2022-2023学年山西省运城市教育发展联盟高二年级上册学期12月调研数学试题【含答案】.pdf

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1、2022-20232022-2023 学年山西省运城市教育发展联盟高二上学期学年山西省运城市教育发展联盟高二上学期 1212 月调研数学月调研数学试题试题一、单选题一、单选题1准线方程为x 2的抛物线的标准方程为（）Ay28x【答案】B【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.【详解】由于抛物线的准线方程是x 2，2所以抛物线的开口向左，设抛物线的方程为y 2pxp 0，By2 8xCx28yDx28y则p 2,2p 8，所以抛物线的标准方程为y2 8x.2故选：B2已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1 2，S5 30，则a8（）A10【答案】D【分析】首先通过已知条件求出等差数列的基本量a1

2、和d，然后根据等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】已知a1 2，所以S55a1因此得a8 a17d 272 16.故选：Dy2x23已知双曲线221a 0,b 0的实轴长为 4，虚轴长为 6，则双曲线的渐近线方程为（）ab5x22Cy x354d 5210d 30，解得d 2.2B12C14D16Ay By xDy 13x232【答案】C【分析】根据双曲线几何性质解决即可.y2x2【详解】由题知双曲线221a 0,b 0中2a 4,2b 6，ab所以a 2,b 3，双曲线焦点在y轴上，所以双曲线的渐近线方程为y 故选：C.a2x x，b34已知圆x2 y26x 0，过点2,2的直线被该圆所

3、截得的弦长的最小值为（）A1【答案】D【分析】结合已知条件求出圆的圆心和半径，由圆的弦长公式和性质即可求解.【详解】由圆的方程x2 y26x 0可知(x 3)2 y29，则圆心坐标C(3,0)，半径为3，因为(23)2(20)2 5 9，所以点D2,2在圆的内部，设圆心到直线的距离为d，则过2,2的直线与圆的相交弦长AB 2 r2d2，显然当d最大时，弦长最小，由圆的性质可知当CD AB时d最大，此时dmax CD(23)2(20)25，所以弦长的最小值为2 95 4，故选：D5已知直线l：2m1xm1ym0经过定点 P，直线l经过点 P，且l的方向向量a 3,2，则直线l的方程为（）A2x3

4、y 5 0C3x2y5 0【答案】A【分析】直线l方程变为x ym2x y10，可得定点P1,1.根据l的方向向量a 3,2，可得斜率为，代入点斜式方程，化简为一般式即可.【详解】2m1xm1ym0可变形为x ym2x y10，23B2C3D4B2x3y5 0D3x2y5 0 x 1x y 0解得，即P点坐标为1,1.2x y1 0y 122因为a 3,2 31,，所以直线l的斜率为，又l过点P1,1，33代入点斜式方程可得y 12x1，整理可得2x3y 5 0.3故选：A.6已知空间直角坐标系中的点P1,1,1，A2,0,1，B0,1,0，则点 到直线 AB 的距离为（）A66B36C33D

5、22【答案】D【分析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.【详解】P1,1,1，A2,0,1，B0,1,0，AB 2,1,1，AP 1,1,0，AP 2，AP在AB上的投影为AP AB36，2|AB|6则点P到直线AB的距离为故选：DAP AB32AP2.|AB|22227在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：x2 y2 20（圆心为A），点B2,0，点 在圆 A2上运动，设线段 PB的垂直平分线和直线PA 的交点为 Q，则点 Q的轨迹方程为（）x2A y215y2Bx 152x2C y215y2Dx 152【答案】C【分析】根据椭圆的定义求得正确答案.【详解】圆A：x2 y2 20的圆心A2

6、,0，半径r 2 5.2由于220216 20，所以B2,0在圆A内，AB 42根据垂直平分线的性质可知QP QB，所以QA QB QA QP r 2 5 AB，所以Q点的轨迹是椭圆，且2a 2 5,a 5.2c 4,c 2,b a2c21，x2所以点Q的轨迹方程是 y21.5故选：C8众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线l：y ax2.给出以下命题：当a 0时，若直线l截黑色阴影区域所得两部分面积记为S1，S2（S1 S2），则

