132奇偶性课件（人教A版必修一）.ppt

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1、1.在初中学习的轴对称图形和中心对称在初中学习的轴对称图形和中心对称2.图形的定义是什么？图形的定义是什么？复习回顾复习回顾观察下图，思考并讨论以下问题：观察下图，思考并讨论以下问题：(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？(2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？f(-3)=9=f(3)f(-2)=4=f(2)f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3)f(-2)=2=f(2)f(-1)=1=f(1)f(x)=x2f(x)=|x|实际上，对于实际上，对于R内任意的一个内任意的一个x,都有都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数这时我们称函数y=x2为偶函数为偶函数

2、.观察函数观察函数f(x)=x和和f(x)=1/x的图象的图象(下图下图)，你能发，你能发现现两个函数图象有什么共同特征吗？两个函数图象有什么共同特征吗？f(-3)=-3=-f(3)f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)实际上，对于实际上，对于R内任意的一个内任意的一个x,都有都有f(-x)=-x=-f(x),这时这时我们称函数我们称函数y=x为奇函数为奇函数.f(-3)=-1/3=-f(3)f(-2)=-1/2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)1.函数奇偶性的概念:偶函数定义:如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数.

3、奇函数定义:如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.问题问题1：奇函数、偶函数的定义中有奇函数、偶函数的定义中有“任任意意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？一个性质？与单调性有何区别？问题问题1：奇函数、偶函数的定义中有奇函数、偶函数的定义中有“任任意意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？一个性质？与单调性有何区别？强调定义中强调定义中“任意任意”二字，说明函二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个数的奇偶性在定义域上的一个整体性质整

4、体性质，它不同于函数的单调性它不同于函数的单调性.问题问题2：x与与x在几何上有何关系？具有在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？奇偶性的函数的定义域有何特征？问题问题2：x与与x在几何上有何关系？具有在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？奇偶性的函数的定义域有何特征？奇函数与偶函数的定义域的特征是奇函数与偶函数的定义域的特征是关于关于原点对称原点对称.例1.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+2x (2)f(x)=2x4+3x2解:f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)=-f(x)f(x)为奇函数 f(-x)=2(-x)4+3(-

5、x)2=2x4+3x2=f(x)f(x)为偶函数定义域为R解:定义域为R 小结：用定义判断函数奇偶性的步骤:先求定义域，看是否关于原点对称;再判断f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立。(3).f(x)=5 (4)f(x)=0解:f(x)的定义域为R f(-x)=f(x)=5 f(x)为偶函数解:定义域为R f(-x)=0=f(x)又 f(-x)=0=-f(x)f(x)为既奇又偶函数yox5oyx结论:函数f(x)=0 (定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。(5)f(x)=x2+x解:f(-1)=0,f(1)=2 f(-1)f(1)，f(-1)-f(1)f(x)为非奇非偶函数(

6、6)f(x)=x解:定义域为 0,+)定义域不关于原点对称f(x)为非奇非偶函数解(1)1-x20|x+2|2-1x1 x0且x-4-1x 1且x 0定义域为-1,0)(0,11-x2（2）f(x)=(x+2)-2（3）f(-x)=1-(-x)2-x1-x2 x-=f(x)为奇函数.例2.判断函数f(x)=的奇偶性。（1）求函数的定义域（2）化简函数表达式（3）判断函数的奇偶性|x+2|-21-x21-x2 x=-f(x)能力提高能力提高:证明证明:偶函数偶函数f(x)在在(0,+)上是减函数上是减函数,那么那么f(x)在在(-,0)上是增函数上是增函数.证明证明:设设X1X20,则则-X1-

7、X20,函数函数f(x)在在(0,+)上是减函数上是减函数f(-X1)f(-X2)又又f(x)是偶函数是偶函数f(-X1)=f(X1)f(-X2)=f(X2)于是于是f(X1)f(X2)所以所以,偶函数偶函数f(x)在在(-,0)上是增函数上是增函数.奇函数的图象奇函数的图象(如如y=xy=x3 3)偶函数的图象偶函数的图象(如如y=xy=x2 2)yxoaaP/(-a,f(-a)p(a,f(a)-ayxoaP/(-a,f(-a)p(a,f(a)-a(-a,-f(a)(-a,f(a)2.奇偶函数图象的性质:2、奇函数的图象、奇函数的图象设设f(x)为奇函数，则有为奇函数，则有f(x)=f(x)

8、；在在f(x)图象上任取一点图象上任取一点(x，f(x)那么那么,点点(x,f(x)也在函数也在函数f(x)的图象上的图象上所以：所以：f(x)的图象关于原点对称的图象关于原点对称xyo1、偶函数的图象、偶函数的图象设设f(x)为偶函数，则有为偶函数，则有f(x)f(x)在在f(x)的图象上任取一点的图象上任取一点(x，f(x)那么那么,点点(x,f(x)也在函数也在函数f(x)的图象上的图象上所以：所以：f(x)的图象关于的图象关于y轴对称轴对称-xx(x,y)(-x,y)f(-x)f(x)(-x,-y)(x,y)xyof(-x)f(x)x-x反之，也成立。反之，也成立。反之，也成立。反之，

