线性代数 行列式定义.pptx

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1、 Linear Algebra 线 性 代 数 谢 松 法 华中科技大学数学与统计学院 第1页/共38页一、教学内容 线性代数是工科各专业必修的重要基础理论课，线性代数的主要内容包括：行列式、矩阵、向量代数、是工科 线性代数在工程技术、科学研究 本课堂仅介绍前六个方面的内容，且其中带“*”号 学习线性代数的难点在于“入门”，即如何尽快地去理解 和适应它所引入的新的数学语言与数学工具。数学教学的主要课程之一。和各行各业中有着广泛的应用。线性方程组、特征值与特征向量、二次型、线性空间与线性 变换等。的内容不需要掌握。第2页/共38页二、教学及考核方式考试方式：闭卷作业：每周一次主要参考书（略）答疑

2、：每周一次课堂教学：40 学时考试成绩：作业占 20%，考试占80%(练习册练习册)第3页/共38页第一章 行列式1.2 行列式的性质与计算1.3 克莱姆(Cramer)法则1.1 行列式的定义第4页/共38页1.1 行列式的定义一、二阶与三阶行列式二、n 阶行列式第5页/共38页利用消元法求解二元线性方程组一、二阶与三阶行列式行列式的引入来源于求解线性方程组，求解是数学与工程中最基本的问题之一。而线性方程组的得得两式相减消去 得引例 P 1 第6页/共38页方程组的解为两式相减消去 得类似地，消去 得当 时，由此引入二阶行列式的定义第7页/共38页称下式为二阶行列式二阶行列式 定义定义 对角

3、线法对角线法副对角线主对角线一、二阶与三阶行列式1.二阶行列式 P 2 第8页/共38页 利用二阶行列式求解二元线性方程组利用二阶行列式求解二元线性方程组对于二元线性方程组当 时，方程组的解为其中记记问题问题当 时，方程组的解会怎么样？P 2 第9页/共38页解例求解二元线性方程组(惟一解惟一解)第10页/共38页解例求解二元线性方程组(无穷多解无穷多解?)第11页/共38页解例求解二元线性方程组(无解无解?)第12页/共38页2.三阶行列式一、二阶与三阶行列式1.二阶行列式利用消元法求解三元线性方程组逐步消去 可得引例其中由此引入三阶行列式的定义补补 第13页/共38页称下式为三阶行列式三阶

4、行列式 定义定义2.三阶行列式一、二阶与三阶行列式1.二阶行列式问题问题三阶行列式有何计算规律？它与二阶行列式如何统一？补补 第14页/共38页(1)对角线法 三阶行列式计算规律的三阶行列式计算规律的探讨探讨?补补 第15页/共38页(2)沙路法 三阶行列式计算规律的三阶行列式计算规律的探讨探讨?补补 第16页/共38页(3)排列法 三阶行列式共有 6 项，即 3!项每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积为排列 的逆序数逆序数(?)为自然数 的一个排列;其中 三阶行列式计算规律的三阶行列式计算规律的探讨探讨?补补 第17页/共38页(4)递推法 三阶行列式计算规律的三阶行列式计算规律的探讨探

5、讨?利用已定义的二阶行列式来计算三阶行列式，即补补 第18页/共38页计算三阶行列式例按对角线法则，有解第19页/共38页方程左端为解例求解方程由 解得或第20页/共38页 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组对于三元线性方程组则三元线性方程组的解为令补补 第21页/共38页求解线性方程组例解故方程组的解为第22页/共38页由题意得求一个二次多项式 使例设所求的二次多项式为解故所求多项式为由有第23页/共38页二、n 阶行列式前面从二元与三元线性方程组的求解问题出发，分别 引出了二阶与三阶行列式的概念，那么，这些行列式的概念以及线性方程组的求解方法 阶行列式求解二元

6、与三元线性方程组的方法。能否推广并应用到 n 元线性方程组的求解问题呢？在对三阶行列式的计算所探讨的几种规律中，到底哪一种 更具有一般性呢？并给出了利用二阶与三 特别是 P 2 第24页/共38页二、n 阶行列式经过前人不懈的努力，终于摸索出了统一的规律。本课堂将采用递推法来定义一般的行列式，避开诸如排列、逆序等一些概念。人们发现前面提到的对角线法与沙路法并不适合一般 的情形，还是对排列法有所了解。而排列法与递推法才是真正可以推广的方法。其目的是不过有兴趣的同学最好 P 2 第25页/共38页并按照特定的运算法则对应到二、n 阶行列式1.余子式和代数余子式把元素 ai j 所在的第第 i 行行

7、和第第 j 列列划去后，(n-1)列元素组成(n-1)阶行列式，剩下的(n-1)行即：将 个数排成 n 行 n 列,一个数，（?）称之为 n 阶行列式阶行列式，记为 P 3 第26页/共38页二、n 阶行列式1.余子式和代数余子式称 Ai j 为元素 ai j 的代数余子式代数余子式.称 Mi j 为元素 ai j 的余子式余子式.定义定义记 P 3 第27页/共38页设行列式例如则为元素 a23 的余子式，为元素 a23 的代数余子式.注意无论是行列式还是余子式，其结果都是“数”.那么它们到底以什么样的运算法则得到一个数呢？第28页/共38页二、n 阶行列式1.余子式和代数余子式2.行列式的

8、递推定义定义称下式为 n 阶行列式阶行列式 当 时，当 时.其中 为 的代数余子式.P 3定义定义1.1第29页/共38页计算行列式例解第30页/共38页定理其中 为 的代数余子式.对于任意的 j 都有 称此计算方式为将行列式按第将行列式按第 j 列展开列展开.当 时，当 时.将行列式按任意列展开将行列式按任意列展开 证明(略)P 5定理定理1.1第31页/共38页计算行列式例解按第二列展开，得第32页/共38页例计算行列式解按第二列展开，得第33页/共38页二、n 阶行列式1.余子式和代数余子式2.行列式的递推定义3.几个典型的行列式补补 (1)对角行列式对角行列式注意：行列式行列式 不是对角行列式。不是对角行列式。第34页/共38页3.几个典型的行列式(2)上三角行列式上三角行列式启发能否将一个一般行列式(的计算问题)转化为对角或者上三角行列式(的计算问题)？(3)下三角行列式下三角行列式第35页/共38页附：n 阶行列式的另一种定义阶行列式的另一种定义其中为自然数 的一个排列排列;为排列 的逆序数逆序数求 的系数.已知思考题答案 的系数为第36页/共38页 轻松一下吧第37页/共38页感谢您的观看！第38页/共38页