7、S1:S2 3:1；4当a 时，直线l与黑色阴影区域有 1 个公共点；3当a0,1时，直线l与黑色阴影区域有 2 个公共点.其中所有正确命题的序号是（）A【答案】A【分析】由题知根据直线l：y ax2横过点(2,0)，a为直线的斜率根据直线和圆的位置关系作图，数形结合逐项分析判断即可得解【详解】如图 1 所示，大圆的半径为 2，小圆的半径为 1，BCD所以大圆的面积为4，小圆的面积为对于，当a 0时，直线l的方程为y 0此时直线l将黑色阴影区域的面积分为两部分，S1 3，S2，2222所以S1:S2 3:1，故正确对于，根据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为x2y11x 0244当a 时

8、，直线l的方程为y x2，33即4x3y8 0，小圆圆心0,1到直线l的距离d 所以直线l与该半圆弧相切，如图 2 所示，384 3221，所以直线l与黑色阴影区域只有一个公共点，故正确对于，当a0,1时，如图 3 所示，直线l:y ax2与黑色阴影区域的边界曲线有2 个公共点，当a 1时，直线l:y x2与黑色阴影区域的边界曲线有1 个公共点，故错误综上所述，正确故选：A二、多选题二、多选题y2x29已知双曲线C：1，则下列选项中正确的是（）97AC的焦点坐标为4,0BC的顶点坐标为0,34CC的离心率为3【答案】BCDC的焦点到渐近线的距离为3【分析】根据已知条件，可知双曲线的焦点在y轴上

9、，a 3，b 7，c 4，然后逐项判断双曲线的性质即可.对于 D 项，根据点到直线的距离求出即可判断.【详解】由已知，双曲线的焦点在y轴上，且a2 9，b2 7，则c216，所以a 3，b 7，c 4.所以C的焦点坐标为0,4、0,4，故 A 项错误；顶点坐标为0,3、0,3，故 B 项正确；离心率e c4，所以 C 项正确；a3渐近线方程为7y 3x 0与7y 3x 0，焦点0,4到渐近线7y 3x 0的距离为故选：BC.10已知等比数列an是单调数列，设Sn是其前n项和，若a1 243，a5 3，则下列结论正确的是（）Aa3 273n43CSn26nBan 37 472327，所以 D 项

10、错误.Da1a2 an a1a2 a11n【答案】BD【分析】利用等比数列的通项公式和前n项和求解即可.【详解】设等比数列an的公比为q，a1 2433511q 则有，解得或，43a a q 331511当q 时数列an不是单调数列，所以q，332所以a3 a1q 27，故 A 错误；an a1qn11 3 35n1 36n，故 B 正确；1n31na1(1q)33636n，故 C 错误；Sn21q235a1a2 an 3 3 5436n 3n(11n)2，211n(55n)a1a2 a11n3 3 5435n33n(11n)2，所以a1a2 an a1a2 a11n成立，故 D 正确.故选:

11、BD.11如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1 AB 1，AC 2，BC 5点 在线段B1C上（不含端点），则（）A不存在点P，使得AB1 BPBABP面积的最小值为55CPA PB的最小值为5D三棱锥B1 PAB与三棱锥C1 PAC的体积之和为定值【答案】BD【分析】对于A 项，通过证明AB1 面BA1C1可得出AB1 BC1，进而得出使得AB1 BP的 P点的位置；对于 B 项，通过转化，表达出三棱锥A A1B1C的两种体积的表达式，即可求出点P 到AB的距离的最小值，进而求出ABP面积的最小值；对于 C 项，通过对两个面的翻转和几何知识求出cosACB，进而求出PA PB的最小值；

