学案2空间几何体的表面积与体积.ppt

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1、学案学案2 空间几何体的空间几何体的 表面积与体积表面积与体积 名师伴你行名师伴你行填填知学情填填知学情填填知学情填填知学情课内考点突破课内考点突破课内考点突破课内考点突破规规规规 律律律律 探探探探 究究究究考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读考考考考 向向向向 预预预预 测测测测返回目录返回目录 名师伴你行考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读 空间几何体空间几何体的表面积与的表面积与体积体积了解球、棱柱、棱锥、台的表面积了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公和体积的计算公式（不要求记忆公式）会求直棱柱、正棱锥、正棱台、式）会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆

2、台和球的表面积与圆柱、圆锥、圆台和球的表面积与体积体积.名师伴你行 简单的组合体的面积与体积的计算，以及平面图形的简单的组合体的面积与体积的计算，以及平面图形的折叠问题是常考的内容，尤其是在解答题中，多涉及位折叠问题是常考的内容，尤其是在解答题中，多涉及位置关系的证明，面积或体积的计算，着重考查学生识图，置关系的证明，面积或体积的计算，着重考查学生识图，用图及空间想象能力，有时也与三视图结合考查用图及空间想象能力，有时也与三视图结合考查.考考考考 向向向向 预预预预 测测测测 返回目录返回目录 1.设直棱柱高为设直棱柱高为h，底面多边形的周长为，底面多边形的周长为c，则直棱，则直棱柱侧面面积计

3、算公式柱侧面面积计算公式:S直棱柱侧直棱柱侧=.即直棱柱即直棱柱的侧面积等于它的的侧面积等于它的 .2.设正设正n棱锥的底面边长为棱锥的底面边长为a，底面周长为，底面周长为c，斜高，斜高为为h，则正，则正n棱锥的侧面积的计算公式棱锥的侧面积的计算公式:S正棱锥侧正棱锥侧=,即正棱锥的侧面积等于它的即正棱锥的侧面积等于它的 .ch 底面周长和高的乘积底面周长和高的乘积 nah=ch 底面的周长和斜高乘积的一半底面的周长和斜高乘积的一半 名师伴你行返回目录返回目录 3.设棱台下底面边长为设棱台下底面边长为a，周长为，周长为c，上底面边长，上底面边长为为a，周长为，周长为c，斜高为，斜高为h，则正，

4、则正n棱台的侧面积公式棱台的侧面积公式:S正棱台侧正棱台侧=.4.棱柱、棱锥、棱台的表面积或全面积等于棱柱、棱锥、棱台的表面积或全面积等于 .5.半径为半径为R的球的表面积公式的球的表面积公式:S球球=，即球面面积等于它的即球面面积等于它的 .大圆面积的四倍大圆面积的四倍 n(a+a)h=(c+c)h侧面积与底面积的和侧面积与底面积的和 4R2 名师伴你行返回目录返回目录 6.柱、锥、台的侧面积公式的内在联系柱、锥、台的侧面积公式的内在联系.名师伴你行返回目录返回目录 7.柱体柱体(棱柱、圆柱棱柱、圆柱)的体积等于它的的体积等于它的 ,即即V柱体柱体=.底面半径是底面半径是r，高是，高是h的圆

5、柱体的体积的圆柱体的体积的计算公式是的计算公式是V圆柱圆柱=.8.如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是，高是h，那么它的体积是，那么它的体积是V锥体锥体=.如果圆锥的底面半径是如果圆锥的底面半径是r，高是，高是h，则它的体积，则它的体积V圆锥圆锥=.9.如果一个台体（棱台、圆台）的上、下底面的面积如果一个台体（棱台、圆台）的上、下底面的面积分别是分别是S,S，高是，高是h，那么它的体积，那么它的体积V台体台体=h(S+S).如果圆台的上、下底面的半径分别是如果圆台的上、下底面的半径分别是r,r，高是，高是h，则，则它的体积是它的体积是V圆台圆台=h(

