线性空间基底.pptx

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1、 线线 性性 空空 间间 与与 线线 性性 映映 射射第第 一一 章章第1页/共27页已知：在中，线性无关的向量组最多由 个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的问题：线性空间的一个重要特征在线性空间 中，最多能有多少线性无关的向量？1.2 线性空间的基 线性组合：设 ，若 使得：则称 x 是 的线性组合第2页/共27页向量组等价向量组 能由向量组 线性表示向量组等价线性相关性线性相关线性无关第3页/共27页向量组的秩记为：向量组的秩第4页/共27页 定义 设 为数域 上的一个线性空间。如果在中存在 个线性无关的向量 ,使得:中的任意一个向量 都可以由 线性表出,即:则称 为 的一个基底；为向

2、量 在基底 下的坐标。此时,我们称 为一个 维线性空间，记为 一，线性空间的基第5页/共27页例1.实数域 上的线性空间 中向量组都是 的基。是3维线性空间。例2.实数域 上的线性空间 中的向量组与向量组都是 的基。是4维线性空间。第6页/共27页例3.实数域 上的线性空间 中的向量组 与向量组都是 的基底。的维数为 注意：通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。第7页/共27页例4.在4维线性空间 中，向量组与向量组是其两组基，求向量 在这两组基下的坐标。解：设向量 在第一组基下的坐标为第8页/共27页

3、于是可得 解得同样可解出在第二组基下的坐标为第9页/共27页几个重要结论:1，若 是 维线性空间 的基,则:2,如果对于任意的 ,均可以在 中找到 个 线性无关的向量,则称 是无限维的线性空间一个向量在不同基底下的坐标是不相同的。3,无限维的线性空间是存在的第10页/共27页 2.基变换与坐标变换设 （旧的）与 （新的）是 维线性空间 的两组基底，它们之间的关系为 第11页/共27页将上式矩阵化可以得到下面的关系式：称 阶方阵第12页/共27页定理：过渡矩阵 是可逆的。是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可以写成A第13页/共27页在旧的基下的坐标在新的基下的坐标称上式为坐标变换公式。定

4、理:任取 ，设 在两组基下的坐标分别为 与 ，且过渡矩 阵为 ,那么我们有：第14页/共27页与向量组例1 在4维线性空间 中，向量组:第15页/共27页为其两组基，求从基 到基 的过渡矩阵，并求向量 在这两组基下的坐标。解：计算出下面的矩阵表达式：第16页/共27页第17页/共27页向量 第一组基下的坐标为利用坐标变换公式可以求得 在第二组基下的坐标为直接用坐标变换公式第18页/共27页第19页/共27页求线性空间的向量在基下的坐标。和由基底 到基底 的过渡矩阵.练习1第20页/共27页事实上，W1 是n元齐次线性方程组的解空间.所以，dimW1 n1，的一个基础解系 判断 的下列子集合哪些

5、是子空间：若为 的子空间，求出其维数与一组基.练习2第21页/共27页就是W1 的一组基.故W2不是Fn的子空间.而 不是子空间，在 W2中任取两个量，设则第22页/共27页则有 设其次，下证W3是Pn的子空间.故，W3为V的一个子空间，且维W3 n1，就是W3的一组基.第23页/共27页 设V为数域P上的线性空间，则W关于V的运算作成V的一个子空间 即的一切线性组合所成集合.是非常重要的张成子空间第24页/共27页比如在Rn 中，类似地，还有事实上,任一有限维线性空间都可由它的一组基生成.为Rn的一组基，即 Rn 由它的一组基生成.第25页/共27页第26页/共27页感谢您的观看！第27页/共27页