2822解直角三角形.ppt

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1、新人教版新人教版九年级数学九年级数学(下册下册)第二十八章第二十八章 28.2 28.2 解直角三角形解直角三角形（3 3）利用利用解直角三角形解直角三角形的知识的知识解决实际问题解决实际问题的的一般过程是一般过程是:1.将实际问题抽象为数学问题将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形画出平面图形,转化为解直角三角形的问题转化为解直角三角形的问题)2.根据条件的特点根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;3.得到数学问题的答案得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案得到实际问题的答案.铅铅垂垂线线水平线水平线视线视线视线视线仰角仰角俯角俯角在

2、进行观察或测量时，在进行观察或测量时，仰角和俯角仰角和俯角从上往下看，视线与水平线的夹角叫做从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角俯角.从下向上看，视线与水平线的夹角叫做从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角仰角；例例4:热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯，看这栋高楼底部的俯 角为角为60，热气球与高楼的水平距离，热气球与高楼的水平距离为为120m，这栋高楼有多高（结果精确到这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）分析分析：我们知道，在视线与水平线所：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角

3、，成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，在图中，a=30,=60 RtRtABCABC中，中，a a=30=30，ADAD120120，所以利用解直角三角形的知识求出所以利用解直角三角形的知识求出BDBD；类似地可以求出类似地可以求出CDCD，进而求出进而求出BCBCABCD仰角仰角水平线水平线俯角俯角解解：如图，：如图，a=30,=60，AD120答：这栋楼高约为答：这栋楼高约为277.1mABCD1.建筑物建筑物BC上有一旗杆上有一旗杆AB，由距由距BC40m的的D处观察旗杆顶部处观察旗杆顶部A的仰角的仰角54，观察底部，

4、观察底部B的仰的仰角为角为45，求旗杆的高度（精确到，求旗杆的高度（精确到0.1m）ABCD40m5445ABCD40m5445解：在等腰三角形解：在等腰三角形BCD中中ACD=90BC=DC=40m在在RtACD中中所以所以AB=ACBC=55.240=15.2答：棋杆的高度为答：棋杆的高度为15.2m.练习练习 2.如图，沿如图，沿AC方向开山修路为了加快施工进度，要在小山的另一边同方向开山修路为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从时施工，从AC上的一点上的一点B取取ABD=140，BD=520m，D=50，那么那么开挖点开挖点E离离D多远正好能使多远正好能使A，C，E成一直线（精

5、确到成一直线（精确到0.1m）50140520mABCEDBED=ABDD=90答：开挖点答：开挖点E离离点点D 332.8m正好能使正好能使A，C，E成一直线成一直线.解：要使解：要使A、C、E在同一直线上，在同一直线上，则则 ABD是是 BDE 的一个外角的一个外角1 1数形结合思想数形结合思想.方法：方法：把数学问题把数学问题转化成解直角三角形转化成解直角三角形问题，问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，助线，构造出直角三角形构造出直角三角形.思想与方法思想与方法2 2方程思想方程思想.3 3转化（化归）思想转化（化归）思想.例例5.

6、如图，一艘海轮位于灯塔如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东的北偏东65方向，距离方向，距离灯塔灯塔80海里的海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔达位于灯塔P的南偏东的南偏东34方向上的方向上的B处，这时，海轮所处，这时，海轮所在的在的B处距离灯塔处距离灯塔P有多远？有多远？（精确到（精确到0.01海里）海里）6534PBCA指南或指北的方向线与目标方向线构成小于指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角的角,叫做方位角叫做方位角.如图：点如图：点A在在O的北偏东的北偏东30点点B在点在点O的南偏西的南偏西45（西南方向）（西南方向）3045B

7、OA东东西西北北南南方位角方位角例例5 如图，一艘海轮位于灯塔如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东的北偏东65方向，距离灯塔方向，距离灯塔80海里海里的的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东的南偏东34方向上的方向上的B处，这时，海轮所在的处，这时，海轮所在的B处距离灯塔处距离灯塔P有多远（精确到有多远（精确到0.01海里）？海里）？解：如图解：如图，在，在RtAPC中，中，PCPAcos（9065）80cos25800.91=72.8在在RtBPC中，中，B34当海轮到达位于灯塔当海轮到达位于灯塔P的南偏东的南偏东34方向时，它距离