6、r2+rr+r2).底面积底面积S和高和高h的乘积的乘积 Sh r2h Sh r2h 名师伴你行返回目录返回目录 10.如果球的半径为如果球的半径为R，则它的体积，则它的体积V球球=R3.11.柱、锥、台的体积公式的内在联系柱、锥、台的体积公式的内在联系.名师伴你行返回目录返回目录 返回目录返回目录 如如 图图,在在ABC中中，若若 AC=3，BC=4，AB=5，以以 AB所所在在直直线线为为轴轴，将将此此三三角角形形旋旋转转一一周周，求求所所得得旋旋转转体体的的表表面面积积和和体体积积.【分析分析分析分析】首先考虑所得几何体是由哪几类简单几何首先考虑所得几何体是由哪几类简单几何体组成，存在哪

7、些数量和位置关系体组成，存在哪些数量和位置关系.考点考点考点考点1 1 旋转体的表面积旋转体的表面积旋转体的表面积旋转体的表面积 名师伴你行 【解析解析解析解析】如图所示，所得旋转体如图所示，所得旋转体是两个底面重合的圆锥，高的和为是两个底面重合的圆锥，高的和为AB=5.底面半径等于底面半径等于CO=，所以所得旋转体的表面积为，所以所得旋转体的表面积为S=OC（AC+BC）=(3+4)=；其体积为其体积为V=OC2AO+OC2BO=OC2AB=.返回目录返回目录 名师伴你行名师伴你行返回目录返回目录（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要

8、将这个曲面展为平面图形，其表面积为侧面积与需要将这个曲面展为平面图形，其表面积为侧面积与底面积之和底面积之和.（2）组合体的表面积要注意重合部分的处理）组合体的表面积要注意重合部分的处理.名师伴你行返回目录返回目录 已知一个圆锥的底面半径为已知一个圆锥的底面半径为R，高为，高为H，在其中有一个高，在其中有一个高为为x的内接圆柱的内接圆柱.（1）求圆柱的侧面积；）求圆柱的侧面积；（2）x为何值时，圆柱的侧面积最大？为何值时，圆柱的侧面积最大？名师伴你行返回目录返回目录【解析解析】（1）画圆锥及内接圆柱的轴截面，如图所示，）画圆锥及内接圆柱的轴截面，如图所示，设所求圆柱的底面半径为设所求圆柱的底面

9、半径为r,它的侧面积它的侧面积S圆柱侧圆柱侧=2rx，,S圆柱侧圆柱侧=2Rx-x2(0 xH).（2）因为）因为S圆柱侧圆柱侧的表示式中的表示式中x2的系数小于零，的系数小于零，所以这个二次函数有最大值，所以这个二次函数有最大值，这时圆柱的高是这时圆柱的高是x ，且，且x=H，满足题意，所以当圆柱的高是已知圆锥的一半时，满足题意，所以当圆柱的高是已知圆锥的一半时，它的侧面积最大它的侧面积最大.返回目录返回目录 已知一个正三棱台的两底面边长分别为已知一个正三棱台的两底面边长分别为30cm和和20cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的全面积，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的全面积.【

10、分析分析分析分析】求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台中的特征直角梯形，转化为平面问题来求解所需几何中的特征直角梯形，转化为平面问题来求解所需几何元素元素.考点考点考点考点2 2 多面体的表面积与侧面积多面体的表面积与侧面积多面体的表面积与侧面积多面体的表面积与侧面积 名师伴你行返回目录返回目录 【解析解析】如图所示，正三棱台如图所示，正三棱台ABCA1B1C1中，中，O,O1为两底面中心，为两底面中心，D，D1为为BC和和B1C1的中点，的中点，DD1为为棱台的斜高棱台的斜高.设设A1B1=20，AB=30，则，则OD=5 ,O1D1=，由由S侧侧=S上上

11、+S下下，得，得 （20+30）3DD1=(202+302),DD1=.S侧侧=3 =325 (cm2).又又S底底=325 ，棱台全面积为棱台全面积为S全全=S侧侧+S底底=650 cm2.名师伴你行返回目录返回目录 求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如圆柱中的矩形，棱台中的直角梯形，征几何图形，如圆柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起求侧面积公式中的未知量几何元素的桥梁，从而架起求侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素

