线性系统理论能控性和能观性.pptx
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1、例4.1.1 给定系统的状态空间描述为将其表为标量方程组的形式，有第1页/共148页 而由始点达到原点，因而系统为完全能控；但输出 都可通过选择输入这表明：状态变量和只能反映状态变量状态变量和输出 既无直接联系，也无间接联系，所以系统是不完全能观测的。第2页/共148页第3页/共148页，则不论电容的初始端电压 。从电路不难看出：如果初始状态例4.1.2 考察图4.1.1所示的电路，系统的状态变量为电容端电压输入为电压源输出为电压，那么不管输入是什么，对所有必恒有，即不受影响；另一方面，如果输入是多少，对所有恒有，即不能由 反映。这表明，此电路是状态不能控和状态不能观测的。第4页/共148页第
2、5页/共148页 转移到任意目标值，但不能将例4.1.3 考虑图4.1.2所示的两个电路。在图4.1.2（a）的电路中，两个状态变量为两电容的端电压 能够做到使和，输入或者和 分别转移到不同的任意目标值。如若初始状态则不论将输入取为何种形式，对所有总只能是即不可能做到使。这表明此电路不完全能控。第6页/共148页在图4.1.2（b）的电路中，如若取输入，那么当两个状态变量的初始状态且为任意值时，必定有也即对所有总是有 。这说明，此种情况下的电路状态运动是由输出不能反映的，所以此电路为不完全能观测。第7页/共148页4.1.2 4.1.2 能控性的定义定义定义4.1.14.1.1 对于线性时变系
3、统 是系统在如果对取定初始时刻 的一个非零初始状态，存在一时刻,和一个无约束的容许控制 使得系统在这个控制的作用下，系统由出发的运动轨迹经过时间 后由 转移到，则称此 时刻的一个能控状态。第8页/共148页定义 4.1.2 对于线性时变系统 上是完全能控的。如果状态空间中的所有非零状态都是在 时刻的能控状态，则称该系统在时刻 是完全能控的。如果对于任何，系统均是在 时刻为能控的，则称该系统在区间 第9页/共148页定义4.1.3 对于线性时变系统 取定初始时刻 如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻 是不能控的，则称该系统在时刻 是不完全能控的。第10页/共148页说明 4.1.1 定义中
4、要求在可找到的输入 的作用下，使 上的一段有限时间内转移到状态空间的坐标系原点。而对于状态转移的轨迹并不加以限制和规定。这就是说，能控性是表征系统状态运动的一个定性特性。说明4.1.2 定义中提到的所谓无约束的容许控制，无约束表示对输入的每个分量的幅值不加以限制，即可取为任意大到所要求的值，容许控制则表示输入的所有分量均是在 时刻的非零状态 在上平方可积的。第11页/共148页 来定义的，这对于时变系统是完全必要的。如果所考虑的为线性定常系统，则其能控与否和 说明4.1.3 上述各定义中都是相对于J中的一个取定时刻 时刻的选取无关。第12页/共148页说明4.1.4 上述定义中都规定为由非零状
5、态转移到零状态，如果将其变更为由零状态达到非零状态，则称这种情况为状态能达的。对于连续的线性定常系统，能控性和能达性是等价的。对于离散系统和时变系统，严格地说两者是不等价地的。可以出现这样的情况，系统是不完全能控的，但却是完全能达的。第13页/共148页说明4.1.5 系统为不完全能控的情况是一种“奇异”的情况，系统中组成元件的参数值的很小的变动（这在实际情况中是完全可能的）都可使其成为完全能控。所以对于一个实际的系统，系统为能控的概率几乎等于1。换句话说，如果随机地选取系统地系数矩阵 和 的元，那么使系统为完全能控的概率几乎等于1。第14页/共148页4.1.3 4.1.3 能观测性定义 能
6、观测性表征系统的状态是否可由系统的输入和输出完全反映。定义4.1.4 对于线性时变系统 如果对取定初始时刻 的一个非零初始状态上的系统输出 可以唯一地决定系统的初始状态 为能观测的。，存在一个有限时刻，使得由区间，则称此 在时刻 第15页/共148页定义 4.1.5 对于线性时变系统 取定初始时刻 及一个非零初始状态，如果对于任何有限时刻 均有 ,，则称此 在时刻 为不能观测的。第16页/共148页系统均是在定义 4.1.6 对于线性时变系统 如果状态空间中所有状态都是时刻上是完全能观测的。的能观测状态,则称系统在时刻观测的。如果对于任何 是完全能时刻为能观测的，则称系统在第17页/共148页
7、，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻是不能观测的。则称系统在时刻定义 4.1.7 对于线性时变系统 取定初始时刻 是完全不能观测的。第18页/共148页4.2 4.2 线性时变系统的能控性判据 4.2.1 Gram4.2.1 Gram矩阵判据 的状态转移矩阵。定理4.2.1 系统 在时刻能控的充分必要条件是存在某个有限时刻，使得矩阵 是正定的，这里 是系统 第19页/共148页命题4.2.1 令是任意一个能把系统 的初始状态控制到的容许控制，则 第20页/共148页4.2.2 4.2.2 基于状态转移矩阵的判据定理 4.2.24.2.2 假设 和都是的连续函数矩阵，则系统 在 时刻能控