9、也成立。思考思考:1.已知奇函数已知奇函数y=f(x)在其定义域上是增函数在其定义域上是增函数,那么那么y=f(-x)在它的定义域上在它的定义域上()A.既是奇函数既是奇函数,又是增函数又是增函数.B.既是奇函数既是奇函数,又是减函数又是减函数.C.既是偶函数既是偶函数,又是先减后增函数又是先减后增函数.D.既是偶函数既是偶函数,又是先增后减函数又是先增后减函数.B2.判断下列论断是否正确判断下列论断是否正确练练习习(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数关于原点对称且这对称，则这个函数关于原点对称且这个函数为奇函数；个函数为奇函数；(2)如果一个

10、函数为偶函数，则它的定义如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称域关于坐标原点对称.(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对如果一个函数定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；称，则这个函数为偶函数；(4)如果一个函数的图象关于如果一个函数的图象关于y轴对称，则轴对称，则这个函数为偶函数这个函数为偶函数.2.判断下列论断是否正确判断下列论断是否正确(错错)练练习习(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数关于原点对称且这对称，则这个函数关于原点对称且这个函数为奇函数；个函数为奇函数；(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义如果一个函数为偶函

11、数，则它的定义域关于坐标原点对称域关于坐标原点对称.(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对如果一个函数定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；称，则这个函数为偶函数；(4)如果一个函数的图象关于如果一个函数的图象关于y轴对称，则轴对称，则这个函数为偶函数这个函数为偶函数.2.判断下列论断是否正确判断下列论断是否正确(错错)(对对)练练习习(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数关于原点对称且这对称，则这个函数关于原点对称且这个函数为奇函数；个函数为奇函数；(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称域

12、关于坐标原点对称.(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对如果一个函数定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；称，则这个函数为偶函数；(4)如果一个函数的图象关于如果一个函数的图象关于y轴对称，则轴对称，则这个函数为偶函数这个函数为偶函数.2.判断下列论断是否正确判断下列论断是否正确(错错)(对对)(错错)练练习习(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数关于原点对称且这对称，则这个函数关于原点对称且这个函数为奇函数；个函数为奇函数；(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称域关于坐标原点对称.(3)如

13、果一个函数定义域关于坐标原点对如果一个函数定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；称，则这个函数为偶函数；(4)如果一个函数的图象关于如果一个函数的图象关于y轴对称，则轴对称，则这个函数为偶函数这个函数为偶函数.2.判断下列论断是否正确判断下列论断是否正确(错错)(对对)(错错)(对对)练练习习(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数关于原点对称且这对称，则这个函数关于原点对称且这个函数为奇函数；个函数为奇函数；(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称域关于坐标原点对称.(3)如果一个函数定义域关

14、于坐标原点对如果一个函数定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；称，则这个函数为偶函数；(4)如果一个函数的图象关于如果一个函数的图象关于y轴对称，则轴对称，则这个函数为偶函数这个函数为偶函数.4.如果函数如果函数f(x)、g(x)为定义域相同的为定义域相同的偶函数，试问偶函数，试问F(x)f(x)g(x)是不是是不是偶函数？是不是奇函数？为什么？偶函数？是不是奇函数？为什么？3.如果如果f(0)a0，函数，函数f(x)可以是奇函可以是奇函数吗？可以是偶函数吗？为什么？数吗？可以是偶函数吗？为什么？练练习习4.如果函数如果函数f(x)、g(x)为定义域相同的为定义域相同的偶函数，试问偶函数

15、，试问F(x)f(x)g(x)是不是是不是偶函数？是不是奇函数？为什么？偶函数？是不是奇函数？为什么？3.如果如果f(0)a0，函数，函数f(x)可以是奇函可以是奇函数吗？可以是偶函数吗？为什么？数吗？可以是偶函数吗？为什么？练练习习(不能为奇函数但可以是偶函数不能为奇函数但可以是偶函数)4.如果函数如果函数f(x)、g(x)为定义域相同的为定义域相同的偶函数，试问偶函数，试问F(x)f(x)g(x)是不是是不是偶函数？是不是奇函数？为什么？偶函数？是不是奇函数？为什么？3.如果如果f(0)a0，函数，函数f(x)可以是奇函可以是奇函数吗？可以是偶函数吗？为什么？数吗？可以是偶函数吗？为什么？

16、练练习习(不能为奇函数但可以是偶函数不能为奇函数但可以是偶函数)(是是偶函数偶函数)5.如图如图，给出了奇函数，给出了奇函数yf(x)的局部的局部图象，求图象，求f(4).xyO42xyO3216.如图如图，给出了偶函数，给出了偶函数yf(x)的局部的局部图象，试比较图象，试比较f(1)与与 f(3)的大小的大小.练练习习oyx例3 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象。解：画法略练已知练已知f(x)ax2bx是定义是定义在在a1,2a上的偶函数，那么上的偶函数，那么ab的值是的值是()三基能力强化三基能力强化答案：答案：B本课小结:1.两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数。如果都有f(-x)=f(x)f(x)为偶函数。2.两个性质:一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称。一个函数为偶函数 它的图象关于y 轴对称。