12、间的联系与条件中已知几何元素间的联系.名师伴你行名师伴你行返回目录返回目录 已知正三棱锥底面正三角形的边长为已知正三棱锥底面正三角形的边长为 ，侧棱与高的，侧棱与高的夹角为夹角为60，求正三棱锥的侧面积及全面积，求正三棱锥的侧面积及全面积.【解析解析】设设O为正三角形为正三角形ABC的中心，则正棱锥的高、的中心，则正棱锥的高、侧棱、底面半径组成侧棱、底面半径组成RtAOS,如图所示如图所示.AB=，AO=sin60 =.ASO=60，SA=5.名师伴你行返回目录返回目录 作作SEAB于于E，则正三棱锥的侧棱、斜高、底面边长的，则正三棱锥的侧棱、斜高、底面边长的一半构成一半构成RtSEA,如图所

13、示，如图所示，斜高斜高SE=，S正三棱锥侧正三棱锥侧=，所以所以S正三棱锥全正三棱锥全=S正三棱锥侧正三棱锥侧+S正三棱锥底正三棱锥底=考点考点考点考点3 3 几何体的体积几何体的体积几何体的体积几何体的体积名师伴你行返回目录返回目录 一个正三棱锥的底面边长为一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，侧棱长为 ，求这个，求这个三棱锥的体积三棱锥的体积.【分析分析】三棱锥是正三棱锥，已知三棱锥的底面边长和三棱锥是正三棱锥，已知三棱锥的底面边长和侧棱长，求三棱锥的体积，因此解答本题可先求出三棱侧棱长，求三棱锥的体积，因此解答本题可先求出三棱锥的底面积和高，再求出其体积锥的底面积和高，再求出其体积.【解

14、析解析】如图所示，正三棱锥如图所示，正三棱锥SABC.设设H为正三角形为正三角形ABC的中心，连结的中心，连结SH，则，则SH的长即为该的长即为该正三棱锥的高正三棱锥的高.名师伴你行返回目录返回目录 连结连结AH并延长交并延长交BC于于E，则，则E为为BC的中点，且的中点，且AHBC.ABC是边长为是边长为6的正三角形，的正三角形，AE=6=，AH=AE=.在在ABC中中,SABC=BCAE=6 =.在在RtSHA中中,SA=,AH=.SH=,V正三棱锥正三棱锥=SABC SH=9.名师伴你行返回目录返回目录 求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式求锥体的体积，要选择适当的底面和高，

15、然后应用公式V=Sh进行计算即可进行计算即可.在正棱锥的有关计算中，像在正棱锥的有关计算中，像RtSHA、RtSHE、RtSEB等是非常有用的，它等是非常有用的，它们联系了正三棱锥的侧棱长、底面边长、高、底面正三们联系了正三棱锥的侧棱长、底面边长、高、底面正三角形的外接圆半径、内切圆半径等基本量角形的外接圆半径、内切圆半径等基本量.返回目录返回目录 某人买了一容积为某人买了一容积为V m3，高为，高为a m的直三棱柱型罐，用它的直三棱柱型罐，用它装进口液体车油，由于不小心摔倒地上，结果有两处破损装进口液体车油，由于不小心摔倒地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距底面高度分

16、并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距底面高度分别为别为b，c的地方（单位：的地方（单位：m），为了减少罐内液体流失，），为了减少罐内液体流失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家，试问罐内液该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家，试问罐内液体车油最理想的估计能剩多少？体车油最理想的估计能剩多少？名师伴你行【解析解析】如图，罐内所剩液体油的最大值即几何体如图，罐内所剩液体油的最大值即几何体ABCDBE的体积的体积.设直三棱柱设直三棱柱ABCABC，破损处为，破损处为D，E，并且，并且AD=b，EC=c，BB=a，连接，连接BD，CD.返回目录返回目录 名师伴你行VD-BCEB=VA-BCE