8、的充分必要条件是存在某个有限时刻，使得矩阵在 上行线性独立，即对任意维非零向量都有 第21页/共148页4.2.3 4.2.3 基于系统参数矩阵的判据定理 4.2.34.2.3 假设系统 令 时刻能控。中的和的每个元分别是 和一次连续可微函数，记如果存在某个时刻，使得，那么该系统在第22页/共148页4.3 4.3 线性定常系统的能控性判据4.3.1 4.3.1 定常系统能控性的特殊性引理4.3.1 设定常线性系统在某 时刻完全能控，则它必在上完全能控。第23页/共148页4.3.2 4.3.2 能控性矩阵判据定理 4.3.14.3.1 定常线性系统能控的充分必要条件是:第24页/共148页推
9、论4.3.1 已知定常线性系统 如果系统矩阵的最小多项式是次的，那么该系统能控的充分必要条件是:第25页/共148页那么它能控的充分必要条件是:推论4.3.2 设定常线性系统是单输入的，即 第26页/共148页4.3.3 PBH4.3.3 PBH判据定理4.3.2 定常线性系统能控的充分必要条件是，对每个其中，表示的特征值集合。都有第27页/共148页推论 4.3.3 定常线性系统能控的充分必要条件是它没有输入解耦零点。能控的充分必要条件是，对于系统矩阵的每个左特征向量推论4.3.4 定常线性系统,总有 第28页/共148页 的特征值（或者说系统的极点）进行分类。推论 4.3.5 系统能控的充
10、分必要条件是 按照系统的能控性，可以对定常线性系统的系统矩阵第29页/共148页，并且满足叫做该系统的一个不能控振型。定义4.3.1 如果则 系统的不能控振型必是系统的极点,同时又是系统的零点。第30页/共148页4.4 4.4 对偶原理与能观测性判据4.4.1 Gram4.4.1 Gram矩阵判据定理4.4.1 已知线性系统它在 时刻完全能观测的充分必要条件是，存在某个有限时刻，使得矩阵 是正定的。第31页/共148页 时刻完全能控。4.4.2 4.4.2 对偶原理引理4.4.1 线性系统时刻安全能控的充分必要条件是它的对偶系统在 的状态转移矩阵是互为转置逆的关系。时刻完全能控测的充分必要条
11、件是它的对偶系统的状态转移矩阵和它的对偶系统定理4.4.2 （对偶原理）系统在时刻完全能控测；系统在在第32页/共148页4.4.3 4.4.3 能观性判据能观的充分必要条件是，存在某个有限时刻上列线性独立，即对任意的非零向量有定理4.4.3 已知系统，假设和的诸元均为连续的，则其在时刻，使得矩阵在 第33页/共148页定理4.4.4 已知系统，假设 和分别是并令 如果存在某个时刻那么系统和一次连续可微的，记:，使得 在时刻是完全能观测的。第34页/共148页定理4.4.5 定常线性系统能观测的充分必要条件是:第35页/共148页推论4.4.1 已知定常线性系统如果的最小多项式是次的，那么系统
12、完全能观测的充分必要条件是:第36页/共148页推论4.4.2 已知定常线性系统是单输入的，即 那么它完全能观测的充分必要条件是:第37页/共148页定理4.4.6 定常线性系统完全能观测的充分必要条件是，对每个都有:第38页/共148页推论4.4.3 定常线性系统完全能观测的充分必要条件是它没有输出解耦零点。第39页/共148页4.5 4.5 系统的能控、能观性指数4.5.1 线性系统的能控性指数完全能控的线性定常系统定义 阶常阵:其中 为正整数,因为系统能控,当 时,为能控制性矩阵 ，且 。则存在一个使 成立的最小正整数 ，称为系统的能控性指数，定义式为：第40页/共148页 ，并设引理4
13、.5.1 已知系统记其能控性指数为则必成立:第41页/共148页推论4.5.1 对于单输入系统，也即时，系统的能控型指数为。推论4.5.2 线性定常系统完全能控的充分必要条件时第42页/共148页 的最小多项式的次数，则能控性指数引理4.5.2 令可进而表为为矩阵的估计不等式第43页/共148页第44页/共148页命题 4.5.1 对系统的状态方程作线性非奇异变换，其能控指数和能控型指数集 保持不变。第45页/共148页4.5.2 4.5.2 线性系统的能观性指数线性系统的能观性指数第46页/共148页若把 表示为第47页/共148页从 开始搜索 个线性无关的行,考虑到 的秩为 ,将这 个线性
14、无关的行重新排列:第48页/共148页 通常称 为系统 的能观测性指数集,显然有:和第49页/共148页 的最小多项式的次数，那么上式还可表示为 的能观测性指数和能观测性指数集，我们有1若2如果令 3当对该系统作线性非奇异变换时，都保持不变。引理4.5.3 关于系统为矩阵，则必成立和第50页/共148页推论4.5.3 若，则系统为能观测的充分必要条件为 第51页/共148页4.6 4.6 单输入单数出先行系统的能控规范型和单输入单数出先行系统的能控规范型和能观规范型能观规范型定理4.6.1 对完全能控的单输入单输出线性定常系统 引入线性非奇异变换即可导出其 第一能控规范型为 第52页/共148
15、页其中其中 第53页/共148页定理4.6.2 对完全能控的单输入单输出线性定常系统:定义:则在线性非奇异变换第54页/共148页下系统代数等价于下述第二能控规范型 其中:第55页/共148页这里:第56页/共148页完全能控，则其传递函数为推论4.6.1 设系统命题4.6.1 代数等价的单变量完全能控系统具有相同的第一或第二能控规范型。第57页/共148页例4.6.1 给定能控的单输入单输出线性 定常系统为定出其特征多项式和常数则利用式（4.6.4）（4.6.11），即可导第58页/共148页第59页/共148页而其逆为于是，又可定出能控规范型中的状态向量为第60页/共148页其特征多项式如
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