12、对于 D 项，通过转化，分别得到点P 到面AA1B1B的距离为点 M 到面AA1B1B的距离，点 P到面AAC11C的距离为点 M到面AAC11C的距离，表达出三棱锥B1 PAB与三棱锥C1 PAC的体积之和，即可求出三棱锥B1PAB与三棱锥C1 PAC的体积之和为定值.【详解】解：由题意在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1 AB 1，ACAB1 A1B在ABC中，AC 2，BC 5AB2 AC2 BC2AA1，AB AA1，AB/A1B1ABACAA1AB A,AA1AC AAC 面AA1B1B，AB 面AAC11C在矩形AAC11C中，AC/A1C1如下图，连接BC1，AB1，A1BAC

13、 AB1AC11 AB1A1BA1C1 A1AB1 面BA1C1AB1 BC1当点 P 为B1C和BC1的交点时，AB1 BP，故 A 错误.连接A1C，点 P 到AB的距离的最小值为直线AB与B1C之间的距离 d，AB/A1B1，A1B1 面A1B1CAB/面A1B1C点 A到面A1B1C的距离为 d，在三棱锥A A1B1C中，VAA1B1CVCAA1B1,1111即VAA1B1C1 5d VCAA1B11123232解得：d 2 5512 55SABPmin1，255故 B 正确.将AB1C和BB1C沿BC展开，连接AB交B1C于点 D，当点 P 与点 D重合时PA PB的值最小，如下图所

14、示：cosB1CAABAC2623，sinB1CA1，B1C3B1C366BBBC53016，sinBCB11，B1C6BC6661cosBCB1cosACB cosACB1BCB1 cosACB1cosBCB1sinACB1sinBCB1630362 5 236366在AB1C中，由余弦定理得，AB AC BC 2ACBCcosACB 2 故 C 错误.2225222 52 5 215 663过点 P作直线PM/CC1，交B1C1于点 M，如下图所示，点 P到面AA1B1B的距离为点 M到面AA1B1B的距离，设为d1，点 P 到面AAC11C的距离为点 M 到面AAC11C的距离，设为d2

15、.在A1B1C1中，由几何知识得，A1B11，A1C1 2，tanA1B1C1 2，B1E 11ME d122三棱锥B1 PAB与三棱锥C1 PAC的体积之和为11111111VB1PABVC1PACVPABB1VPACC111d112d2d1d2A1B1，32323233故 D 正确.故选：BD.【点睛】考查了立体几何中的动点的相关位置关系，面积，体积和最值问题，考查空间想象力和逻辑推理能力.12在平面四边形 ABCD中，A，C在 BD两侧，ABD的面积是BCD面积的 2 倍，又数列an满足a1 2，恒有BD an2Aan为递增数列a Cnn为等差数列2n1BAan12nBC，设数列an的前

16、 n项和为Sn，则（）Ban为等比数列n1DSnn122【答案】ACD【分析】设AC与BD交于点E，由面积比得AE 2，根据平面向量基本定理得BD与BA,BC关系，CE从而得数列an递推关系，然后根据各选项求解数列，判断结论，其中选项D 需要用错位相减法求和【详解】设AC与BD交于点E，SSABDCBD1BDAEsinAEBAE2 2，1CEBDCEsinCEB2BE BA AE BA2212AC BA(BC BA)BABC，3333B,E,D共线，所以存在实数(0)，使得BD BE，所以BD an2n1BAan1122nBCBABC，331n1a 2n3n1nn1所以，所以2an2 an12

17、，an1 2an 2，a2n2n13所以所以an1ana1an11为首项，1为公差的等差数列，故 C 正确；，即是以n22n12n2an2n，1n1 n，即an nn2n1n1nn，an1an1n2n2 2n2 0，所以an为递增数列，故A 正对于 A，an11n2确；2对于 B，a1 2，a2 8，a3 24，所以a2 a1a3，所以an不是等比数列，故 B 错误；对于 D，因为Sn a1 a22Sn122 223 an12 222323 n2n，(n1)2n n2n1，2n n2n123所以两式相减得Sn 2 2 2 2(12n)n2n1 2(n1)2n1，12n1所以Sn 2n12，D