17、B，而而VA-BCEBVA-BCCB=VA-BCCB=V,VD-BCEB=.又又 ,VD-ABC=,VABC-DBE=VD-BCEB+VD-ABC=V.故最理想的估计是剩下故最理想的估计是剩下 m3.返回目录返回目录 名师伴你行2010年高考辽宁卷改编已知年高考辽宁卷改编已知S，A，B，C是球是球O表面上表面上的点，的点，SA平面平面ABC，ABBC，SA=AB=1，BC=，则球，则球O的表面积等于的表面积等于 .【分析分析】根据条件，确定球根据条件，确定球O的位置，并求出球半径的位置，并求出球半径.【解析解析】如图所示，如图所示，A，B，C三点在一小圆面上，三点在一小圆面上，ABBC,AC为

18、斜边，为斜边，小圆的圆心为小圆的圆心为AC的中点的中点D.SA=AB=1，BC=，考点考点考点考点4 4 球的表面积、体积球的表面积、体积球的表面积、体积球的表面积、体积AC=，AD=.S,A,B,C都在球面上，取都在球面上，取SC的中点的中点O，则，则ODSA.SA平面平面ABC，OD平面平面ABC，O为球心，为球心，SO为半径为半径.SC=，SO=1，球球O的表面积为的表面积为4.返回目录返回目录 名师伴你行名师伴你行返回目录返回目录 本题考查球的几何性质及表面积公式，考查运算求本题考查球的几何性质及表面积公式，考查运算求解能力，考查数形结合、转化与化归思想，难度较大解能力，考查数形结合、

19、转化与化归思想，难度较大.在球心同侧有相距在球心同侧有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积的两个平行截面，它们的面积分别为分别为49 cm2和和400 cm2.求球的表面积求球的表面积.【解析解析】如图为球的轴截面如图为球的轴截面,由球的截面性质知由球的截面性质知,AO1BO2,且且O1,O2分别为两截面圆的圆心分别为两截面圆的圆心,则则OO1AO1,OO2BO2,设球设球的半径为的半径为R.返回目录返回目录 O2B2=49,O2B=7（cm）.O1A2=400,O1A=20(cm).设设OO1=x cm,则则OO2=(x+9)cm.在在RtOO1A中，中，R2=x2+202.在在RtOO2

20、B中，中，R2=(x+9)2+72,x2+202=72+(x+9)2,解得解得x=15,R2=x2+202=252,R=25.S球球=4R2=2 500(cm2).球的表面积为球的表面积为2 500 cm2.名师伴你行返回目录返回目录 1.1.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面

21、几何知识来解决，这种题目难度不大平面几何知识来解决，这种题目难度不大平面几何知识来解决，这种题目难度不大平面几何知识来解决，这种题目难度不大.2.2.要注意将空间问题转化为平面问题要注意将空间问题转化为平面问题要注意将空间问题转化为平面问题要注意将空间问题转化为平面问题.3.3.当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知法运用，或者虽然几何体

22、并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用元素彼此离散时，我们可采用元素彼此离散时，我们可采用元素彼此离散时，我们可采用“割割割割”、“补补补补”的技巧，的技巧，的技巧，的技巧，化复杂几何体为简单几何体（柱、锥、台），或化离化复杂几何体为简单几何体（柱、锥、台），或化离化复杂几何体为简单几何体（柱、锥、台），或化离化复杂几何体为简单几何体（柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供便利散为集中，给解题提供便利散为集中，给解题提供便利散为集中，给解题提供便利.名师伴你行返回目录返回目录 4.4.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是与球有关的组合体

23、问题，一种是内切，一种是与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接外接外接外接.解题时要认真分析图形解题时要认真分析图形解题时要认真分析图形解题时要认真分析图形 ，明确切点和接点的位明确切点和接点的位明确切点和接点的位明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图图图图 ，如球内切于正方体，如球内切于正方体，如球内切于正方体，如球内切于正方体 ，切点为正方体各个面，切点为正方体各个面，切点为正方体各个面，切点为正方体各个面 的的的的 中

24、心，正方体的棱长等于球的直中心，正方体的棱长等于球的直中心，正方体的棱长等于球的直中心，正方体的棱长等于球的直 径；球外接于正方体径；球外接于正方体径；球外接于正方体径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线等于，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线等于，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线等于，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线等于球的直径球的直径球的直径球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或和球心，或和球心，或和球心，或“切点切点切点切点”“”“接点接点接点接点”作出截面图作出截面图作出截面图作出截面图.返回目录返回目录 名师伴你行名师伴你行