第二章基本初等函数.ppt

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1、第二章 章末总结1.1.指数、对数的运算应遵循的原则指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简

2、、证明常用的技巧简、证明常用的技巧.关于指数、对数的运算关于指数、对数的运算【名师指津名师指津】2.2.对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是(1)(1)“收收”，将同底的两对数的和将同底的两对数的和(差差)收成积收成积(商商)的对数的对数.(2)(2)“拆拆”，将积，将积(商商)的对数拆成对数的和的对数拆成对数的和(差差).).【特别提醒特别提醒】在运用对数的运算性质进行运算时，特别注意在运用对数的运算性质进行运算时，特别注意真数的变化和运算符号，以及公式运用过程中范围的变化真数的变化和运算符号，以及公式运用过程中范围的变化.【审题指导审题指导】第第

3、(1)(1)题关于分数指数幂的运算，要把握分数指题关于分数指数幂的运算，要把握分数指数幂的运算性质，要注意运算顺序数幂的运算性质，要注意运算顺序.第第(2)(2)题关于常用对数的运算，对于底数相同的对数式的化简，题关于常用对数的运算，对于底数相同的对数式的化简，要将同底的两对数的和要将同底的两对数的和(差差)收成积收成积(商商)的对数的对数.【规范解答规范解答】(1)(1)原式原式=数的大小比较常用方法数的大小比较常用方法(1)(1)比较两数比较两数(式式)或几个数或几个数(式式)大小问题是本章的一个重要大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质题型，主要考查幂

4、函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用的应用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法.数的大小比较数的大小比较【名师指津名师指津】(2)(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较用该函数的单调性比较.(3)(3)比较多个数的大小时，先利用比较多个数的大小时，先利用“0 0”和

5、和“1 1”作为分界点，作为分界点，即把它们分为即把它们分为“小于小于0 0”，“大于等于大于等于0 0小于等于小于等于1 1”，“大于大于1 1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小.【例例2 2】比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小.(1)2(1)27 7,8,82 2；(2)log(2)log0.20.22,log2,log0.040.049;(3)a9;(3)a1.21.2,a,a1.31.3;(4)0.21(4)0.213 3,0.23,0.233 3.【审题指导审题指导】本题是关于指数式与指数式或对数式与对数式本题是关于指

6、数式与指数式或对数式与对数式比较大小，可先尽量化为同底的指数式或对数式，再利用指比较大小，可先尽量化为同底的指数式或对数式，再利用指数、对数函数的单调性比较大小数、对数函数的单调性比较大小.【规范解答规范解答】(1)8(1)82 2=(2=(23 3)2 2=2=26 6,由指数函数由指数函数y=2y=2x x在在R R上单调递上单调递增知增知2 26 6227 7即即8 82 22log2log0.20.23,3,即即loglog0.20.22log2log0.040.049.9.(3)(3)因为函数因为函数y=y=a ax x(a(a00且且a1)a1)当底数当底数a a大于大于1 1 时

7、在时在R R上是增函上是增函数；当底数数；当底数a a小于小于1 1时在时在R R上是减函数，而上是减函数，而1.21.3,1.21a1时，时，有有a a1.21.2aa1.31.3;当当0a10aaa1.31.3.(4)y=x(4)y=x3 3在在R R上是增函数，且上是增函数，且0.210.230.210.23，0.210.213 30.230,a0,且且a1a1，试讨论函数，试讨论函数 的单调性的单调性.【审题指导审题指导】这是一道与指数函数有关的复合函数的单调性这是一道与指数函数有关的复合函数的单调性问题，将指数设为关于问题，将指数设为关于x x的函数，即设的函数，即设u=xu=x2

8、2+6x+17+6x+17，而，而f(xf(x)的的单调性又与单调性又与0a10a1a1两种范围有关，故应分类讨论两种范围有关，故应分类讨论.【规范解答规范解答】设设u=xu=x2 2+6x+17=(x+3)+6x+17=(x+3)2 2+8,+8,则当则当x-3x-3时，其为减时，其为减函数，当函数，当x-3x-3时，其为增函数，又当时，其为增函数，又当a1a1时，时，y=ay=au u是增函是增函数，当数，当0a10a1a1时，原函数时，原函数 在在(-,-3(-,-3上是减函数，在上是减函数，在-3,+)-3,+)上是增函上是增函数数.当当0a10a0,a1)0,a1)，对数函数，对数函