18、正确故选：ACD三、填空题三、填空题213已知数列an的前 n 项和Sn n 1，则数列an的通项公式是_.2,n 1【答案】an2n1,n 2且nN*n 1时,a1 S1 2,利用n2时,an SnSn1可得an 2n1,最后验证n 1是否满足上式,【分析】不满足时候,要写成分段函数的形式.【详解】当n 1时,a1 S1 2,当n2时,an SnSn1=n21(n1)21 2n1,又n 1时,an a1 2111不适合,n 12,.所以an2n1,n 2【点睛】本题考查了由Sn求an,注意使用an SnSn1求an时的条件是n2,所以求出an后还要验证an适不适合n 1,如果适合,要将两种情

19、况合成一种情况作答,如果不适合,要用分段函数的形式作答.属于中档题.14已知直线3x y 1 0与直线2 3x my 2 0平行，则它们之间的距离是_【答案】1【分析】根据两直线平行，可得m 2，然后根据两条平行线之间的距离公式即可求出距离.【详解】由已知可得，3m12 3 0，所以m 2，则两直线方程为3x y 1 0与2 3x 2y 2 0.将直线方程2 3x 2y 2 0化为3x y 1 0，1112则两条直线之间的距离为故答案为：1.321.15 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AA1 a，AB b，AD c，点 P 在A1C上，且A1P:PC 2:3，则DP _（用a，b，

20、c表示）323【答案】abc555【分析】利用空间向量的基本定理可得出DP关于a,b,c的表达式.A1B1 A1D1 A1Abca，【详解】由平面六面体法则可知AC1DP A1P A1D 22323ACb c a c a a b c.1 AD AA155555323故答案为：abc.555x2y2116 已知椭圆C：221a b 0的左、右焦点分别是F1，F2，斜率为2的直线l经过左焦点F1ab且交 C于 A，B两点（点 A 在第一象限），设AF1F2的内切圆半径为r1，BF1F2的内切圆半径为r2，若r1 2，则椭圆的离心率e _r256【答案】42r1yAb4b c 2，联立直线与椭圆方程

21、得yA yB【分析】由题意得，yA yB2，再r2yBa 4b2a24b2y yB利用AyA yB2yAy2B，再代入值计算即可得答案.yByA【详解】如图所示，由椭圆定义可得AF1 AF2 2a，BF1 BF2 2a，设AF1F2的面积为S1，BF1F2的面积为S2，因为r1 3，r2112c yA2a2cr1Sry2121 A 2，即yA 2yB，所以11r2yB2cyB2a2cr2S222设直线l:x 2y c，则联立椭圆方程与直线l，可得x 2yc(a24b2)y24b2cyb4 0，222222b x a y a bb44b2c由韦达定理得：yA yB2，yA yB222a 4ba

22、4b4b2c22yA yByAyBa 4b211又，即2 22 yA yByByAb422a24b216c21化简可得2 32c2 a24a2c2，即36c25a2，2a 4b2即36c25a2时，有e2故答案为：56255.e 366四、解答题四、解答题17已知圆C过平面内三点A0,4，M 2,2 5，N 2,2 5(1)求圆C的标准方程；(2)若点 B也在圆C上，且弦 AB长为4 3，求直线 AB的方程【答案】(1)x2 y2 20(2)y 26 x4或y 26 x4【分析】（1）将三点代入圆的一般方程，求解方程组得出圆的一般方程，再将其转化为标准方程即可；（2）先求出圆心 C到直线AB的

23、距离，当直线AB斜率不存在时，验证直线是否满足要求，当直线AB斜率存在时，设出方程，根据距离公式得出斜率，进而得出AB方程.【详解】（1）设圆C的方程为x2 y2 Dx Ey F 0，2164E F 0D 4,4202D2 5E F 0，解得E 0,F 16,4202D2 5E F 0即x2 y24x16 0，故圆C的标准方程为x2 y2 20（2）圆心C2,0到直线AB的距离d 2012 2 2，当直线AB斜率不存在时，AB方程为：x 0，此时d 2，不符合题意；当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为：y kx 4，2d 2k 41k2 2 2，解得k 26直线AB方程为y 26 x4或y

