求法矩阵秩的求法 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.第42页/共8

10、7页例例解第43页/共87页第44页/共87页第45页/共87页三、向量之间的关系三、向量之间的关系1、线性组合 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示定义定义第46页/共87页存在矩阵 ，使得矩阵方程有解判定判定线性表示能由第47页/共87页线性表示存在矩阵 ，使得矩阵方程有解第48页/共87页例设证明向量 能由向量组 线性表示，并求表示式。解只需证矩阵与矩阵有相同的秩。下面把矩阵 化为行最简形：法一第49页/共87页行的初等变换行的初等变换向量 可由向量组 线性表示。第50页/共87页由最简形知，方程组的通解为从而其中 为任意常数。第51页/共87页法二设即也即第52页/共87页

11、其中 为任意常数。解得其通解为故向量 可由向量组 线性表示，且其中 为任意常数。第53页/共87页定义定义则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关2、线性相关性、线性相关性第54页/共87页定理定理判定判定第55页/共87页第56页/共87页例例1第57页/共87页第58页/共87页解解第59页/共87页第60页/共87页3、最大无关组及向量组的秩、最大无关组及向量组的秩设有向量组 ，满足下面两个条件：如果能在 中选出 个向量（1）向量组 线性无关；线性表示。（2）向量组 中的每一个向量都能由向量组则称向量组 为向量组 的最大无关组。最大无关组所含向量

12、的个数 称为向量组的秩。第61页/共87页向量组的秩的求法向量组的秩的求法向量组向量组 的秩的秩的秩的秩矩阵矩阵最大无关组的求法最大无关组的求法第62页/共87页第63页/共87页且 列向量组的一个最大无关组为第64页/共87页因此第65页/共87页四、线性方程组的解四、线性方程组的解定理 元线性方程组1)有唯一解2)无解3)无穷多解定理 元齐次线性方程组 有非零解第66页/共87页定理 设矩阵 的秩 ，则齐次线性 的解集 的秩为线性方程组其中 为任意实数。非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的一个特解为齐次线性方程组的基础解系为则非齐次线性方程组的解解为第67页/共87页例 求解非齐次方程

13、组解：第68页/共87页令则为任意常数）法1：第69页/共87页法2：令得又原方程组对应的齐次方程组的通解是令得基础解系所以原方程组的通解是为任意常数）第70页/共87页五、特征值与特征向量五、特征值与特征向量（1）如何求 的特征值？解特征方程特征方程的根即为矩阵 的特征值。（2）如何求属于特征值 的特征向量？解齐次线性方程组 其非零解即为属于特征值 的特征向量1、特征值与特征向量的求法第71页/共87页例例 设求A的特征值与特征向量解解第72页/共87页第73页/共87页得基础解系为：第74页/共87页使得 则若存在可逆矩阵 ，（1）为矩阵 的特征值（2）为对应于特征值 的特征向量。2、方阵

14、的对角化第75页/共87页A能否对角化？若能对角例例解解第76页/共87页解之得基础解系第77页/共87页所以 可对角化.第78页/共87页注意注意即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应第79页/共87页3、实对称矩阵的对角化第80页/共87页利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.1.具体步骤为：第81页/共87页例 设求正交矩阵 ，使得 为对角阵。解：第82页/共87页当 时，齐次线性方程组为得基础解系令第83页/共87页令先正交化：再单位化：令第84页/共87页当 时，齐次线性方程组为令得基础解系单位化得第85页/共87页得正交矩阵有第86页/共87页感谢您的观看！第87页/共87页