9、数y=y=logloga ax(ax(a0,a1,0,a1,x0)x0)的图象和性质都与的图象和性质都与a a的取值有密切的联系的取值有密切的联系.a.a变化时，函变化时，函数的图象和性质也随之改变数的图象和性质也随之改变.幂函数、指数函数、对数函数性质的综合应用幂函数、指数函数、对数函数性质的综合应用【名师指津名师指津】(2)(2)指数函数指数函数y=y=a ax x(a(a0,a1)0,a1)的图象恒过定点的图象恒过定点(0(0，1)1)，对数函，对数函数数y=y=logloga ax(ax(a0,a1,x0)0,a1,x0)的图象恒过定点的图象恒过定点(1(1，0).0).(3)(3)指

10、数函数指数函数y=y=a ax x(a(a0,a1)0,a1)与对数函数与对数函数y=y=logloga ax(ax(a0,a1,0,a1,x0)x0)具有相同的单调性具有相同的单调性.(4)(4)指数函数指数函数y=y=a ax x(a(a0,a1)0,a1)与对数函与对数函y=y=logloga ax(ax(a0,a1,x0)0,a1,x0)互为反函数，两函数图象关于直线互为反函数，两函数图象关于直线y=xy=x对称对称.【例例4 4】已知函数已知函数f(xf(x)=lg(1+x)+lg(1-x)=lg(1+x)+lg(1-x)(1)(1)判断函数的奇偶性；判断函数的奇偶性；(2)(2)若

11、若f(xf(x)=)=lgg(xlgg(x),),判断函数判断函数g(xg(x)在在(0(0，1)1)上的单调性并用定上的单调性并用定义证明义证明.【审题指导审题指导】本题关键是利用函数的奇偶性与单调性的定义本题关键是利用函数的奇偶性与单调性的定义证明证明.【规范解答规范解答】(1)(1)由由 得得-1x1,-1x1,x(-1,1),x(-1,1),又又f(-xf(-x)=lg(1-x)+lg(1+x)=)=lg(1-x)+lg(1+x)=f(xf(x),),f(xf(x)为偶函数为偶函数.(2)g(x)(2)g(x)在在(0(0，1)1)上单调递减上单调递减.证明如下：证明如下：f(xf(x

12、)=lg(1-x)=lg(1-x2 2)=)=lgg(xlgg(x)，g(xg(x)=1-x)=1-x2 2，任取任取0 x0 x1 1xx2 21,1,则则g(xg(x1 1)-g(x)-g(x2 2)=1-x)=1-x1 12 2-(1-x-(1-x2 22 2)=(x)=(x1 1+x+x2 2)(x)(x2 2-x-x1 1),),0 x0 x1 1xx2 21,x0,x0,x2 2-x-x1 10,0,g(xg(x1 1)-g(x)-g(x2 2)0,)0,g(xg(x)在在(0(0，1)1)上单调递减上单调递减.数形结合的应用数形结合的应用数形结合就是把数学关系精确刻画，把代数关系

13、与几何图形的数形结合就是把数学关系精确刻画，把代数关系与几何图形的直观形象有机地结合起来，从而充分揭示问题的条件与结论之直观形象有机地结合起来，从而充分揭示问题的条件与结论之间的内在联系，使问题转化为简单的、熟悉的问题来解决间的内在联系，使问题转化为简单的、熟悉的问题来解决.数数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、求参数的范形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、求参数的范围等；有时用数形结合的思想寻找解题思路围等；有时用数形结合的思想寻找解题思路,通过数与形的相通过数与形的相互转化达到互转化达到“以形助数，以数解形以形助数，以数解形”的目的的目的.数形结合思想数形结合思想【名师指

14、津名师指津】【例例5 5】求不等式求不等式x-1logx-10,x=2(1+3)-(1-1)0,x=2时，时，loglog6 6(2+3)-(2-1)0,(2+3)-(2-1)0,所以所以11x xP P2.1b0).1b0).(1)(1)求求f(xf(x)的定义域；的定义域；(2)(2)若若f(xf(x)在在(1,+)(1,+)上递增且恒取正值，求上递增且恒取正值，求a,ba,b满足的关系式满足的关系式.【解析解析】(1)(1)由由a ax x-b bx x0,0,得得a1b0,x0,a1b0,x0,即即x(0,+).x(0,+).(2)f(x)(2)f(x)在在(1(1，+)+)上递增且恒为正值上递增且恒为正值,f(xf(x)f(1),)f(1),只要只要f(1)0,f(1)0,即即lg(a-b)0lg(a-b)0a-b1.a-b1.