8、灯塔方向时，它距离灯塔P大约大约130.23海里海里6534PBCA 气象台发布的卫星云图显示，代号为气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为的台风在某海岛（设为点点O）的南偏东）的南偏东45方向的方向的B点生成，测得点生成，测得 台风台风中心从点中心从点B以以40km/h的速度向正北方向移动，经的速度向正北方向移动，经5h后到达海面后到达海面上的点上的点C处因受气旋影响，台风中心从点处因受气旋影响，台风中心从点C开始以开始以30km/h的速的速度向北偏西度向北偏西60方向继续移动以方向继续移动以O为原点建立如图为原点建立如图12所示的直所示的直角坐标系角坐标系（1）台风中心生成

9、点）台风中心生成点B的坐标为的坐标为 ，台风中心转折点，台风中心转折点C的的坐标为坐标为 ；（结果保留根号）；（结果保留根号）（2）已知距台风中心）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭如的范围内均会受到台风的侵袭如果某城市（设为果某城市（设为A点）位于点点）位于点O的正北方向且处于台风中心的移的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？x/kmy/km北东AOBC图12解：（1）（2）过点）过点C作作 于点于点D，如图，如图2，则，则 在在 中中 台风从生成到最初侵袭该城要经过台风从生成到最

10、初侵袭该城要经过11小时小时x/kmy/kmAOBC图图2D例例4.海中有一个小岛海中有一个小岛A，它的周围，它的周围8海里范围内有暗礁，海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛点测得小岛A在北偏在北偏东东60方向上，航行方向上，航行12海里到达海里到达D点，这时测得小岛点，这时测得小岛A在在北偏东北偏东30方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？有没有触礁的危险？BA ADF601230BADF解：由点解：由点A作作BD的垂线的垂线交交BD的延长线于点的延长线于点F，垂足为，垂足为F，AF

11、D=90由题意图示可知由题意图示可知DAF=30设设DF=x,AD=2x则在则在RtADF中，根据勾股定理中，根据勾股定理在在RtABF中，中，解得解得x=610.4 8没有触礁危险没有触礁危险3060 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度和大坝的坡面长度l，就能算出，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的，但是，当我们要测量如图所示的山高山高h时，问题就

12、不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山和山坡长度坡长度l化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直直”的，而山坡是的，而山坡是“曲曲”的，怎样解决这样的问题呢？的，怎样解决这样的问题呢？hhll 我们设法我们设法“化曲为直，以直代曲化曲为直，以直代曲”我们可以把山坡我们可以把山坡“化整化整为零为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小段地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分

13、小段时，注意使每一小段上的山坡近似是时，注意使每一小段上的山坡近似是“直直”的，可以量出这段的，可以量出这段坡长坡长l1，测出相应的仰角，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1.在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度出各段山坡的高度h1,h2,hn,然后我们再然后我们再“积零为整积零为整”，把，把h1,h2,hn相加，于是得到山高相加，于是得到山高h.hl 以上解决问题中所用的以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整化整为零，积零为整”“化曲为直

14、，以直代曲化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容 例例6.如图，拦水坝的横断面为梯形如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中（图中i=1:3是指坡面的铅直是指坡面的铅直高度高度DE与水平宽度与水平宽度CE的比），根据图中数据求：的比），根据图中数据求：（1）坡角）坡角a和和;（2）坝顶宽坝顶宽AD和斜坡和斜坡AB的的长长（精确到（精确到0.1m）BADFEC6mi=1:3i=1:1.5解解：（：（1）在）在

15、RtAFB中，中，AFB=90 在在RtCDE中，中，CED=90 1.在解直角三角形及应用时经常接触到在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念的一些概念(方位角方位角;坡度、坡角等坡度、坡角等)2.实际问题向数学模型的转化实际问题向数学模型的转化 (解直角三角形解直角三角形)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；形；（3）得到数学问题的答案；）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案）得到实际问题的答案