24、26 x418已知数列an的前n项和为Sn，a1 2，an1 Sn 2(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn anlog2a2n1，求数列bn的前n项和Tn【答案】(1)an 2n(2)Tn 2n1 n2 2n2【分析】(1)由条件结合Sn与an的关系，证明数列an是等比数列，从而得到数列的通项公式；n(2)由(1)可知bn 2 2n1，利用分组转化为等差数列和等比数列求和.【详解】（1）an1 Sn 2，an Sn12n 2-得an1an an，即an1 2ann 2又a1 2，a2 S12 4，aa2 2，n1 2nN*，a1anan是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，n

25、1nan 22 2n2n1 2n 2n1，（2）由（1）得an 2n，bn anlog2a2n1 2 log222nTn b1b2b3 bn232 52 2n1222 2n35 2n1212n12n32n1 2n1n22n2219如图，在四棱锥O ABCD中，OA底面 ABCD，底面四边形 ABCD为菱形且ABC 3，OA AB 2，M为 OA的中点，N为 BC的中点(1)证明：直线MN平面 OCD；(2)求点 B到平面 OCD的距离【答案】(1)证明见解析(2)【分析】由题可过点A 作垂线垂直于 CD，垂足为CD中点，令中点为P，分别以AB，AP，AO 所在直线为 x，y，z轴，建立空间直角

26、坐标系，利用空间向量即可求出答案.【详解】（1）作AP CD于点 P，则 P 为 CD中点，分别以 AB，AP，AO 所在直线为 x，y，z 轴，建立如图空间直角坐标系2 217则A0,0,0，B2,0,0，P 0,3,0，D 1,3,0，C 1,3,0，O0,0,2，M0,0,1，N2,2,0，33,1MN 22，OP 0,3,2，OD 1,3,2，33设平面OCD的法向量为n x,y,z，则nOP 0，nOD 0，3y2z 0,3即取y 3，解得n 0,3,；2x3y2z 0,333所以MN n 031 0，MN 平面 OCD，222MN/平面 OCD；（2）设点 B到平面 OCD的距离为

27、d，3则 d为向量OB在向量n 0,3,上的投影数量的绝对值，2由OB 2,0,2，得d OBnn32122 217，所以点 B 到平面 OCD的距离20已知数列an中，a112 2173a1，n1（nN）.2a4n（1）求证：数列a 1是等差数列，并求数列an的通项公式；n（2）设bnan1(nN)，Sn b1b2b2b3bnbn1，试比较an与8Sn的大小.【答案】（1）见解析；n28n28 0,8Sn an，当n3时，有 0,8Sn an.（2）当n 1,2时，有(n3)(n4)(n3)(n4)【详解】试题分析：1(1)由等差数列的定义即可证得数列进而取得求数列an的通项公式是等差数列，

28、a 1n是an11.n3n28 0,8Sn an，(2)裂项求和，结合前 n 项和的特点可得当n 1,2时，有当n3时，n3n4n28 0,8Sn an.有n3n4试题解析：（1）解：a113a，n12a（nN*），4n11 4,an11a111112an2an11an1an1，即1 1.an11an111是首项为4，公差为1的等差数列.an1从而a 1 n3 an1n3.n（2）bnan1nN，由（1）知an1*111.n3bn111,bkbk1（k 1,2,3,n3k 3k 4）1111，n3n44n4Sn b1b2b2b3 1111 11 bnbn145566711n28 1而8Snan

29、8，14n4n3n3n4n28 0,8Sn an；当n 1,2时，有n3n4n28 0,8Sn an.当n3时，有n3n4点睛：注意等差数列概念中的“从第 2 项起”与“同一个常数”的重要性.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的21AB2BC2，ABBC，AD/BC，如图，平面五边形PABCD中，PAD是边长为 2 的等边三角形，将PAD沿 AD 翻折成四棱锥 PABCD，E 是棱 PD 上的动点（端点除外），F，M分别是 AB，CE的中点，且PC 7(1)证明：ABFM；(2

30、)当直线 EF与平面 PAD所成的角最大时，求平面ACE与平面 PAD夹角的余弦值【答案】(1)证明详见解析(2)1717【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得ABFM.（2）先判断出直线EF与平面 PAD所成的角最大时E点是PD的中点，然后利用向量法求得平面ACE与平面 PAD夹角的余弦值.【详解】（1）设O是AD的中点，连接OP,OC，三角形PAD是等边三角形，所以OP AD，OP 3.四边形ABCD是直角梯形，OA/BC,OA BC，所以四边形ABCO是平行四边形，也即是矩形，所以OC AD，OC AB 2.折叠后，PC 7，所以OP2OC2 PC2，所以OPOC，由于ADOC

31、 O,AD,OC 平面ABCD，所以OP平面ABCD，则OC,OD,OP两两相互垂直，由此建立如图所示的空间直角坐标系，AB OC 2,0,0,F1,1,0，设E 0,t,31t,0 t 1，t 231tt31t,C2,0,0，所以M 1,，则FM 0,2222所以ABFM 0，所以ABFM.（2）由于OP平面ABCD，AB平面ABCD，所以OPAB，由于AB AD,AD OP O,AD,OP 平面PAD，所以AB 平面PAD，由于AE 平面PAD，所以AB AE，所以FEA是直线EF与平面PAD所成角，在直角三角形AEF中，tanFEA AF，AE由于AF 1，所以当AE最小时，tanFEA

32、最大，也即FEA最大，由于三角形PAD是等边三角形，所以当E为PD的中点时，AE PD，AE取得最小值.13EP 0,0,3D 0,1,0，故此时由于，0,2,2，平面PAD的法向量为m1,0,0，33A0,1,0,C2,0,0,AC 2,1,0,AE 0,2,2，设平面ACE的法向量为n x,y,z，n AC 2x y 0则，故可设n 1,2,2 3，33z 0n AE y22设平面ACE与平面PAD的夹角为，则cosmnm n117.1717x2y222已知双曲线C：221a 0,b 0的离心率为2，左、右顶点分别为M,N,点P1,1满ab足PM PN 1(1)求双曲线C的方程；(2)过点

33、P的直线l与双曲线C交于A,B两点，直线OP（O为坐标原点）与直线AN交于点D设直线MB,MD的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值【答案】(1)x2 y21(2)证明见解析【分析】(1)利用向量的数量积的坐标运算求出a 1即可求双曲线方程；(2)设Ax1,y1，Bx2,y2，将直线MB,MD的斜率k1，k2之积表示为x1 x2,x1x2的代数表达式，利用韦达定理即可证明.【详解】（1）由题意知Ma,0，Na,0，又P1,1，所以PM a1,1，PN a1,1，由PM PN 2a21，可得a 1，又e c2，所以c 2，故b2 c2a21，a所以双曲线C的方程为x2 y21；（2）因为M

34、1,0，P1,1，若直线l的斜率不存在，则l与双曲线C仅有一个公共点M，不合题意，故l的斜率存在，设l：y 1 kx1，y1 k(x1)222联立2得：1kx 2kk 1xk 2k 2 0，2x y 1设Ax1,y1，Bx2,y2，2kk 1k22k 2则x1 x2，x1x21k21k2因为P1,1，故OP：yx，又Ax1,y1，N1,0，所以AN：y y1x1，x11y1y1,联立，解得D，x y 1x y 11111y1x1 y11yy1y22 于是k1k2y1x 1x 2y 1x 111212x1 y11kx1k 1kx2k 1k2x1x2kk 1x1 x2k 1 x 2kx 2k 21x 1122k 1x1x2 x1 x21122kk 1k22k 22kk k 1k 1222k 11k1k 1 2k 1 k22k 22kk 112k 1221k1k2所以k1k2为定值